Контрольная работа №2

Раздел 1.5

Задача 1.6

Даны вершины пирамиды A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃), D(x₄,y₄,z₄). Найти: а) угол между гранями АВС и ABD;

б) каноническое и параметрические уравнения прямой CD;

в) уравнения плоскости параллельной плоскости АВС, проходящую через точку D;

г) каноническое уравнение высоты пирамиды.

x₁=7 x₂=5 x₃=5 x₄=2

y₁=2 y₂=7 y₃=3 y₄=3

z₁=2 z₂=7 z₃=1 z₄=7

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}={-2, 5, 5} Длина ребра АВ=7.3 Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}={0, -4, -6} Длина ребра ВC=7.2 Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}={-2, 1, -1} Длина ребра АC=2.4 Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}={-5, 1, 5} Длина ребра АD=7.1 Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}={-3, -4, 0} Длина ребра BD=5 Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6} Длина ребра CD=6.7

А) Угол между гранями ABC и ABD

Угол между гранями равен углу между нормалями к этим граням

Уравнение плоскости ABC: -5x - 6y + 4z + 39 = 0

Уравнение плоскости ABD: 20x - 15y + 23z-156 = 0

γ = arccos (0.27) = 74.338^o

Б) Каноническое и параметрические уравнения прямой CD

Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6}

С (5; 3; 1) D (2; 3; 7)

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

= ==t

X = 5 – 3t Y = 3 + t Z = 1 + 6t

В) Уравнения плоскости параллельной плоскости АВС, проходящую через точку D

Решение: Вектор n ( -5; -6; 4) есть нормальный вектор плоскости ABC = -5x – 6y + 4z + 39 = 0.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку D (2; 3; 7) и имеет нормальный вектор n = (-5; -6; 4), имеет вид 

-5 * (x – 2) – 6 * (y – 3) + 4 * (z – 7) = 0 ↔ -5x – 6y – 4z + 51 = 0.

Это искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Г) Каноническое уравнение высоты пирамиды.

Уравнение плоскости ABC: −5x − 6y + 4z + 39 = 0 или, если умножить на -1: 5x + 6y - 4z – 39 = 0

Получаем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через точку D (т.е. высоту пирамиды)

Из уравнения плоскости 5x + 6y - 4z – 39 = 0 берем коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный вектор: {5, 6, -4}. Параметрическое уравнение прямой с заданным направляющим вектором (A,B,C) и проходящей через данную точку (2, 3, 7):

x= 2+At y= 3+Bt z= 8+Ct

Подставляем нормальный вектор плоскости и точку D:

x= 2+5t y= 3+6t z= 7-4t

Получили параметрическое уравнение высоты пирамиды. Если нужно каноническое уравнение, в каждом уравнении выражаем параметр t, а потом приравниваем:

t = t = t =

Уравнение высоты: t = t = t =

Задача 1. 7.

Даны три точки на плоскости: A(0;2) B(6;6) С(-12;3)

Найти:

а) уравнение стороны AB;

б) уравнение высоты, опущенной из вершины A;

в) уравнение медианы, опущенной из вершины B;

г) уравнение прямой, параллельной прямой BС, проходящей через точку

А;

д) угол при вершине B.

А) Уравнение стороны AB

Решение: Даны три вершины треугольника, поэтому уравнения сторон будем искать ка уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  = Подставляем координаты вершин: уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(0;-2) и B(6;6

AB = =

Б) Уравнение высоты, опущенной из вершины A

Решение:

Прямая, проходящая через точку A(0;-2) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: Найдем уравнение высоты через вершину Ay = -6x -2 или y +6x + 2 = 0

В) Уравнение медианы, опущенной из вершины B

Решение: Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. M(-6;¹/₂) Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(6;6) и М(-6;¹/₂), поэтому:

Каноническое уравнение прямой: илиили y =¹¹/₂₄x + ¹³/₄ или 24y -11x - 78 = 0

Найдем длину медианы: Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

ВМ = √(-6-6)² + √( -6)² = √12² + ()² = √=√697

Г) Уравнение прямой, параллельной прямой BС, проходящей через точку А

Решение: Прямая, проходящая через точки В(6; 6) и С(-12; 3), представляется уравнениями: Уравнение прямой BC Каноническое уравнение прямой:

y = ¹/₆x + 5 или 6y -x - 30 = 0

Уравнение прямой BC: y = ¹/₆x + 5 Уравнение AB параллельно BC находится по формуле: y - y₀ = k(x - x₀) Подставляя x₀ = 0, k = ¹/₆, y₀ = -2 получим: y-(-2) = ¹/₆(x-0) y = ¹/₆x -2 или 6y -x +12 = 0

Д) Угол при вершине B.

Решение: Найдем угол B как угол между двумя прямыми. Уравнение прямой AB: y = ⁴/₃x -2 Уравнение прямой BC: y = ¹/₆x + 5 Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны ⁴/₃ и ¹/₆. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю: tg φ =²¹/₂₂ Ответ: φ = arctg (²¹/₂₂) = 43.67⁰

Задача 1.8

Перевести уравнение кривой второго порядка а₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁x + 2a₂y + a₀ = 0 к каноническому виду, выяснить, что это за кривая. Найти координаты смещённого центра. Построить кривую на плоскости.

а₁₁ = 3 а₂₂ = 2 а₁ = 3 а₂ = 4 а₀ = -45

Дано уравнение кривой: 3x² + 2y² + 6x + 8y - 45 = 0 1. Определить тип кривой. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение:

Приводим квадратичную форму B = 3x² + 2y² к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

B =

3 0 0 2

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: (3 - λ)x₁ + 0y₁ = 0 0x₁ + (2 - λ)y₁ = 0 Характеристическое уравнение:

3 - λ 0 0 2 - λ

= λ 2 - 5λ + 6 = 0

λ² -5 λ + 6 = 0 D = (-5)² - 4 • 1 • 6 = 1

Исходное уравнение определяет эллипс (λ₁ > 0; λ₂ > 0) Вид квадратичной формы: 3x² + 2y² Выделяем полные квадраты: для x₁: 3(x₁²+2•1x₁ + 1) -3•1 = 3(x₁+1)²-3 для y₁: 2(y₁²+2•2y₁ + 2²) -2•2² = 2(y₁+2)²-8

В итоге получаем: 3(x₁+1)²+2(y₁+2)² = 56 Разделим все выражение на 56 Полуоси эллипса:Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке: C(-1; -2) Найдем координаты фокусов F₁(-c;0) и F₂(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Итак, фокусы эллипса:С учетом центра, координаты фокусов равны:Тогда эксцентриситет будет равен:Вследствие неравенстваc < a эксцентриситет эллипса меньше 1.