Задача 5.1.3

На рельсах стоит платформа с орудием обшей массой 15 т. Из орудия производится выстрел вдоль рельсов снарядом, вес которого 1000 Н, а начальная скорость 500 м/с. На какое расстояние откатится платформа при выстреле, если коэффициент трения качения колес платформы о рельсы равен 0,002.

На рельсах стоит платформа с орудием обшей массой 15 т. Из орудия производится выстрел вдоль рельсов снарядом, вес которого 1000 Н, а начальная скорость 500 м/с. На какое расстояние откатится платформа при выстреле, если коэффициент трения качения колёс платформы о рельсы равен 0.002.

Замечание к тексту задачи: В условии задачи ошибка, она не может быть решена! Если задан коэффициент трения качения, то 1) он должен иметь размерность длины, а это не указано; 2) необходимо знать радиус колёс платформы, иначе её перемещение после выстрела не найти. Чтоб задачу можно было решить, её условие изменено: трение качения изменено на трение скольжения (см. Волькенштейн, задачи 2.63 и 2.53).

Условие задачи теперь выглядит так:

Дано: ,,,.

Решение:

Масса снаряда связана с его весом следующим соотношением: , (1)

где – ускорение свободного падения.

В исходном состоянии импульс системы платформа с орудием + снаряд равна 0.

Обозначим скорость движения платформы с орудием сразу после выстрела как v₂, направления движения платформы противоположно направлению выстрела.

Предполагаем, что выстрел производился в горизонтальном направлении.

Согласно закону сохранения импульса суммарный импульс системы в момент после выстрела должен остаться нулевым, то есть должно выполняться: . (2)

Откуда находим скорость платформы в момент после выстрела: . (3)

Во время движения платформы после выстрела на неё действуют сила тяжести F_T, сила реакции опоры N и сила трения F_ТР. Причём: ,. (4)

Запишем уравнение движение платформы после выстрела: . (5)

Интегрируем дифференциальное уравнение (5), учитывая начальное условие для скорости в момент начала движения, и находим закон изменения скорости платформы:

 . (6)

В момент остановки движения платформы её скорость становится нулевой. Поэтому приравниваем (6) к нулю и находим время движения платформы t₂:

 . (7)

Интегрируем дифференциальное уравнение (6) ещё раз, учитывая начальные условия для координаты платформы (принимаем её в момент начала движения нулевой):

 . (8)

Подставляем (3), (4) и (7) в (8) и находим расстояние, на которое откатится платформа при выстреле:

.

Поверка размерностей:

.

Задача 5.1.4

Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 2,5 м/с, если его масса с велосипедом равна 78 кг, а на оба колеса приходится вес равный 29,4 Н. Колеса велосипеда считать обручами.

Дано: ,,.

Решение:

Кинетическая энергия велосипедиста складывается из кинетической энергии его поступательного движения и кинетической энергии вращения колёсE_К.

Суммарная масса колёс велосипеда равна , (1)

где – ускорение свободного падения.

В общем случае, у велосипеда колёса разные. Для n-ого колеса (n=1, 2) обозначим: радиусы как R_n, а его массы как m_n.

Поступательная скорость центра каждого колеса одинакова.

А скорость вращения n-ого колеса зависит от его радиуса и равна: . (2)

Так как по условию задачи колёса являются обручами, то момент инерции n-ого колеса равен:

. (3)

Кинетическая энергия вращения n-ого колеса равна, учитывая (2) и (3):

. (4)

Суммарная кинетическая энергия вращения обоих колёс равна, учитывая (1):

. (5)

Таким образом, кинетическая энергия велосипедиста равна:

.

Поверка размерностей:

Ответ: Е 253 Дж