Методические указания к заданию 3

Сжатые Элементы мостов, строительных и подъемно=транспортных конструкций рассчитывают на устойчивость согласно СНиП по коэффициенту продольного изгиба .

Условие устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня имеет вид

Где σ- нормальное напряжение в поперечном сечении стержня;

[σ_y] =– допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;

N·P – продольное усилие в стержне , равное силе, сжимающей стержень;

– допускаемое напряжение на сжатие ;

– коэффициент продольного изгиба; его числовые значения берутся из таблиц в зависимости от материала и максимальной гибкости стержня (λ_max), вычисляемой по формуле (4).

Коэффициент всегда меньше единицы. Поэтому его иногда называют коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие. Очевидно,.

По условию устойчивости (9) можно выполнить расчеты трех типов :

1. Проверка устойчивости;

2. Определение допускаемой грузоподъемности;

3. Подбор сечения.

В задании 3 требуется выполнить два первых расчета. Известными величинами являются усилие в стержне N=P , длина стержня , характер опорных закреалений (коэффициент µ). Форма и размеры поперечного сечения допускаемое на сжатие.

Расчет выполняется в следующей последовательности:

1. Нахождение центра тяжести и положение главных центральных осей инерции сечения.

2. Вычисление геометрических характеристик поперчного сечения ( площади F , минимального момента инерции , минимального радиуса инерции).

3. Определение наибольшей гибкости стержня λ_max по формуле (4) и соответствующего табличного значения коэффициента .

4. Определение наибольшего допускаемого значения сжимающей силы [Р_у]. Из условия (9) следует, что .

5. Определение критической силы по формуле (2) или (6), в зависимости от λ_max.

6. Вычисление действительного запаа устойчивости стержня

7. Определение допускаемой нагрузки [Р] из условия прочности стержня при сжатии (без учета возможности потери устойчивости).

Последовательность расчетных этапов можно проследить в примере 3.

Пример 3

Стальной стержень сложного поперечного сечения (рис.3) подвергается сжатию. Материал – сталь марки Ст.3. (Модуль упругости , основное напряжение).

Требуется:

1. Проверить устойчивость стержня по коэффициенту продольного изгиба ( по допускаемому напряжению на устойчивость) при сжатии его силой Р = 130 кН.

2. Из расчета на устойчивость по коэффициенту определить наибольшую допустимую величину сжимающей нагрузки [Р].

3. Найти величину критической силы Р_к по формуле Л.Эйлера или по формуле Ф.С. Ясинского ( в зависимости от гибкости стержня).

4. Определить запас устойчивости стержня по отношению к P_к .

5. Найти допускаемую нагрузку [Р] из расчета стержня на прочность при сдатии ( без учета возможности потери устойчивости).

Решение

1. Геометрические характеристики поперчногосечения.

Сечение представляет собой прямоугольник 3,6х4,5 см. из которого вырезаны два полукруга d =3,0 см. Эти элементы сечения на рис.3б отмечены цифрами 1,2,3. Оси Х0 и У0 являются главными центральными ,как оси симметрии сечения.

Рис. 3.

Площадь сечения

Главные центральные моменты инерции сечения

Минимальный радиус инерции сечения

2. Проверка устойчивости стержня.

Условие устойчивости прямолинейно формы равновесия сжатого стержня (9) имеет вид

Максимальная гибкость стержня.

По таблице каэффициентов продольного нигиба для стали марки Ст.3., интерполируя получаем значение, соответствующее гибкостиλ = 95,5:

Допускаемое значение напряжения на устойчивость

Действительные напряжения в поперечных сечениях стержня при заданной нагрузке

Стеержень не обладает необходимым запасом устойчивости, так как условие устойчивости (9) не удовлетворяется

Перенапряжение

3. Наибольшее допустимое значение сжимающей силы.

Из условия устойчивости (9), учитывая что N=P, находим

4. Величина критической силы и критического напряжения .

Предельная гибкость для стали марки Ст.3., при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера для определения критической силы, равна 100:

Действительная гибкость стержня λ= 95,6.

Так как λ_max=95,5 < = 100, то для определения критической силы следует воспользоваться формулой Ясинского.

Критическое напряжение

5. Запас устойчивости стержня

Коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле

В рассматриваемом примере

6. Определение допустимой нагрузки из условий прочности .

Условие прочности при сжатии

Отсюда, учитывая, что N=P, получаем допускаемую нагрузку

Условие прочности заведомо перекривается расчетом на устойчивость, так как [Р_у]<[Р].