Свойства тензора дисторсии.

1.Является тензором 2-го ранга, т.е. содержит компонентов.

2.Является несимметричным относительно главной диагонали, т.е. из 9 пишем 3 независимых компонентов, т.к. или

, при

Тензор Грина или симметричный нелинейный тензор конечной деформации.

Введем ряд обозначений:

*- длина бесконечно малого отрезка MNʹ в лск.

**-длина бесконечно малого отрезка деформированного отрезка MN(его удлинение или укорочение в направлении этого отрезка) под действием внешнего нагружения.

- относительная деформация бесконечно малого MN

Рассмотрим разность квадратов длин отрезков MN и MʹNʹ

, тогда

- тензор Грина.

1.Является тензором 2-го ранга, т.е. содержит компонентов.

2.Является симметричным относительно главной диагонали,т.е. , при

3.Компонент тензора Грина определяется по следующей формуле, где можно выделить линейную и нелинейную части:

Тензор Альмансии или тензор конечной деформации в Эйлеровой системе координат.

В ЭСК вектор перемещения и вектор определяющий положение точки недеформированного телаявляется вектор - функциями, зависящими от координат точки деформированного состояния тела или от координат ЭСК.

или - закон деформирования произвольной точки в ЭСК.

- ЭСК в произвольной точки деформированного тела

- закон деформирования бесконечно малой окрестности произвольной точки деформированного тела в ЭСК.

Рассмотрим в ЭСК разность квадратов длин отрезков MN и MʹNʹ,т.е.

()=- тензор Альмансии

Свойства тензора Альмансии.

1.Является тензором 2-го ранга, т.е. содержит компонентов.

2.Является симметричным относительно главной диагонали, т. е. из 9 содержит 6 линейно-независимых компонентов, т.к.

3.Определяется по следующей формуле:

Замечание:

В классической теории упругости, где рассматривается перемещение точек тела, который меньше ее размеров, а деформации его точек <<1, т.е. , компоненты тензора Грина и тензора Альмансии имеют одинаковую математическую структуру, в ЛСК

Представление тензора Дисторсии в виде суммы 2-х тензоров: тензор малой деформации (Коши) и тензора малого поворота.

- симметричный тензор малых деформаций или тензор Коши.

Свойства тензора Коши (основные) :

1.Является тензором 2-го ранга или содержит компонентов.

2.Является симметричным относительно главной диагонали, т.е. содержит 6 нелинейно зависимых компонентов(см.3-е свойство)

3.Компоненты определяются по следующим формулам:

Тензор малого поворота и его свойства.

1.Является тензором 2-го ранга, т.е. содержит компонентов.

2.Является ассиметричным, т.е. (см.3-е свойство)

Геометрический смысл компонентов тензора Коши и тензора малого поворота.

1.

- размеры или длины ребер или элементов элементарного параллелепипеда выделенной в окрестности любой точки окрестности тела при отсутствии внешнего нагружения.

- длины ребер элементарных длин после деформации.

-абсолютная деформация ребра параллельная оси ;

-абсолютная деформация ребра параллельная оси ;

-абсолютная деформация ребра параллельная оси ;

- абсолютная деформация ребра параллельная оси ;

- абсолютная деформация ребра параллельная оси ;

-абсолютная деформация ребра параллельная оси ;

-относительные удлинения(укорочения)ребра параллельного -оси или элементом