Волновая функция

Математический формализм, с помощью которого устраняется парадокс, ставит в соответствие каждой частице амплитуду вероятности (x,y,z,t), которая представляет собой функцию координат и времени. Вероятность обнаружить частицу в произвольный момент времени t в любой точке х, у, z пропорциональна | (х,у,z,t)|2, т.е. интенсивности. Квадрат модуля используют потому, что , вообще говоря, комплексная функция.

Формально она обладает свойствами классических волн, и поэтому ее часто называют волновой функцией.

Если событие может произойти несколькими взаимно исключающими способами (как, скажем, при прохождении частицы через одну из щелей А или В), то амплитуда вероятности этого события представляет собой сумму амплитуд вероятностей каждого из способов:

= 1 + 2 (принцип суперпозиции).

Это утверждение совпадает с правилом сложения амплитуд волн в оптике. В рассмотренном выше примере 1 описывает волну,

проходящую через щель А, а 2 – через щель В. На экране обе

волновые функции перекрываются и дают классическую интерференционную картину от двух щелей, причем направление на n-й максимум определяется выражением sin n = n /d.

Этот формализм составляет основу квантовой механики.

Интересно выяснить, какой механизм прячется за этим законом? Никому никакого механизма отыскать не удалось. Нет представлений о более фундаментальной механике, из которой можно вывести эти результаты.

Рис. 35. Прохождение пучка электронов через две щели

Пусть в точке Р (рис. 36) находится счетчик Гейгера. Амплитуда волны, прошедшей через щель А и достигшей точки Р, в условных единицах равна А = 2, а в случае щели В мы имеем В = 6. Если

открыта только щель А, то в точке Р ежесекундно регистрируется 100 электронов.

Найдем:

а) Сколько электронов регистрируется ежесекундно, если открыта только щель В.

б) Если открыты обе щели и происходит конструктивная интерференция, то определим число ежесекундно регистрируемых электронов.

в) То же, но в случае деструктивной интерференции.

Поскольку 2 = 16 2А , то в точке Р будет регистрироваться 1600 электронов в секунду.

В случае «в» А и B должны иметь противоположные знаки, чтобы

Рассмотрим распределение интенсивности в интерференционном опыте с двумя щелями, если щель В пропускает в 4 раза больше электронов, чем щель А.

Следовательно, отношение Iмакс/Iмин = 9. Распределение интенсивности описывается выражением I = IА[5 + 4cos k(rВ – rА)], где rА и rВ – расстояния от экрана до щелей А и В соответственно.

Изложенный формализм порождает ряд вопросов, требующих дальнейшей физической интерпретации. Допустим, что мы выпускаем по одному электрону. Согласно волновым представлениям, каждому электрону сопоставляется цуг волн, или волновой пакет, расщепляющийся поровну между двумя щелями. Однако поместив за щелью А счетчик Гейгера, камеру Вильсона или иной детектор частиц, мы увидим, что через щель никогда не проходит половины электрона. В этом сущность атомизма, который совместим с гипотезой о том, что интенсивность волны за щелью А характеризует вероятность найти электрон (целиком!) в этом месте. Если детектор поместить за щелью А, то интерференционная картина сгладится и получится классический результат. Наличие детектора изменяет результат, превращая интерференционную

картину (рис. 35) в классическую (рис. 34). Многие физики, включая Эйнштейна, пытались придумать такой опыт, в результате которого можно было бы, не нарушая интерференционной картины, установить, через какую именно щель прошла данная частица; однако все эти попытки потерпели неудачу.

Но что же все-таки представляют собой «волны», отвечающие электронам? На этот вопрос следует ответить так же, как в случае фотонов. Электромагнитные волны свободно распространяются в пустом пространстве. В отличие от механических волн в этом случае не существует среды, совершающей колебательное движение.

Волновая функция не является непосредственно наблюдаемой величиной, и в этом смысле ничто не совершает колебательного движения. Проблемы квантовой механики решаются с математической точки зрения аналогично задаче о волнах в жидкости или другим классическим волновым проблемам. Классические волны и волны, отвечающие частицам, подчиняются математическим уравнениям одного и того же типа. Но в классическом случае амплитуда волны непосредственно наблюдаема, а нет.

В 1926 г. М. Борн так сформулировал вероятностный смысл

волновой функции в квантовой механике:

Квадрат модуля волновой функции (x,y,z,t) определяет плотность вероятности W того, что в момент времени t 0

частица может быть обнаружена в точке пространства M = M(x,y,z) с координатами x, y и z: 2

станут расходящимися. Таким образом, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.

2.Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.

3.Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции d /dx, d /dy, d /dz.

Эти частные производные волновой функции лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная функция, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Принцип суперпозиции квантовых состояний одно из важных свойств квантовых состояний, которое формально является следствием линейности уравнения Шредингера для волновой функции, которое будет обсуждаться ниже. Из линейности этого уравнения следует, что если частица может находиться в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией 1, а

также в другом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией 2, то эта частица может также находиться в

состоянии, описываемом волновой функцией

= С1 1 + С2 2,

где C1 и C2 – в общем случае комплексные числа.