1.6. Общие теоремы динамики мт

1.6.1. Теорема об изменении количества движения мт

Основной закон динамики (1.1) можно представить в виде:

(1.29)

Здесь – элементарный импульс силы, действующей на МТ.

Соотношение (1.29) выражает теорему об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме.

Теорема: Дифференциал количества движения МТ равен элементарному импульсу силы, действующей на МТ.

Проинтегрировав соотношение (1.29) с учетом начальных условий: при t = 0 , получим эту теорему в конечной интегральной форме:

. (1.30)

В (1.30) называется импульсом силы за конечный промежуток времени:

. (1.31)

Теорема: Изменение количества движения МТ за конечный промежуток времени равно импульсу силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени.

Проектируя на оси декартовой системы координат равенство (1.30), получим эту теорему в скалярной форме:

,

, (1.32)

,

где S_x, S_y, S_z – проекции импульса силы на оси декартовой системы координат.

Теорема: изменение проекции количества движения МТ на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось импульса силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени – соотношение (1.32)

Следствия: если =0, то, т. е. МТ движется таким образом, что ее скорость остается постоянной;

если F_x=0, то V_x = V_0х, т. е. МТ движется таким образом, что проекция ее скорости на ось х остается постоянной.

Первое из полученных соотношений находится в полном соответствии с первым законом динамики – законом инерции и подтверждает, что при отсутствии силы МТ движется равномерно и прямолинейно.

1.6.2. Теорема об изменении момента количества движения мт

Умножим векторно слева обе части основного закона динамики – соотношение (1.1) на радиус-вектор (рис. 11):

Рис. 11

(1.33)

Преобразуем левую часть, представив ее в виде тождества:

(так как , то).

Соотношение (1.33) примет вид:

. (1.34)

Введя обозначение момента количества движения МТ относительно центра О через вектор , получим:

. (1.35)

Соотношение (1.34) с учетом (1.35) и того, что его правая часть есть момент силы относительно центра О: , примет вид:

.(1.36)

Соотношение (1.36) выражает теорему об изменении момента количества движения МТ в векторной форме.

Теорема: Производная по времени от момента количества движения МТ относительно какого-либо центра равна моменту силы, действующей на МТ, относительно того же центра.

Проектируя равенство (1.36) на оси декартовой системы координат, получим эту теорему в скалярной форме:

,

, (1.37)

.

Здесь _Ox, _Oy,_Oz – проекции момента количества движения МТ на оси декартовой системы координат (моменты количества движения МТ относительно координатных осей), а mom_Ox, mom_Oy,mom_Oz – моменты силы относительно координатных осей.

Теорема: Производная по времени от проекции момента количества движения МТ на какую-либо ось равна моменту силы, действующей на МТ, относительно той же оси – соотношение (1.32)

Следствия: если , то, т. е. МТ движется таким образом, что момент количества движения МТ остается постоянным;

если , то, т. е. МТ движется таким образом, что проекция момента количества движения МТ на ось х остается постоянной.

Первое из полученных соотношений представляет собой закон сохранения момента количества движения МТ.