Теория деформаций
Под действием внешнего нагружения изменяются расстояния между материальными частицами, первоначально прямые углы, между произвольными отрезками выбранные в (на) теле; изменяются размеры, формы элементарных параллелепипедов; размеры, форма тела в целом. Все эти изменения связаны с перемещением точек тела (материальных частиц) для описания и изучения которых используют 2 способа: Лагранжевый и Эйлеровый.
Описание перемещений в ЛСК. (лагранжевая система координат).
Описание перемещений с ЛСК.
͞х=х1͞e1+х2͞e2+х3͞e3=хi͞ei
͞хʹ=х1ʹ ͞e1+х2ʹ ͞e2+х3ʹ ͞e3=хiʹ ͞ei – радиус-вектор, определяющий местоположение т. Мʹ деформированного состояния тела в пространстве наблюдателя, которая связана с его недеформированным состоянием.
͞e1ʹ,͞e2ʹ,͞e3 –ортогональные, единичные вектора в пространстве наблюдателя.
͞u=͞хʹ-͞х – вектор перемещения в произвольной т. М. принадлежащей естественному состоянию тела под действием внешнего нагружения, в пространстве наблюдателя.
Ui=хiʹ-хi
, где i=
͞хʹ=͞х+͞u- вектор, определяющий закон деформирования в пространстве наблюдателя или вектор определяющий положение точки деформированного состояния тела, выбранного в пространстве наблюдателя, связанного с естественным состоянием тела.
͞хiʹ=͞хi+͞ui,
где i=
.
Лагранжевым способом описания перемещения называется способ, согласно которому вектор перемещения, вектор определяющий закон деформирования и соответственно их компоненты являются функциями координатной точки недеформированного состояния тела, а координаты этой точки называются независимыми лагранжевыми координатами:
или
͞͞xʹ(x1,x2,x3)=͞x+͞u(x1,x2,x3)
или xi(x1,x2,x3)=xi+u(x1,x2,x3),
где
Эйлеровый способом описания перемещений называется способ, согласно которому вектор перемещения, вектор определяющий закон деформирования, является функциями координатной точки деформированного состояния тела, т.е.:
или
Закон деформирования.
или
То есть рассматривается изменение параметров среды, при прохождении через точки деформированного состояния тела, причем координаты-x1ʹ,x2ʹ,x3ʹ точки деформированного состояния тела, называются эйлеровыми координатами.
Необходимые и достаточные условия перехода из лагранжевой системы координат в эйлеровую систему координат и наоборот; или необходимые и достаточные условия разрешения системы 3-х уравнений относительно независимых переменных.
,
где i=
1.Непрерывность функции xiʹ по переменным x1, x2, x3.
2.Непрерывность первых производных этих произведений по независимым переменным.
3.Неравенство
нулю детерминанта.
det
Замечание:
1.В отличие от теоретической механики, где рассматриваются перемещения точек связанные с перемещением тела, как абсолютно жесткого твердого тела в МДТТ; классическая теория упругости, рассматривает перемещения точек, связанные с деформацией тела. При этом в системе координат пространства наблюдателя прикрепляется к телу таким образом, что некоторые точки или элементы являются неподвижными, а другие точки получают перемещения под действием внешнего нагружения, т.е. в связи с деформацией тела. Перемещения точек тела является функциями координат этих точек, перемещение разных точек - разное, бесконечноблизкие - бесконечноблизкие;
2.В естественных состояниях ЛСК и ЭСК совпадают;
3.При выборе системы координат приоритет отдают той, в которой математическая зависимость будет иметь более простой вид;
4.В классической теории упругости используют ЛСК.