- •Часть 3. Динамика Введение в динамику
- •Глава 1. Динамика мт
- •1.1. Законы (аксиомы) динамики мт Закон инерции
- •Основной закон динамики
- •Закон равенства действия и противодействия
- •Закон независимости действия сил
- •Системы основных единиц
- •1.2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт
- •1.3. Две основные задачи динамики мт
- •1.3.1. Первая (прямая) задача динамики мт
- •1.3.2. Вторая (обратная) задача динамики мт
- •1.4. Алгоритм решения первой и второй задач динамики мт – схема алгоритма д14 озд с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Пример 1
- •1.5. Колебательное движение мт
- •1.5.1. Уравнение колебательного движения мт
- •1.5.2. Колебательное движение мт в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы
- •1.5.3. Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
- •1.5.4. Колебательное движение мт в среде без
- •1.5.6. Колебательное движение мт в поле силы тяжести, в среде с сопротивлением под действием возмущающей силы
- •1.6. Общие теоремы динамики мт
- •1.6.1. Теорема об изменении количества движения мт
- •1.6.2. Теорема об изменении момента количества движения мт
- •1.6.3. Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы
- •1.7. Принцип Даламбера для мт
1.5. Колебательное движение мт
Изучение колебательного движения МТ сводится к решению второй задачи динамики для МТ, на которую действуют в той или иной комбинации силы, зависящие от положения МТ, ее скорости и времени. Поэтому решение конкретных задач колебательного движения МТ должно проводиться с использованием алгоритма Д14 ОЗД.
1.5.1. Уравнение колебательного движения мт
Рассмотрим движение МТ под действием центральной силы, стремящейся возвратить МТ в равновесное положение при ее отклонении от этого положения. Если начальное отклонение МТ и ее начальная скорость совпадают по направлению, то МТ под действием такой силы будет совершать прямолинейное движение. Будем считать, что сила, стремящаяся возвратить МТ в равновесное положение, пропорциональна ее отклонению от центра (рис.4):
,
где с – коэффициент пропорциональности. Такую силу в дальнейшем будем называть восстанавливающей.
Пусть к МТ, кроме восстанавливающей силы, приложена сила сопротивления, пропорциональная скорости ее движения (рис.4):
,
где – коэффициент, характеризующий интенсивность сопротивления движению МТ.
Рис. 4
На основании второго закона динамики можно записать уравнение движения МТ:
.
Проектируя это уравнение на направление начального отклонения и начальной скорости и приняв это направление за ось х (рис. 4), получим:
.
Если к МТ, кроме указанных выше, будет приложена еще и возмущающая сила, изменяющаяся с течением времени по гармоническому закону и направленная по оси х (рис. 4):
Hв = H sin pt,
где Н и р - соответственно амплитуда (наибольшее значение) и круговая частота возмущающей силы, то уравнение колебательного движения примет вид:
.
Приводя это уравнение к каноническому виду, получим:
.
Введем следующие обозначения:
.
Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид:
. (1.14)
Это линейное, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, решение этого уравнения состоит из двух частей:
х = х1+х2, (1.15)
где х1 – общее решение однородного уравнения
, (1.16)
х2 – частное решение неоднородного уравнения
. (1.17)
Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение:
,
где k – характеристическое число.
Решения характеристического уравнения имеют вид:
.
Возможны три типа корней характеристического уравнения:
n< (случай малого сопротивления), тогда
–комплексные числа (,), решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:
, (1.18)
где а и – постоянные интегрирования.
n> (случай большого сопротивления), тогда
–действительные отрицательные числа, решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:
, (1.19)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
n=, тогда
–кратные действительные отрицательные числа, решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:
, (1.20)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Частное решение ищем с учетом вида правой части:
,
где b и – постоянные интегрирования, которые нужно подобрать так, чтобы неоднородное уравнение (1.17) обратилось в тождество.
Подставляя значения х2, в неоднородное уравнение, получим:
.
Отсюда, с учетом формул для синуса и косинуса суммы двух углов, имеем:
Приравнивая коэффициенты при sin pt и cos pt в правой и левой частях этого уравнения, получим систему двух уравнений относительно sin и cos:
Решая систему, найдем:
,
.
Возведя в квадрат первое и второе выражения и сложив их, получим:
, (1.21)
а поделив первое на второе:
или
. (1.22)
Общее решение, например, в случае малого сопротивления среды может быть представлено в виде:
, (1.23)
где а и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями движения, а значения b и только что были определены и от начальных условий не зависят. Для определения постоянных интегрирования (а, ) полное решение (1.23) необходимо удовлетворить начальным условиям.
Таким образом, колебания МТ являются результатом наложения (суперпозиции) собственных (первое слагаемое в правой части соотношения (1.23)) и вынужденных (второе слагаемое в правой части соотношения (1.23)) колебаний.
Наличие множителя e-nt обусловливает быстрое затухание собственных колебаний. Поэтому при расчетах в основном приходится считаться с вынужденными колебаниями, которые являются гармоническими с амплитудой b, угловой частотой p, равной частоте возмущающей силы, и начальной фазой .
Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний и начальной фазы от частоты возмущающей силы и сопротивления среды. Разделив в формулах для амплитуды b (1.21) и начальной фазы (1.22) вынужденных колебаний числитель и знаменатель на 2, перепишем их в следующем виде:
,
,
где – величина статического отклонения МТ под действием силы Н, равной максимальному значению вынуждающей силы Hв;
–отношение круговых вынужденных и собственных частот колебаний МТ (коэффициент расстройки);
–величина, характеризующая сопротивление среды (коэффициент затухания).
Исследуем то, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от изменения безразмерных параметров z и γ. Для этого рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе амплитуды:
.
При f(z, γ) = 1 и b = δ независимо от значения γ.
Для исследования функции f(z, γ) найдем производную по параметру z:
.
Пусть сопротивление движению МТ невелико и . Тогда при возрастанииz от 0 для малых z будет , следовательно, знаменатель амплитуды вынужденных колебаний убывает, а амплитудаb растет. Приравнивая производную нулю, находим значения параметра z, при которых функция f(z, γ) имеет экстремум:
,
так как параметр z не может быть меньше нуля, то исключается значение .
Результаты исследования на максимум амплитуды вынужденных колебаний b в зависимости от z при различных значениях отражены на рис. 5.
Рис. 5
В случае периодической возмущающей силы, которая в различных областях техники встречается весьма часто, можно разложить функцию , период которой известен, в ряд Фурье и решить линейное, неоднородное дифференциальное уравнение движения второго порядка аналогично тому, как это было сделано в этом параграфе для гармонической возмущающей силы.
Рассмотрим частные случаи.