![](/user_photo/_userpic.png)
- •Лабораторное занятие № 4 Тема: Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Ход занятия
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •Геометрические и механические приложения производной
- •Исследование поведения функции
- •Интервалы монотонности и экстремум функции
- •Применение правила отыскания наибольших и наименьших значений функций при решении задач
- •Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функций:
- •3. Необходимо выполнить:
- •Практические задания общие по темам: "Понятие производной. Техника дифференцирования функций. Геометрические и механические приложения производной"
- •Вариант 1.
- •Индивидуальные задания по темам: "Теорема Лагранжа. Условия постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум"
- •Практические задания общие
- •Индивидуальные задания по теме:
- •Практические задания общие
- •Индивидуальные задания по теме:
- •Практические задания общие
- •Индивидуальные задания по теме: "Общая схема исследования функции и построения ее графика"
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Интернет-ресурсы
Интервалы монотонности и экстремум функции
1. Если производная функции у=f(х) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция у=f(х) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.
2. Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции y = f(х), если существует интервал,
содержащий точку
,
такой, что для всех х из этого интервала
имеет место неравенство
,
(
).
Точки максимума и минимума называются
точками экстремума.
3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) =0), либо не существует.
4. Первое достаточное
условие экстремума: если в точке
функция у = f(х) непрерывна, а производная
f'(x) при переходечерез
точку
меняет
знак, то точка
-
точка экстремума:
максимума,
если знак меняется с «+» на «-», и минимума,
если с «-» на «+».
Если при переходе
через точку
производная не меняет знак, то в точке
экстремума нет.
5. Второе достаточное
условие экстремума: если в точкеf'(
)
= 0,a
f"(
)
> 0, то
является точкой минимума функции. Еслиf'(
)
= 0, а f"(
)<О,
то
является точкой максимума функции.
6. Схема исследования функции у = f(х) на экстремум:
1) найти производную у' = f'(x);
2) найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует;
3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции;
4) найти экстремальные значения функции.
При исследовании функции на экстремум с помощью 2-го достаточного условия необходимо найти вторую производную f"(х) и определить ее знак в каждой критической точке.
Применение правила отыскания наибольших и наименьших значений функций при решении задач
При решении задач этой темы следует иметь в виду, что наибольшее и наименьшее значения функция достигает либо на концах заданного отрезка, либо в тех его внутренних точках, которые являются критическими точками первого рода этой функции (точками, подозрительными на экстремум).
1. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции у = f(х) на отрезке [а,b], следует выбрать наибольшее (наименьшее) из значений функции в критических точках, находящихся в интервале (а, b) и на концах отрезка (в точках а и b).
2. Если дифференцируемая на интервале (а, b) функция у = f(х) имеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значение функции на интервале (а, b).
Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба
1. Функция у=f(х)
называется выпуклой вверх (вниз) на
промежутке, если для любых двух
значений
из этого промежутка выполняется
неравенство:
Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.
2. Если вторая производная f"(х) функции у=f(x) положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.
3. Если
- точка перегиба функции у =f(x)
и f"(
)
существует,
f"()
= 0.
4. Если
вторая производная f"(x) меняет знак
при переходе через точку
,то
точка
является
точкой перегиба функции у =f(х).
5. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:
1) найти вторую производную функции f"(x);
2) найти точки, в которых вторая производная f"(x) =0 или не существует;
3) исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;
4) найти значения функции в точках перегиба.