Основы информатики_Савельев А.Я_Учебник_2001

8 8. Контроль логических операций

Р е ш е н и е . Сначала определяем контрольный код для исходного числа путем сложе­ ния триад по модулю?: г^ = 101Ф1 !0Ф1 Il®101 = (mod7). Затем сдвигаем вправо число

Л-0.10!М011110 и его контрольный код г^ =001.

На основании (8.24) при a^ =ha^^ = О , поправки А = 011 определяем контрольный код: r^sO()l + 01UiOO(inod7).

Проводим молифииирова1гный сдвиг числа А^ =1,10111011110, для которого контроль­ ный кол при Д = (КЮ г^ =()()I+O00 = 00!(mod7)-

Ответ г^ = ОК), с^ - И)0. г- = OOt .

О п е р а ц и я с л о ж е н и я по м о д у л ю 2 . Операцию сложения по модулю 2 можно выразить через другие арифметические операции, напри­

Тогда, используя переход от арифметических выражений к сравнени­ ям, tioj[y4HM следующую формулу для образования контрольного кода:

где r^^f, —- контрольный код суммы двух чисел; Р^ — инверсия контроль­ ного кода jЮ[ ического произведения двух чисел со сдвигом влево на один разряд.

О п е р а ц и я л о г и ч е с к о г о у м н о ж е н и я . Операцию логического умножения двух чисел можно выразить через другие арифметические и ло­

гические операции: Ал В-2''\А + В)-2~\АФ В).

Умножение на 2~' означает сдвиг кода числа, стоящего в скобках, вправо па один разряд. После перехода к сравнениям контрольный код для логического умножения получается по формуле

201

8 Контроль работы цифрового автомата

(8.26) где г— — контрольный код суммы, сдвинутый вправо на один разряд: /^ — инверсия контрольного кода логической суммы чисел, сдвинутой на

разряд вправо.

При выполнении сдвигов необходима коррекция контрольных кодов в соответствии с изложенными выше правилами.

8.9. Контроль арифметических операций

Арифметические операции выполняют на сумматорах прямог о, обратно! о и дополнительного кодов. Предположим, что изображе1!Ие чисел (операнды) хранятся в машине в некотором коде, т. е. операция преобразования в задан­ ный код или обратно проводится на выходе или входе машины. Методика реа­ лизации операций контроля представляется следующим образом.

Прежде всего рассмотрим изображение числа в соответствую[цем коде как единую кодовую комбинацию, к которой можно приложить все сфор­ мулированные выше правила получения сверток. При этом требуется толь­ ко обязательная кратность общего числа разрядов избраН1юму мoдyJno.

Рассмотрим последовательность действий на примере сумматора пря­ мого кода.

Так как на сумматоре прямого кода складываются только цифровые части изображений чисел, а знак сохраняется, то контроль можно ос)тцествить двумя способами;

1)раздельный контроль знаковой и цифровой частей изображений ре­ зультата;

2)обобщенный ко|ггроль всего изображения.

При раздельном способе для контроля знаковых разрядов МОЖЕЮ ис­ пользовать средства для обнаружения переполнения, так как в случае модифицировангюго кода появление ошибок в знаковых разрядах приведет к

202

S 9 JioHtnpo^b арифметических операций

несовпадению информ;'ции в них. При проверке правильности обработки цифровых частей изоб|?;жений также не возникает особых трудностей.

При обобщенном с ,ioco6e контроля требуется коррекция контрольного кода результата из-за ,ого, что знак результата при сложении повторяет знак слагаемых. Следе |)ательно, можно констатировать, что контрольный код суммы чисел долж( и быть

Пример 8.13. 11ровести , онтроль операции сложения чисел на сумматоре прямого кода: И]„р = 1,01101011,|Д|„|, = l.'OI 10010, р = 7.

Обобщенный снос i6 контроля может быть применен и для сумматоров обрашого и дополнительного кодов.

Пример 8.(4. 1!ровест^,^контроль операции сложения кодов для сумматора обратного кода: l/(l„j =l,OIIOOIOO!;[f,rf, = 0,l!OOOIlll,p = 3 .

Р е ш е н и е (^нределне i па основании (8.! 2):

"•л^!," 10*11*0"® 10®01(mod3);/-^ »= 10,

'•»„,=oie loeooei le ii(mod3); r,,^ = oo.

Pejvflbiai (/( + Д)^, = 0 Ю10! 100! и r,^,,,,^ = 10, Проверка, '"(,^,/,1 ~''^ой''"'^"об ='0{mod3). Ответ- Г|^,^,, - 10 ,

При сложении ЧИ1 ел на сумматоре дополнительного кода потребуется коррекция ко1ггрольнс1 о кода в случае, если знаковые разряды изображе­ ний содержат единиц'', так как при этом возникает единица переноса из знаково! о разряда. Оч<«идно, что контрольный код суммы будет равен

203

8 Контроль работы цифрового автомата

Арифметическим кодам 1-го вида будем называть код А- N, где А — контролируемое число, N— модуль. Для таких кодов несколько изменяют­ ся понятия «расстояния» и «веса».

Весом арифметического кода принято считать количество нену;гевых символов в кодовой комбинации, а расстояние, определяемое как вес раз­ ности кодовых комбинаций, нъ-ъь\ъа\от арифметическим расстоянием.

Если расстояние между двумя числами yi, и у(, равно d. то эго означа­ ет, что переход от одного числа к другому достигается прибавлением Bejmчины d. В этом случае все комбинации чисел, находящиеся между ,1, и ,4,, являются запрещенными. Следовательно, для обнаружения (/-кратной ошибки необходимо иметь расстояние не меньше t/ + 1, Ecjm rf = I. го raкой код не сможет обнаруживать ошибок. Величина расстояния для кодов А • N -вида зависит от величии AHN.

Предполагается (и это доказано в теории кодирования [10|). чю для любого числа А в системе основания q = 2 существует едипс1вешюе пред­ ставление вида

где f/, = ±1 или О, и в котором нет двух соседних коэффициенгов, оин1чны\ от нуля.

Представление (8.34) содержит минимальное число ненулевых коэф­ фициентов и называется каноническим. В каноническом представлении вес

\о%2(А- N) = log2 А + log; N , где log, N — избыточносгь кода. Таким образом, выбор модуля определяет не только избыточность, но и расстояние. В качесгве модуля целесообразно выбирать некоторое взаимно простое с основанием сис­ темы q число, превосходящее само основание. Можно положить, чго для двоич­ ной системы Af = 3, и тогда любой код вида А • 3 будет обнаруживать все оди­ ночные ошибки. Следовательно, минимальная избыточность при произвольном основании онрецамегся как log^(^ +1), т. е. всегда будег требоваться Fie менее одного, но и не более двух дополнительных разрядов.

Коды с минимальным расстоянием, большим двух, характеризуются величиной M,i(N,d). Величина M^(N,d) — наименьшее число, дающее

206

8.10. Арифметические коды

при умножении его на Л^ число, вес которого меньше d в представлении по основанию q. Другими словами, если число N имело вес d в представлении по основанию q. то произведение NM^(N, d) будет иметь вес меньше d по этому же основанию q.

Если число А изменяется в пределах 0< А<, M^(N, d), то при любых N и q минимальное расстояние Л-Л'-кода будет равно по меньшей мере d, что вытекает из определения числа M^(N, d).

В теории кодирования доказано, что

Основной способ для отыскания значения N^ — способ непосредст­ венных вычислений. Рассмотрим его на конкретном примере.

Пример 8.17. |'ассчи|ать величину M^ для разных значений модуля N Р е ш е н и е Возьмем код с расстоянием 3. Тогда возможны случаи:

Кроме /I •Л'-кодов существуют арифметические коды 2-го рода с большим минимальным расстоянием. Арифметическое расстояние между числами Л^ и Aj есть вес их разности, а вес, в свою очередь, определяется количеством непулевых символов в представлении числа по основанию q. Каждое число имеет каноническую форму представления по основанию 2, т. е. минимальное количество равно 1.

Если ^V простое число, то 2^^' делится на Л^ Пусть

207

8 Контроль работы цифрового автомата

где /j, = (/ • 2""' mod А) mod 2 .

И дейсгвителыю: /V = 11, В = (1024 - 1)/11 = 93 . Если / = 10, то

Таким образом, при изображении числа I в В- Л-коде половина знаков равна единице, а половина— нулю. Это следует из выражения

ft, s(/ . 2" 'mod/V)mod2,

так как 2 и N взаимно простые числа, значит, остатки от деления чисел 2' на Л^— целые числа от I до Л^ - I. Так как число Л^— нечетное, количество остатков — всегда четное число, а значит половина из остатков чис/га не­ четные, а половина — четные числа. Следовательно, половина остатков по mod 2 дает единицу, а половина — нуль.

Пример 8.18. Пусть N = 11. В = 93. Найти изображения чисел /от 1 до 10 н в•^'- коле.

208

Ответ см формулу (а) данною примера.

Арифметический вес числа в i?-Л^-коде равен (Л^-1)/3,или (Л^ + |)/3

взависимости от того, какое из этих чисел целое (N >У).

Вслучае В • N -кодов по известному Л^ можно не только определить KOjfHMecrBO символов и и,\ вид, но и заранее определять арифметическое рассюяние, что непосредственно влияет на корректирующие способности кода.

CyiueciByK)! еще самодополпяюгциеся {A-N + В) коды, В этом случае код ;|ля дополни гельного числа Л^ — дополнительный код самого числа А.

Если числа, которые кодируются, имеют основание h, то дополнение для числа А будет (Л - I - у(), Дополнение же числа А • N при представле­

209

й Контроль работы цифрового автомата

!1о таблице ишем A/;(iV,3)>IO (так как А — десятичный знак, т.е. oi I до У) M',{N. 3) = 27 , при этом N = 19. Наибольшее число в этом случае равно !9-9= 17!, для не­ го потребуется по крайней мере 8 двоичных знаков (110!0!0!).

Л /V + В = 9 -19 + 42 - 213 < 2^ (нужно 8 знаков двоичных, значит, коД возможен). Оконча!ельно таблица кодирования имеег такой вид:

Ответ двоичные коды представлены в таблице 8.6.

Рассмотрим несколько случаев применения описанных выше кодов. I. Пусть Aii-A2<\0, т.е. нет переноса в кодовых словах. Тогда

N•A^ + В-i- N-А^ ^ В- N{A^ + А2) + 2В. Отсюда видно, что нужЕШ поправка

(/1, ^ 3 . .^2=4).

Ре ш е н и е .

А.=3= ОПООО!!

Л= 4 ='^01110110

lycTb произошла одиночная ошибка в 5-м разряде.

запрещенная комбинация

запрещенная комбинация наиболее близка к !0!0 П ! 1

2!0

8-10. Арифметические коды

Ответ /1, + / I j = 1010 111 1 ,

Следовательно, при переносе в старшее кодовое слово нужно добавить поправку +{А-\). В этом слове, откуда происходит перенос, нужно сде­ лать поправку -(IV~\ + В).

Пример 8.21. О ю ж и п , числа А, =328 и /(j =563, N = \9. В = 42 .

Злссь ( У - | . 1 8 ( П ) 0 1 0 , ) . Р е [II е и и с

Ответ Л| 4 ,1, = 11000010 1101 0101 ООП! 101.

Сравнив результат с образцом разрешенной комбинации, можно опре­ делить местоположение ошибки.

В современных вычислительных машинах используется контроль на четность и нечетность. Этот контроль позволяет лишь зафиксировать нали­ чие ошибки, но не позволяет ее исправить. Но он иашел широкое примене­ ние благодаря своей простоте, так как и наличие информационной избы­ точности требует применения контрольной аппаратуры, которая может оказаться слиишом объемной, труднореализуемой. Например, в случае самодополняЕощихся (А- N + В)-кодов необходимо умножить число иаN, где N простое число, прибавить В; для представления четырехзначных чисел по величине используют восемь разрядов (см. пример 8.21), помимо этого

211