функциональный анализ0 / LELEXP

§11. Спектральная теория линейных операторов.

В теории операторов важнейшей является задача нахождения элементов, которые сохраняют под действием оператора свое направление, т.е. элементов вида

.

Элементы такого типа называются собственными векторами, а соответствующие им числа - собственным значениями. Из курса алгебры известно, что для операторов, действующих в конечномерных пространствах множество всех собственных значений называется спектром оператора и обозначается символом . Более сложным является определение спектра для операторов, действующих в бесконечномерных пространствах.

Определение 1. Пусть - комплексное банахово пространство и - линейный ограниченный оператор. Комплексное число называется регулярной точкой оператора , если оператор непрерывно обратим, т.е. выполнены два условия

.

Множество всех регулярных точек образует резольвентное множество оператора . Операторнозначная функция

называется резольвентой оператора . Дополнение к резольвентному множеству называется спектром оператора и обозначается символом .

Если некоторое число , то это означает, что не выполнено хотя бы одно из описанных ниже двух условий принадлежности числа к резольвентному множеству. Если не выполнено первое условие, т.е. существует ненулевой вектор , то называется собственным значением оператора , вектор называется собственным вектором, отвечающим собственному значению . В данном случае оператор не существует. Совокупность собственных значений оператора называется дискретным спектром оператора. Для дискретного спектра вводится обозначение . В случае, если существует (ядро оператора состоит только из нуля ), но этот оператор определен не на всем пространстве , то точка попадает либо в непрерывный спектр оператора либо в остаточный спектр оператора . Непрерывный спектр состоит из тех , для которых , а для из остаточного спектра - .

Таким образом, для операторов, действующих в бесконечномерном комплексном банаховом пространстве

.

Приведем соответствующие примеры.

Пример 1. Рассмотрим оператор вида

.

Докажем, что спектр оператора совпадает с отрезком . Действительно, для любого числа уравнение

имеет единственное решение при любой функции . Таким образом, для

и, кроме того, уравнение имеет только нулевое решение и, поэтому

.

Данные рассуждения показывают, что числа входят в резольвентное множество оператора . Точки не могут принадлежать резольвентному множеству, так как для любой точки уравнение имеет решение только для тех , которые , т.е.

.

Итак, спектр оператора совпадает с отрезком . При этом дискретный спектр , поскольку уравнение при любом имеет в только нулевое решение. Непрерывный спектр оператора также пуст, поскольку при любом область определения оператора состоит из функций, обращающихся в ноль в точке и, следовательно, не плотна в . Таким образом,

.

Теорема 1. Собственные векторы линейного ограниченного оператора , отвечающие различным собственным значениям линейно независимы.

Доказательство. Пусть - собственные значения оператора , - соответствующие им собственные векторы. Для доказательства теоремы воспользуемся методом математической индукции.

При получаем систему из одного ненулевого вектора , очевидно, что данная система линейно независима.

Предположим, что - линейно независимы, докажем, что также линейно независимы. Приравняем к нулю линейную комбинацию

.

Применив к обеим частям полученного уравнения ограниченный оператор , получим

.

Из линейной независимости векторов следует, что

.

В свою очередь из последнего равенства и различия всех собственных значений следует, что . Таким образом, уравнение для проверки линейной независимости принимает вид

и, поэтому .

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть - линейный ограниченный оператор. Если для некоторого комплексного числа выполнено неравенство , то и резольвента в данной точке допускает разложение

.

Доказательство. Пусть комплексное число таково, что . Представим оператор в виде

,

где . Из данного представления и следствия 1 теоремы 6 предыдущего параграфа следует, что оператора непрерывно обратим и, обратный к нему находится в виде абсолютно сходящегося рядя

.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть - линейный ограниченный оператор. Резольвентное множество оператора открыто.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку и покажем, что существует число , для которого , т.е. для любой точки оператор имеет ограниченный обратный. Найдем нужный радиус . Представим оператор в виде

.

В данном представлении первый сомножитель непрерывно обратим, а второй будет непрерывно обратим, если

.

Таким образом, при оператор представим в виде произведения двух непрерывно обратимых операторов и, следовательно, непрерывно обратим. Проведенные рассуждения показывают, что за искомый радиус можно взять величину

.

Теорема доказана.

Следствие 1. Спектр ограниченного оператора есть замкнутое множество, лежащее в круге .

Пример 2. Найдем спектр оператора левого сдвига

.

Найдем норму данного оператора.

,

поэтому . Для вектора норма , следовательно .

Из предыдущей теоремы мы можем сделать вывод, что

.

Докажем, что спектр совпадает с данным множеством. Вначале исследуем дискретный спектр данного оператора. Для этого рассмотрим уравнение

.

Данное уравнение равносильно системе уравнений

,

поэтому решения данного уравнения имеют вид

.

Решения должны принадлежать пространству , т.е.

.

Таким образом, . Из замкнутости спектра и включения можно сделать вывод, что

.

Множество составляет остаточный спектр оператора , так как для этих значений область определения оператора не плотна в .

Определение 2. Радиус наименьшего круга, содержащего спектр оператора называется спектральным радиусом оператора и обозначается .

Для спектрального радиуса имеет место формула Гельфанда

Пример 3. Покажем, что спектральный радиус оператора Вольтера

равен нулю.

Действительно,

,

поэтому

Значит и .

Рассмотрим спектральные свойства для некоторых важнейших классов линейных ограниченных операторов. Вначале рассмотрим линейные ограниченные самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве .

Теорема 4. Собственные числа самосопряженного оператора вещественны.

Доказательство. Пусть - собственное число оператора и - собственный вектор, отвечающий данному собственному числу. Используя свойства скалярного произведения, получаем равенство

В свою очередь, из данного равенства получаем равенство

,

которому могут удовлетворять только вещественные числа.

Теорема доказана.

Теорема 5. Собственные векторы самосопряженного оператора , отвечающие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Рассмотрим два различных собственных значения оператора - и отвечающие им собственные векторы

.

Из свойств скалярного произведения, получим

При условии данное равенство может быть выполнено только в том случае, если .

Теорема доказана.

Теорема 6. Для того чтобы точка принадлежала резольвентному множеству самосопряженного ограниченного оператора необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная константа такая, что для любого

.

Доказательство. Необходимость. Пусть , тогда оператор непрерывно обратим и , поэтому для любого вектора можно получить соотношение

.

Из данного соотношения получаем

.

Необходимость. Для любого вектора введем вектор , при этом множество векторов образует некоторое линейное подпространство в . Соответствие между векторами и

Взаимно - однозначное, так как если

и ,

то , и поэтому , т.е. .

Докажем, что подпространство (образ оператора ) всюду плотно и замкнуто в , т.е. что оно совпадает с , тогда по теореме Банаха будет существовать ограниченный обратный для оператора .

Предположим противное, что не всюду плотно в , тогда существует вектор такой, что . Это значит, что

.

Из последнего соотношения следует, что , т.е. - собственное значение оператора. Самосопряженный оператор может иметь только вещественные собственные значения, поэтому и . Это может быть только в том случае, когда , получено противоречие.

Покажем, что замкнуто. Рассмотрим сходящуюся к некоторому вектору последовательность из . Из сходимости последовательности следует фундаментальность последовательности

.

В силу полноты пространства последовательность сходится к некоторому элементу . При этом

.

Таким образом .

Теорема доказана.

Следствие 1. Комплексные числа принадлежат резольвентному множеству самосопряженного ограниченного оператора.

Доказательство. Пусть , тогда

Поэтому,

.

Получаем, что .

Следствие доказано.

Следствие 2. Спектр самосопряженного ограниченного оператора принадлежит отрезку , где - точная нижняя грань, - точна верхняя грань значений оператора.

Следствие 3. Числа являются точками спектра оператора.

Теорема 7. Для линейного ограниченного самосопряженного оператора спектральный радиус

.

Доказательство. Получим вспомогательное равенство . Оно следует из известного ранее неравенства и оценок

.

По аналогии можно получить равенство . Используя данные равенства, докажем утверждение теоремы

.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь следующий важный класс линейных ограниченных операторов - компактные операторы.

Теорема 8. Для компактного оператора , собственное подпространство , отвечающее любому ненулевому элементу конечномерно.

Доказательство. В собственном подпространстве

,

рассматриваемом как подпространство метрического пространства, можно рассмотреть замкнутый единичный шар . Из теории компактных множеств известно, что шар является компактным множеством только в конечномерном пространстве. Поэтому, показав, что шар является компактным множеством, мы тем самым докажем конечномерность собственного подпространства. Пусть - произвольная последовательность из . Элементы данной последовательности можно представить в виде . Таким образом, все элементы последовательности принадлежат образу шара при компактном отображении, следовательно, из данной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. В силу замкнутости шара предел этой подпоследовательности принадлежит шару. Это говорим о компактности множества .

Теорема доказана.

Следствие 1. Каждому ненулевому собственному значению компактного оператора отвечает конечное число линейно независимых собственных векторов.

Приведем без доказательства еще одну теорему о спектре компактного оператора.

Теорема 9. Пусть - компактный оператор. Тогда для любого положительного вне круга может лежать лишь конечное число собственных значений. Каждая, отличная от нуля точка спектра компактного оператора является собственным значением конечной кратности.

После формулировки данной теоремы естественно встает вопрос: входит ли точка в спектр компактного оператора.

Предположим, что принадлежит резольвентному множеству оператора , тогда существует ограниченный обратный , обладающий свойством

.

Множество компактных операторов является двусторонним идеалом в алгебре и, поэтому в данном случае тождественный оператор также должен являться компактным оператором. Это возможно только в конечномерном пространстве, так как тождественный оператор замкнутый единичный шар переводит в замкнутый единичный шар. Из сказанного можно сделать вывод, что в бесконечномерном пространстве точка принадлежит спектру оператора.

Сформулируем без доказательства еще несколько утверждений для компактных самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве .

Терема 10. Компактный самосопряженный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение.

Теорема 11. Если компактный самосопряженный оператор имеет счетное множество собственных значений , то

.

Теорема 12. Пусть компактный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , тогда при любом элемент разлагается в сходящийся ряд Фурье по ортонормированной системе собственных векторов оператора .

Пример 4. Рассмотрим оператор вида

.

Данный оператор является самосопряженным компактным оператором, следовательно, по теореме 12 при любом элемент разлагается в сходящийся ряд Фурье по ортонормированной системе собственных векторов оператора . Найдем собственные значения данного оператора. Для этого составим интегральное уравнение:

.

Данное уравнение можно переписать в виде

. (1)

Дифференцируя один раз по данное уравнение, получим

. (2)

Из уравнения (1) при и из уравнения (2) при , получим , .

Дифференцируя уравнение (2) еще раз по получим уравнение

. (3)

Если , то из приведенных выше рассуждений следует, что , т.е. точка не является собственным значением исследуемого оператора. При имеем

.

Положим, , тогда дифференциальное уравнение перепишется в виде

.

Решением дифференциального уравнения будет функция

.

Подставляя в краевые условия, получим . Если , то , и тогда . Если , т.е. , то - любое.

Таким образом, - собственные значения рассматриваемого оператора, а

соответствующие им собственные вектора. При собственные вектора составляют ортонормированную систему. Поэтому

,

где

.

Так как не является собственным значением оператора , то для любой функции имеем

.

Рассмотрим, как полученные результаты можно применять к решению интегральных уравнений. Пусть дано интегральное уравнение

.

Так как , то

,

где .

Таким образом, исследуемое интегральное уравнение перепишется в виде

.

В силу линейное независимости системы функций получаем систему уравнений

.

Таким образом, решение уравнения имеет вид

.

В заключении данного параграфа рассмотрим кратко понятие спектра для неограниченные операторов.

Пусть - комплексное банахово пространство и - линейный неограниченный оператор. Комплексное число называется регулярной точкой оператора , если область значений оператора плотна в и существует непрерывный обратный оператор . Множество регулярных значений оператора называется резольвентным множеством оператора и обозначается . Множество дополнительное к резольвентному множеству называется спектром оператора и обозначается символом .