Voprosy-MATAN
.pdfЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
по курсу «Математика. Дифференциальное и интегральное исчисление».
(весенний семестр 2013-2014г.) для групп В2-05, В2-121, В2-122, В2-123, В2-28С
1.Определенный интеграл. Интегральная сумма. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Их свойства.
2.Ограниченность интегрируемой функции.
3.Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
4.Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке, а также непрерывной на отрезке функций.
5.Основные свойства определенного интеграла.
6.Формула среднего значения для определенного интеграла.
7.Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
8.Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
9.Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
10.Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
11.Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
12.Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
13.Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.
14.Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
15.Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
16.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
17.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).
18.Степенной ряд. Теорема Абеля.
19.Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
20.Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена: ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x).
21.Ряд Фурье. Разложение функций: в общий ряд Фурье, в ряд по синусам, в ряд по косинусам.
22.Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.
23.Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.
24.Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
25.Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
26.Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
27.Тройной интеграл, сведение его к повторному.
28.Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
29.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
30.Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.
31.Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
32.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
33.Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.
34.Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
35.Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
36.Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.
37.Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).
38.Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.
39.Интегрирование ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
40.Интегрирование линейных ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли.
41.Интегрирование ОДУ первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
42.Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
43.Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (ФСР) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
44.Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ФСР однородной системы. Общее решение однородной системы.
Составитель: Михайлов В.Д., доцент кафедры высшей математики.