Задания для самостоятельной работы

Выполнить действия над матрицами:

1. 3AB+(A-B)(A+2B^T), где , .

2. 3B(A+B)-|A|(A^-1+2B^T), где , .

3. 3B^T(A-B)+|B|(4A^T+B^-1), где , .

Прим.: |A| – опеделитель матрицы A. |В| – опеделитель матрицы В.

Лабораторная работа по теме: « Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)»

Цель работы: изучить методы решения СЛАУ (формулы Крамера и матричный метод) и их реализация в MS Excel.

Метод Крамера

Метод Крамера является одним из способов решения систем линейных алгебраических уравнений. Создан Габриэлем Крамером в 1750 году.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными: (1)

1. Если определитель системы -го порядка

не равен нулю, то система (1) имеет единственное решение: где –определитель полученный из заменой -ого столбца на столбец свободных членов системы (1) (см.[1], стр.18, теорема 4).

Например: .

Таким образом, суть решения СЛАУ методом Крамера сводится к вычислению определителя и нахождению решения системы по формулам Крамера.

Матричный способ решения слау

Пусть дана система уравнений снеизвестными:

(1)

Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (1) в виде: , где A= – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (1), которая называется матрицей системы;

х = – вектор-столбец, составленный из неизвестных системы;

b = – вектор-столбец, составленный из свободных членов системы.

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. ее определитель отличен от нуля, то матрица А имеет обратную. Тогда решение системы линейных алгебраических уравнений сводится к нахождению обратной к матрице A, и умножением полученной A^-1 на матрицу b, т.е. .

Задание 1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: 1) по формулам Крамера. 2) матричным способом.

Образец выполнения.

1) Решение слау по формулам Крамера (рис.1).

1 шаг. В ячейку А1 ввести надпись «Матрица А», в ячейку D1 ввести надпись «вектор b», в ячейку F1 внести надпись «Определитель:». Предварительно набрать в MS Word c помощью редактора Microsoft Equation данную СЛАУ. В ячейку H1 из редактора MS Word скопировать СЛАУ.

В ячейки А2:D5 вносим матрицу коэффициентов системы ; в ячейкиE2:E5 вносим вектор правых частей системы: .

2 шаг. В ячейке G2 найдем определитель основной матрицы, для этого в основном меню выбрать: ВставкаФункцияМатематические МОПРЕД В появившемся диалоговом окне ввести диапазон A2:D5 (для этого выделить диапазон A2:D5 с помощью мышки), нажать Enter. В ячейке G2 появится посчитанный определитель матрицы -1996,46.

3 шаг. Для подсчета ячейках А7:D10 запишем в матрице А, заменим первый столбец столбцом сводных членов. Для этого:

1. Внесем ячейку А7:=Е2, В7:=В2, С7:=С2, D7:=D2;

2. Выделим диапазон А7:D7 и откопируем значения до 10-й строки.

В ячейке F7 найдем определитель полученной матрицы: ВставкаФункцияМатематическиеМОПРЕД В появившемся диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A7:D10 Enter, в ячейке F7 появится посчитанный определитель матрицы 927,3689.

4 шаг. Для подсчета в ячейках А12:D15 запишем матрицу, полученную из матрицы А, заменой второго столбца столбцом свободных членов. Для этого:

1. Внесем ячейку А12:=А2, В12:=Е2, С12:=С2, D12:=D2;

2. Выделим диапазон А12:D12 и откопируем значения до 15-й строки.

В ячейке F12 найдем определитель полученной матрицы: ВставкаФункцияМатематическиеМОПРЕД В появившемся диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A12:D15 Enter, в ячейке F12 появится посчитанный определитель матрицы 572,4787.

5 шаг. Для подсчета в ячейках А17:D20 запишем матрицу чисел из диапазона A2:D5, полученную из матрицы А, заменой третьего столбца вектором свободных членов. Для этого:

1. Внесем ячейку А17:=А2, В17:=В2, С17:=Е2, D17:=D2;

2. Выделим диапазон А17:D17 и откопируем значения до 20-й строки.

В ячейке G17 найдем определитель полученной матрицы: ВставкаФункцияМатематическиеМОПРЕД. В появившемся диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A17:D20 Enter, в ячейке G17 появится посчитанный определитель матрицы 5,0217.

6 шаг. Для подсчета ячейках А22:D25 запишем матрицу чисел из диапазона A2:D5, полученную из матрицы А, заменой четвертого столбца вектором правых частей системы. Для этого:

1. Внесем ячейку А22:=А2, В22:=В2, С22:=С2, D22:=Е2;

2. Выделим диапазон А22:D22 и откопируем значения до 25-й строки.

В ячейке G22 найдем определитель полученной матрицы: ВставкаФункцияМатематическиеМОПРЕД В появившемся диалоговом окне при помощи мышки ввести диапазон A22:D25 Enter, в ячейке G22 появится посчитанный определитель матрицы 165,094.

7 шаг. Найдем корни и сделаем проверку.

В ячейку А27 внести надпись «Проверка», в ячейку А28 внести надпись «Матрица А», в ячейку E28 внести надпись «вектор х», в ячейку F28 внести надпись «вектор b».

Внесем ячейку А29:=А2, В29:=В2, С29:=С2, D29:=D2; выделим диапазон А29:D29 и откопируем до 32 строчки.

Внесем ячейку E29:=G6/$G$2, E30:=G10/$G$2, E31:=G14/$G$2, E32:=G22/$G$2. Получим искомый вектор .

Выделим диапазон F29:F32. Внесем ячейку F29:= МУМНОЖ(А29:D32;E29:E32) Ctrl+Shift+Enter. Появится вектор , равный вектору b.

Ответ:

.