Задание №6.
Используя метод
сеток, составить решение смешанной
задачи для уравнения колебания струны
.
Решение выполнить с шагом
.
С начальными условиями:
С краевыми условиями:
Решение:
,
,
,
Значения в граничных узлах:
Пусть
,
тогда
,
где
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
|
|
0 |
0.909 |
0.832 |
0.763 |
0.696 |
0.625 |
0.544 |
0.447 |
0.328 |
0.181 |
0 |
Пусть
,
тогда
,
где
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Пусть
,
тогда
,
где
.
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
|
|
0 |
0,05 |
0,1 |
0.15 |
0.2 |
0.25 |
0.3 |
0.35 |
0.4 |
0.45 |
0.5 |
Теперь будем
считать значение функции в строках от
до
.
:
значение функции в этой строке можно
посчитать из начального условия:
,
где
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
|
|
0.999 |
0.912 |
0.833 |
0.757 |
0.677 |
0.588 |
0.483 |
0.356 |
0.203 |
:
,
где
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
|
|
1.003 |
1 |
0.906 |
0.815 |
0.720 |
0.616 |
0.497 |
0.357 |
0.225 |
и т. д.
:
,
где
Ответ: Полученные значения объединим в таблицу:
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
| ||||||||||||
|
0 |
1 |
0.909 |
0.832 |
0.763 |
0.696 |
0.625 |
0.544 |
0.447 |
0.328 |
0.181 |
0 | |
|
1 |
1 |
0.999 |
0.912 |
0.833 |
0.757 |
0.677 |
0.588 |
0.483 |
0.356 |
0.203 |
0.05 | |
|
2 |
1 |
1.003 |
1.000 |
0.906 |
0.815 |
0.720 |
0.616 |
0.497 |
0.357 |
0.225 |
0.1 | |
|
3 |
1 |
1.001 |
0.997 |
0.982 |
0.869 |
0.753 |
0.629 |
0.490 |
0.366 |
0.255 |
0.15 | |
|
4 |
1 |
0.994 |
0.983 |
0.960 |
0.920 |
0.778 |
0.628 |
0.498 |
0.388 |
0.291 |
0.2 | |
|
5 |
1 |
0.981 |
0.957 |
0.921 |
0.869 |
0.795 |
0.647 |
0.525 |
0.423 |
0.333 |
0.25 | |
|
6 |
1 |
0.963 |
0.920 |
0.866 |
0.796 |
0.738 |
0.692 |
0.572 |
0.471 |
0.382 |
0.3 | |
|
7 |
1 |
0.939 |
0.872 |
0.794 |
0.735 |
0.693 |
0.663 |
0.638 |
0.531 |
0.437 |
0.35 | |
|
8 |
1 |
0.909 |
0.813 |
0.741 |
0.692 |
0.660 |
0.639 |
0.622 |
0.604 |
0.499 |
0.4 | |
|
9 |
1 |
0.875 |
0.778 |
0.711 |
0.666 |
0.637 |
0.619 |
0.605 |
0.590 |
0.567 |
0.45 | |
|
10 |
1 |
0.869 |
0.772 |
0.703 |
0.656 |
0.625 |
0.604 |
0.587 |
0.568 |
0.541 |
0.5 | |
