Глава 7. Равновесие НМС, находящейся

под действием систем сил, при наличии трения

7.1. Трение скольжения

Трение друг о друга двух соприкасающихся НМС представляет собой сложное физическое явление. Трение скольжения возникает в касательной плоскости поверхностей соприкосновения НМС при движении или стремлении двигать поступательно одну НМС по поверхности другой.

Рис. 59

Пусть на НМС действует система заданных сил и НМС находится в равновесии, соприкасаясь с поверхностью другой НМС, являющейся связью для рассматриваемой НМС (рис. 59). Если поверхности соприкасающихся НМС абсолютно гладкие, то реакция поверхности связи направлена по нормали к общей касательной плоскости в точке соприкосновения, и направление реакции в этом случае не зависит от действующих на НМС заданных сил. От заданных сил зависит только величина силы реакции. В действительности абсолютно гладких поверхностей не существует. Все поверхности НМС в той или иной степени шероховаты. В связи с этим и сила реакции шероховатой поверхности при равновесии НМС зависит от заданных сил не только по модулю, но и по направлению. Разложив силу реакции на составляющие по нормали и касательной плоскости в точке соприкосновения, получим – нормальную реакцию поверхности и – силу трения скольжения (рис. 59).

Рассматривая сухое трение без смазки, различают трение скольжения при покое или равновесии НМС и трение скольжения при движении одной НМС по поверхности другой.

7.2. Законы Кулона

Законы трения были сформулированы французским физиком Кулоном:

7.2.1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей НМС и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения НМС под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от заданных сил и ее модуль заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода НМС из положения равновесия, т. е.

.

7.2.2. Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей (в случае их сопоставимости).

7.2.3. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению ( нормальной реакции ), т. е.

, (7.1)

где безразмерный коэффициент f_c называют коэффициентом трения скольжения.

7.2.4. Коэффициент трения скольжения не зависит от нормального давления, а зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т. е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Численное значение величины этого коэффициента устанавливается экспериментально.

7.3. Угол, тангенс, конус трения

Многие задачи на равновесие НМС на шероховатой поверхности (при наличии силы трения скольжения) удобно решать геометрически с использованием понятий угла, тангенса и конуса трения.

Пусть НМС под действием заданных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции.

Рис. 60

В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол , который называется углом трения (рис. 60).

.

Поскольку по третьему закону Кулона ; то

, (7.2)

т.е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения cкольжения.

Если рассмотреть НМС, имеющую возможность перемещаться в любом направлении вдоль касательной плоскости из точки соприкосновения с негладкой связью, то геометрическое место полных реакций связи образует поверхность, называемую конусом трения с углом раствора (рис. 60). Конус трения обладает тем свойством, что как бы ни была велика по интенсивности приложенная к НМС сила, линия действия которой расположена внутри конуса трения, эта сила не приведет в движение НМС.

Пример 1

2. Однородный тяжелый стержень DВ длиной см опирается концом D на гладкую вертикальную стену, а другим – В на шероховатую вертикальную стену (точка D расположена выше точки В, рис. 61). Расстояние между стенами h=8 см (h<). Определить коэффициент трения скольжения шероховатой стены f_с, при котором возможно равновесие стержня, используя алгоритм С05 РПЛ.

Рис. 61

2. Один объект равновесия.

3. На стержень действуют сила тяжести , приложенная в середине стержня, нормальная реакция гладкой стены и реакция шероховатой поверхности , которую разложим на нормальную реакцию и силу трения cкольжения . По теореме о трех силах (глава 2) линии действия сил , и пересекаются в одной точке (рис. 62).

Рис. 62

С учетом трения скольжения .

6. РПЛ.

7. 

6. 

Из геометрических условий задачи находим:

Для силы трения скольжения имеем следующие соотношения:

Исключая силу трения скольжения , получаем

.

7.4. Трение качения

Пусть НМС, например цилиндрический каток, катится или стремится катиться по какой-либо поверхности под действием заданной системы сил (рис. 63).

Рис. 63

В этом случае кроме силы трения скольжения, из-за деформации поверхностей дополнительно возникает момент, препятствующий качению катка.

Соприкосновение катка с неподвижной плоскостью из-за деформации поверхностей происходит по некоторой линии ВО₁D. По этой линии на каток действуют сходящиеся распределенные силы реакции. Если привести эти силы к точке О, то в этой точке получим главный вектор этой системы сходящихся сил, который создает момент трения качения с плечом f_k относительно точки О₁.

Существуют следующие приближенные законы для трения качения:

7.3.1. Момент трения качения при покое зависит от заданных сил и он заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода НМС из положения равновесия, т. е.

.

7.3.2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению (нормальной реакции ):

, (7.3)

где коэффициент f_k называется коэффициентом трения качения, имеющий размерность длины.

7.3.3. Коэффициент трения качения зависит от материала поверхностей качения и их физического состояния.

Примечание:

Аналогично трению скольжения можно рассмотреть и явление возникновения, так называемого, трения верчения.

Пример 2

2. Какую силу необходимо приложить для равномерного качения цилиндрического катка весом P=300 Н на наклонном участке пути (), если известно, что коэффициент трения качения f_k=0,5 см, а каток имеет радиус = 0,5 м (рис. 64)?

3. Один объект равновесия – цилиндрический каток.

5 Момент трения качения определяется соотношением

.

Рис. 64

6. РПЛ.

7. ,

.

8 Из уравнения ,

из неравенства .

9 Ответ: Н.

Пример 3

2 МС состоит из соединенных невесомой, нерастяжимой нитью, груза 1, весом Р₁ и катка 3 весом Р₃, радиуса , находящихся на наклонных плоскостях, и неподвижного блока 2 веса Р₂ (рис. 65). Определить натяжение нити H, предельные значения реакции связи блока 2 и условия равновесия МС если:

• угол наклона шероховатой плоскости, на которой находится груз 1, равен , коэффициент трения скольжения груза по плоскости равен f₁;

• угол наклона плоскости, на которой находится каток 3, равен , коэффициент трения качения катка по плоскости равен f_k коэффициент трения скольжения катка по плоскости равен f₃.

Рассматриваются два варианта:

первый – каток стремится опуститься вниз,

второй – груз стремится опуститься вниз.

Рис. 65

Первый вариант – каток стремится опуститься вниз.

3 Составная конструкция.

2. n=3.

=1 (груз 1)

Рис. 66

Сила трения скольжения определяется соотношением

.

2. РПЛ.

3. ,

.

2. Из 2-го уравнения ,

из 1-го уравнения .

С учетом неравенств для и, того, что H₁ = H, получим:

,

откуда получим неравенство для H:

.

=2 (блок 2)

5

Рис. 67

6. РПЛ.

7. ,

. ()

6. Из 1-го уравнения ,

из 2-го уравнения .

С учетом неравенств для H получим

,

.

=3 (каток)

5

Рис. 68

Сила трения скольжения и момент трения качения определяются соответственно следующими соотношениями:

, .

6. РПЛ.

7. ,

6. Из 2-го уравнения ,

из 1-го уравнения ,

из 3-го уравнения .

С учетом неравенств для и и того, что H₃=H, получим:

,

.

Для первого варианта должны выполняться следующие неравенства для величины натяжения нити:

,

,

.

Второй вариант – груз стремится опуститься вниз.

Проделав аналогичные операции для второго варианта, получим:

,

,

.

Таким образом, должны выполняться следующие неравенства для величины натяжения нити:

,

, .

Максимальное и минимальное значения H определятся из следующих соотношений:

,

.

Из этих соотношений можно получить решение для любого частного случая значений углов, сил тяжести и наличия или отсутствия трения скольжения и качения.

Например, для частного случая , получим следующие условия равновесия:

при ,

при ,

при .

240