3. Устойчивость систем с одс

Условия устойчивости негатронов, полученные в разделе 2, справедливы только для приведенных выше простейших моделей. Практически эквивалентные схемы негатронов более сложны и содержат более одного реактивного элемента, а иногда имеют распределенный характер. Нагрузочный элемент также может иметь зависящий от частоты импеданс. Общий метод анализа устойчивости приборов с ОДС состоит в анализе корней комплексного импеданса (сопротивления) цепи с негатроном.

В общем случае негатрон n подключен к источнику постоянной э.д.с. E последовательно с нагрузочным элементом L (рис. 3.1а), либо к источнику постоянного тока I параллельно с нагрузочным элементом L (рис. 3.1б). Соответствующие эквивалентные схемы для малых переменных составляющих тока и напряженияпредставлены на рис. 3.1в и 3.1г.

Система неустойчива, если в ней развиваются собственные колебания без внешнего источника сигнала. Очевидно, что в схеме на рис. 3.1в переменная составляющая суммарного напряжения на негатроне и нагрузке равна нулю. Поэтому собственные колебания тока могут существовать только на тех значениях комплексной частоты, на которых суммарный импеданс негатрона и нагрузки равен нулю:

. (3.1)

Условие (3.1) может быть выполнено для некоторого набора частот , значения которых являются комплексными корнями уравнения (3.1). Этому условию соответствуют собственные колебания тока вида

, (3.2)

где — комплексные амплитуды собственных колебаний тока. Соотношение (3.2) может быть представлено в виде:

. (3.3)

Гармонические колебания Затухание или нарастание

Отсюда следует, что собственные колебания тока нарастают во времени, если

. (3.4)

Условие (3.4) является критерием неустойчивости системы. Таким образом, при подключении негатрона последовательно с элементом нагрузки к источнику э.д.с. система является неустойчивой, если хотя бы один из корней уравнения (3.1) находится в нижней полуплоскости комплексной частоты. При этом собственные колебания тока нарастают на частоте .

В схеме на рис. 3.1б переменная составляющая суммарного тока в негатроне и в нагрузке равна нулю. Поэтому собственные колебания напряжения могут существовать только на тех значениях комплексной частоты, на которых суммарный адмиттанс (комплексная проводимость) негатрона и нагрузки равен нулю:

. (3.5)

Условие (3.5) может быть выполнено для некоторого набора частот , значения которых являются комплексными корнями уравнения (3.5). Этому условию соответствуютсобственные колебания напряжения вида

,(3.6)

где — комплексные амплитуды собственных колебаний напряжения. По аналогии с предыдущими рассуждениями критерием неустойчивости системы является условие

. (3.7)

Таким образом, при подключении негатрона параллельно с элементом нагрузки к источнику тока система является неустойчивой, если хотя бы один из корней уравнения (3.5) находится в нижней полуплоскости комплексной частоты. При этом собственные колебания тока нарастают на частоте .

В качестве примера получим критерий неустойчивости схемы на рис. 2.2а с резистивной нагрузкой. Импеданс нагрузки составляет , а импеданс негатронаN-типа (рис.2.1) (параллельное включение r и C)

.

Уравнение (3.1) имеет вид:

.

Это уравнение имеет единственный корень . Поскольку, мнимая часть этого корняотрицательна при совместном выполнении условий

; (3.8а)

. (3.8б)

Первое условие соответствует рабочей точке на участке ОДС негатрона, а второе соответствует условию, полученному в разделе 2. Выполнение условий (3.8а,б) соответствует неустойчивости равновесного состояния 3 на рис. 2.2в. В зависимости от знака начальной флуктуации система перейдет в одно из устойчивых состояний 1, 2 (где ).

При нарушении условия (3.8б) система также может оказаться неустойчивой, если импеданс нагрузки содержит реактивную составляющую. Так для схемы на рис. 3.2а:

,,

и уравнение (3.1) имеет вид:

.

Это уравнение имеет два корня:

.

Мнимая часть этих корней отрицательна при . Таким образом, система неустойчива при, причем собственные колебания нарастают на частотах

.

Последний пример интересен тем, что система имеет единственное состояние равновесия (рис. 3.2б), которое является неустойчивым. В этом случае собственные колебания нарастают до тех пор, пока отклонения от равновесного состояния не приведут к нарушению условия (пока пиковые значения напряжения на негатроне не выйдет за пределы области ОДС). После этого устанавливаются колебания с постоянной амплитудой (пунктир на рис. 3.2б).