Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Voprosy-MATAN

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
19.06.2015
Размер:
351.65 Кб
Скачать

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

по курсу «Математика. Дифференциальное и интегральное исчисление».

(весенний семестр 2013-2014г.) для групп В2-05, В2-121, В2-122, В2-123, В2-28С

1.Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.

2.Ограниченность интегрируемой функции.

3.Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

4.Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.

5.Основные свойства определенного интеграла.

6.Формула среднего значения для определенного интеграла.

7.Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

8.Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

9.Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.

10.Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).

11.Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.

12.Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

13.Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.

14.Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

15.Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

16.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

17.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).

18.Степенной ряд. Теорема Абеля.

19.Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

20.Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена: ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x).

21.Ряд Фурье. Разложение функций: в общий ряд Фурье, в ряд по синусам, в ряд по косинусам.

22.Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.

23.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.

24.Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

25.Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

26.Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.

27.Тройной интеграл, сведение его к повторному.

28.Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.

29.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.

30.Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.

31.Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

32.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

33.Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

34.Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

35.Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

36.Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.

37.Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).

38.Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.

39.Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.

40.Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли.

41.Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

42.Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.

43.Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.

44.Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ФСР однородной системы. Общее решение однородной системы.

Составитель: Михайлов В.Д., доцент кафедры высшей математики.

Соседние файлы в предмете Дифференциальное и интегральное исчисление