Три способа представления вектора

1. Модулем или длиной и направляющими косинусами.

2. Проекциями или составляющими на координатной оси.

,

3. Нормальными и касательными составляющими или напряжениями, причем: ; .

Из рисунка видно, что .

Р ассмотрим три взаимно перпендикулярные площадки в произвольной точке , причем внешние нормали к ней параллельны координатным осям:

Напряженное состояние в любой точке ДТТ известно, если известен тензор напряжений или совокупность нормальных и касательных напряжений действующих в площадках элементарного параллелепипеда выделенного в

окрестностях этой точки.

;

; - нормальное напряжение, действующее перпендикулярно

площадке в рассматриваемой точке или действующее в площадке внешняя

нормаль которой совпадает с направлением координатной оси.

; ; - касательное напряжение, действующее в плоскости площадки с внешней нормалью .

, если направление напряжения и внешней нормали к площадке

о дновременно или совпадает, или не совпадает с направлением координатных осей.

Уравнение равновесия элементарного тетраэдра

= 0

Преобразуем представленное выражение с учетом свойств симметрии тензора сопротивлений.

; ;

Тогда:

= 0;

= 0;

= 0 ;

Или компактно:

;

Замечание: уравнение равновесия элементарного тетраэдра выделенного в окрестностях произвольной точки лежащей на поверхности ДТТ может быть получено аналогичным образом, они носят название – уравнения равновесия первого рода.

;

- i-я компонента вектора интенсивности внешних поверхностных сил.

Если в произвольной точке, лежащей на поверхности ДТТ, известны компоненты тензора напряжений, то в этой точке могут быть определены компоненты вектора интенсивности внешних поверхностных сил – смысл значения уравнения первого рода.

Уравнение равновесия элементарного параллелепипеда или уравнение равновесия второго рода.

Любое ДТТ представляет собой совокупность элементарных параллелепипедов и элементарных тетраэдров.

Для простоты изображения все виды напряжений покажем только центры тяжести площадок, причем учтем, что в объеме элементарного параллелепипеда по нарастающим координатам происходит увеличение напряжения на бесконечно малую величину.

Т ак как ДТТ под действием внешнего нагружения находится в равновесии, то и элементарный параллелепипед находится в равновесии.

Если мы представленное выражение преобразуем с учетом свойств симметрии тензора напряжений, то получим:

;

Или подробно:

= 0;

= 0;

= 0;

Замечания:

Уравнение равновесия второго рода позволяет по известным компонентам тензора напряжений в рассматриваемой точке лежащей внутри ДТТ компоненты , вектор интенсивности внешних объемных сил в рассматриваемой точке.