1.5.2. Колебательное движение мт в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы

В этом случае n=0, h=0 и общее решение (1.23) примет вид:

, (1.24)

где а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

МТ перемещается по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название простого гармонического колебания, график его представлен на рис. 6.

Рис. 6

Скорость этого гармонического колебания МТ будет:

. (1.25)

Так как , то постоянная а определяет наибольшее отклонение МТ от центра колебаний О и называется амплитудой колебаний МТ. Параметр определяет положение МТ и ее скорость в каждый момент времени и называется фазой колебаний, а постоянная α – начальной фазой.

На основании уравнения (1.24) можно сделать вывод, что движение МТ является периодическим. Периодом колебаний называется промежуток времени Т_п, в течение которого МТ совершает одно полное колебание, т.е. МТ в момент времени t + T_п должна прийти в то же положение х и иметь ту же скорость , что и в момент времениt:

, .

Наименьшее значение t, при котором выполняются эти условия, определяются равенством , откуда

.

Величина обратная периоду, определяет число колебаний, совершаемых МТ за одну секунду, и ее называют частотой колебаний:

.

Соответственно параметр ω называется круговой частотой колебаний. Необходимо отметить, что частота и период колебаний МТ от начальных условий не зависят.

1.5.3. Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы

В этом случае h = 0 и решение может быть представлено формулами (1.18) – (1.20),так как х=х

При малом сопротивлении среды (n < ) в соответствии с формулой (1.18) ;

, (1.26)

где а и  – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Из уравнения (1.26) следует, что движение МТ будет колебательным. Эти колебания называют затухающими, так как за счет множителя размахи колебаний будут убывать, стремясь с течением времени к нулю. Период затухающих колебаний

.

Графически затухающие колебания можно иллюстрировать затухающей синусоидой (рис. 7).

Чтобы установить закон затухания размахов колебания, отметим, что промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями МТ иравен периоду Т_п, т.е. . С учетом этого найдем:

.

Отсюда следует, что наибольшие отклонения МТ убывают с течением времени по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой называется декрементом колебаний. Соответственно величинаназывается логарифмическим декрементом затухания.

Рис. 7

В случае большого сопротивления среды (n > ) движение МТ будет неколебательным (апериодическим) затухающим – формула (1.19):

,

где – действительные отрицательные числа, а С₁ и С₂ - постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

График этого движения МТ в зависимости от величины и знака начального отклонения х₀ и направления начальной скорости имеет форму одной из кривых, изображенных на рис. 8 (или им симметричных относительно оси абсцисс).

Рис. 8

В предельном случае (n = ) движение МТ также будет неколебательным (апериодическим) затухающим – формула (1.21):

,

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Картина движения МТ будет качественно такой же, как показанная на рис. 8.