Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика 1курс.docx
Скачиваний:
216
Добавлен:
06.11.2015
Размер:
280.24 Кб
Скачать

Контрольная работа №1 по математике Студента 1 курса сгуГиТ

Раздел 1.5

Задача 1.1

Заданы матрицы А,В,С. Найти: а)(3А + 2В) С; в)вычислить определитель матрицы А

Решение: а)

3

·

A

  +  

2

·

B

 = 

3

·

-4

-2

-3

2

4

0

-1

-4

-3

  +  

2

·

1

-1

-2

-2

1

-2

-1

2

3

 = 

3·(-4) + 2·1

3·(-2) + 2·(-1)

3·(-3) + 2·(-2)

 =

3·2 + 2·(-2)

3·4 + 2·1

3·0 + 2·(-2)

3·(-1) + 2·(-1)

3·(-4) + 2·2

3·(-3) + 2·3

 

-10

-8

-13

2

14

-4

-5

-8

-3


 = 

-10

-8

-13

2

14

-4

-5

-8

-3

 · 

1

3

0

4

0

3

-3

-3

-4

 =

 

 -3 

 9 

 28 

 70 

 18 

 58 

 -28 

 -6 

 -12 


в) Вычислить определитель матрицы А

А= 

  -4  

  -2  

  -3  

  2  

  4  

  0  

  -1  

  -4  

  -3  

 

(-4)

·

 4 

 0 

 -4 

 -3 

 - 

(-2)

·

 2 

 0 

 -1 

 -3 

 + 

(-3)

·

 2 

 4 

 -1 

 -4 

 =48


Задача 1.2

Для матрицы А найти: а) A-1; б) АA-1; в) решить систему Аx = В.

  -15  

  3

  -25  

Дано: А b

  4  

  -1  

  1  

  4  

  1  

  4  

  2  

  -3  

  -2  

Решение:

Найдем обратную матрицу с помощью элементарных преобразований, для этого припишем справа единичную матрицу такого же размера:

  4  

  -1  

  1  

  1  

  0  

  0  

  4  

  1  

  4  

  0  

  1  

  0  

  2  

  -3  

  -2  

  0  

  0  

  1  

Строку 1 делим на 4:

  1  

  -0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  4  

  1  

  4  

  0  

  1  

  0  

  2  

  -3  

  -2  

  0  

  0  

  1  

Вычитаем из строки 2 строку 1, умноженную на 4:

  1  

  -0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  0  

  2  

  3  

  -1  

  1  

  0  

  0  

  -3 

  -2  

  0  

  0  

  1  

Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на 2:

  1  

  -0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  0  

  2 

  3  

  -1 

  1  

  0  

  0  

  -2.5  

  -2.5  

  -0.5  

  0  

  1  

Строку 2 делим на 2:

  1  

  -0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  0  

  1  

  1.5  

  -0.5  

  0.5  

  0  

  0  

  -2.5  

  -2.5  

  -0.5  

  0  

  1  

Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на -2.5:

  1  

  -0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  0  

  1  

  1.5  

  -0.5  

  0.5  

  0  

  0  

  0  

  1.25  

  -1.75  

  1.25  

  1  

Строку 3 делим на 1.25:

  1  

  -0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  0  

  1  

  1.5  

  -0.5  

  0.5  

  0  

  0  

  0  

  1  

  -1.4  

  1  

  0.8  

Вычитаем из строки 2 строку 3, умноженную на 1.5

  1  

  0.25  

  0.25  

  0.25  

  0  

  0  

  0  

  1  

  0  

  1.6  

  -1  

  -1.2  

  0  

  0  

  1  

  -1.4  

  1  

  0.8  

Вычитаем из строки 1 строку 3, умноженную на 0.25:

  1  

  0.25  

  0  

  0.6  

  -0.25  

  -0.2  

  0  

  1  

  0  

  1.6  

  -1  

  -1.2  

  0  

  0  

  1  

  -1.4  

  1  

  0.8  

Вычитаем из строки 1 строку 2, умноженную на - 0.25:

  1  

  0  

  0  

  1  

  -0.5  

  -0.5  

  0  

  1  

  0  

  1.6  

  -1  

  -1.2  

  0  

  0  

  1  

  -1.4  

  1  

  0.8  

А-1 =

  1  

  -0.5  

  -0.5  

  1.6  

  -1  

  -1.2  

  -1.4  

  1  

  0.8  


Проверю правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Находим АА-1:

  4  

  -1  

  1  

  4  

  1  

  4  

  2  

  -3  

  -2  

  10  

  -5  

  -5  

  16  

  -10  

  -12  

  -14  

  10  

  8  

(4•10)+(-1•16)+(1•(-14))

(4•(-5))+(-1•(-10))+(1•10)

(4•(-5))+(-1•(-12))+(1•8)

 (4•10)+(1•16)+(4•(-14))

(4•(-5))+(1•(-10))+(4•10)

(4•(-5))+(1•(-12))+(4•8)

 (2•10)+(-3•16)+(-2•(-14))

(2•(-5))+(-3•(-10))+(-2•10)

(2•(-5))+(-3•(-12))+(-2•8)



АА-1 =

  1  

  0  

  0  

  0  

  1  

  0  

  0  

  0  

  1  



А-1 =

  1  

  -0.5  

  -0.5  

  1.6  

  -1  

  -1.2  

  -1.4  

  1  

  0.8  



Находим Аx = В

Так как обратная матрица равняется:

  -15  

  3

  -25  

1(-15)+(-0,5)*3+(-0,5)(-25)

16(-15)+(-1)*3+1,2(-25)

(-1,4)(-15)+1*3+0,8(-25)

  -2  

-273

  4  

То x = A-1 • В =

1  

-0.5  

-0.5

4  

-1  

-1.2  

-1.4  

1  

0.8  



Задача 1.3

Решить систему уравнений методом Гаусса

Исходная система уравнений имеет вид:

2x - 3y + 5z= -34

-3x - 2y + 5z= -18

x - 2y + 2z= -15

Решение:

Найду определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

2

-3

+5

-3

-2

+5

1

+2

+2

      =     -81

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставлю значения за знаком равенства.

2

-3

5

-34

-3

-2

5

-18

1

2

2

-15

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразую левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулю все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразую до единиц).

Вычитаю 1-ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

2

-3

5

-34

0

-6.5

12.5

-69

0

3.5

-0.5

2

Вычитаю 2-ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

2

-3

5

-34

0

-6.5

12.5

-69

0

0

6.23

-35.15

Вычитаю 3-ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

2

-3

0

-5.79

0

-6.5

0

1.52

0

0

6.23

-35.15

Вычту 2-ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

2

0

0

-6.49

0

-6.5

0

1.52

0

0

6.23

-35.15

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

1

0

0

-3

0

1

0

1

0

0

1

-5

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением системы

уравнений.

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:

2·(-3) - 3·1 + 5·(-5) = -6 - 3 - 25 = -34

-3·(-3) - 2·1 + 5·(-5) = 9 - 2 - 25 = -18

(-3) - 2·1 + 2·(-5) = -3 - 2 - 10 = -15

x = -3

y =1

z = -5

Задача 1.4

Использовать совместность каждой системы A и B, для совместной системы найти решение.

Дано:

A B

6y – 3z = 3 -x + 2y + 4z = 1

-3x – 3y + 3z = 2 -3x + 2y = -1

3x + y – 2z = 10 -5x + 6y + 8z = 1

Решение:

А) Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

  0  

  6  

  -3  

  3  

  -3  

  -3  

  3  

  2  

  3  

  1  

  -2  

  10  

поменяем 1-ую строку и 2-ую строку местами

  -3  

  -3  

  3  

  2  

  0  

  6  

  -3  

  3  

  3  

  1  

  -2  

  10  

1-ую строку делим на -3

  1  

  1  

  -1  

  -2/3  

  0  

  6  

  -3  

  3  

  3  

  1  

  -2  

  10  

от 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3

  1  

  1  

  -1  

  -2/3  

  0  

  6  

  -3  

  3  

  0  

  -2  

  1  

  12  

2-ую строку делим на 6

  1  

  1  

  -1  

  -2/3  

  0  

  1  

  -0.5  

  0.5  

  0  

  -2  

  1  

  12  

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1; -2

  1  

  0  

  -0.5  

  -7/6  

  0  

  1  

  -0.5  

  0.5  

  0  

  0  

  0  

  13  

Ответ: Система уравнений не имеет решений так как: 0 ≠ 13

Исследуем систему на совместность.

rank

0

6

-3

-3

-3

3

3

1

-2

=2 rank

0

6

-3

3

-3

-3

3

2

3

1

-2

10

=3 Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы => система несовместна (не имеет решений).

B) Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

  -1  

  2  

  4  

  1  

  -3  

  2  

  0  

  -1  

  -5  

  6  

  8  

  1  

1-ую строку делим на -1

  1  

  -2  

  -4  

  -1  

  -3  

  2  

  0  

  -1  

  -5  

  6  

  8  

  1  

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на -3; -5

  1  

  -2  

  -4  

  -1  

  0  

  -4  

  -12  

  -4  

  0  

  -4  

  -12  

  -4  

2-ую строку делим на -4

  1  

  -2  

  -4  

  -1  

  0  

  1  

  3  

  1  

  0  

  -4  

  -12  

  -4  

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -2; -4

  1  

  0  

  2  

  1  

  0  

  1  

  3  

  1  

  0  

  0  

  0  

  0  

Ответ:

x + 2z = 1

y + 3z = 1

Исследуем систему на совместность.

Rang A = 2

-1

2

4

-3

2

0

-5

6

8

rang B = 2

-1

2

4

1

-3

2

0

-1

-5

6

8

1

Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, но меньше числа неизвестных => система совместна и имеет бесконечно много решений.

–бесконечное множество решений

Задача 1.5

Даны вершины пирамиды A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4). Найти: а) угол между векторами СА и СВ; б) площадь грани АВС; с) проекцию вектора СА на вектор СD; г) объём пирамиды; д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

А) Координаты векторов находим по формуле:  X = x2 – x1; Y = y2 – y1; Z = z2 – z1  здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj

Для вектора СА a X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1  X = 7-5; Y = 2-3; Z = 2-1

Для вектора СВ b - X = 5-5; Y = 7-3; Z = 7-1

Решение:Найти угол между векторами a = {2; -1; 1} и b = {0; 4; 6}.

Найдем скалярное произведение векторов:

 a * b= 2 · 0 + (-1) · 4 + 1 · 6 = 0 + (-4) + 6 = 2.

Найдем модули векторов:

a = √22 + (-1)2 + 12 = √4+1+1 = √6 = 2.4 b = √02 + 42 + 62 = √0 + 16 + 36= √52 = 7.2

Найдем угол между векторами:

cos α = 

a * b

 = 

2

 = 

2

a * b

2.4 · 7.2

17.28

Ответ: угол векторов СА и СВ = 83.6°

Б) Площадь грани АВС может быть найдена как половина площади параллелограмма построенного на векторах АВ и АС. Площадь этого параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов АВ и АС [AB{x1, y1, z1} ; AC(x2, y2, z2}]= {a1, a2, a3}, где a1, a2, a3 вычисляются по формулам: a1=y1*z2-y2*z1; a2=x1*z2-x2*z1; a3=x1*y2-y1*x2;  Получаем: [AB ; AC]={-10, -12, 8} Вычислим длину: N = √-102+(-12)2 +82 = √100+144+64 = √308 Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде.

SABC = * N == 8.7

Площадь грани АВС = 8.7 ед2

C) Проекция вектора СА на вектор СD

Решение:

CD CA =

CA· CD

|CD|

Найдем скалярное произведение векторов:

CA * CD = CAx * CDx + CAy * CDy + CAz * CDz

CA · CD= 

2

 · 

(-5)

 + 

(-1)

 · 

1

 + 

1

 · 

5

 = 

-10

 - 

1

 + 

5

 = 

-6

Найдем модуль векторов: |CD| = √CDx2 + CDy2 + CDz2 = √(-5)2 + 12 + 52 = √25 + 1 + 25 = √51

= 0.8

Ответ: Проекция вектора СА на вектор СD равна 0.8

Г) Объём пирамиды

Пирамида с вершинами:

А: 

(

7

,

2

,

2

)

В: 

(

5

,

7

,

7

)

С: 

(

5

,

3

,

1

)

D: 

(

2

,

3

,

7

)

Найдем координаты векторов, описывающих введенную пирамиду

(Поочереди вычтя из координат точки А соответствующие координаты остальных точек.)

Вектор № 1: 

(

2

,

-5

,

-5

)

Вектор № 2: 

(

2

,

-1

,

1

)

Вектор № 3: 

(

5

,

-1

,

-5

)

Получили матрицу:

2

-5

-5

2

-1

1

5

-1

-5

Определитель данной матрицы равен:

Перемножим построчно:

(2) × (-1) × (-5) + (-5) × (1) × (5) + (-5) × (2) × (-1) - (-5) × (-1) × (5) - (-5) × (2) × (-5) - (2) × (1) × (-1) = 78

2

-5

-5

2

-1

1

5

-1

-5

    =  78

Ответ: Согласно описанному выше методу объем введенной Вами пирамиды равен = 78/6 = 13 (ед3)

Д) Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

Чтобы найти длину высоты, опущенной на грань АВС, надо использовать формулу объема пирамиды, известную из геометрии: V=1/3*Sосн*H

В этой формуле нам известны и объём и площадь соответствующей грани. Высота может быть расчитана по формуле: H=3V/Sосн

H = 3 * 13 / 8.7 = 4.44

Ответ: Высота, опущенная на грань ABC равна: 4.44

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.