33. Формы задания: явная, указатели в список вершин, явное задание ребер
1) Явное задание многоугольников
Р= список координат вершин
Р=((x1,y1,z1),…,(xn, yn,zn))
А) вершина А дублируется
Б) задача поиска многоугольников имеющих общую вершину. Для этого необходимо N*log (z*N) операций.
В) При прорисовке многоугольников некоторые рёбра рисуются по несколько раз
2) Задание многоугольников при помощи указателей в список вершин
V=((x1,y1,z1), … , (xn,yn,zn)) список вершин
Вершины при прорисовке не дублируются
Р1=(1,2,4)
Р2=(4,2,3)
Память экономится на общих вершинах, от изменения координат вершин полигональная сетка не искажается.
По-прежнему трудно отыскивать общие рёбра и их двойные пририсовки
3) Явное задание рёбер
Имеется список вершин V
Но многоугольник не как указатель списка вершин, а как указатель на список рёбер
V=((x1,y1,z1), … , (xn,yn,zn)) список вершин
V=(V1,V2,V3,V4)
//список ребер
E1=(V1,V2,P1, R)
Е2=(V2,V3,P2,R)
E3=(V3,V4,P2,R)
E4=(V4,V1,P1,R)
E5=(V4,V2,P1,P2)
P1=(E1,E4,E5)
P2=(E2,E3,E5)
Все рёбра прорисованы по разу, можно отобразить структуру.
Недостаток – требует много памяти
34. Параметрические кубические кривые.(км)
2 вида представления кривых
1) x,y,z явное задание
2) t при помощи параметра
x=x
y=f(x)
z=g(x)
tg угла наклона может оказаться равным бесконечности
невозможно определить задаёт ли кривая петлю между 2-мя заданными точками
вместо tg в параметрическом задании используется векторы, которые не бывают бесконечными.
Опр. Параметрической кубической кривой является кривая, в которой x y z многочлены
Т.к. мы рассматриваем конечные отрезки кривой можно ограничить t в конечном диапазоне 0<=t<=1
x(t)=ax * t^3 + bx * t^2 + cx * t + dx
y(t)=ay… dy 0<=t<=1
z(t)=az… dz (2)
полное представление парам. куб кривых
dx/dt =3 * axt^2 + 2bx * t + cx (3)
задаём касательный вектор
dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt)
dx/dz=(dx/dt)/(dz/dt) (4)
углы наклона не зависят от длинны кас вектора
если функция, задающая кривую и ее первая производная непрерывна, то 2 кривые плавно сочленяются в точках
35. Форма Эрмита
x(t)=T*Cx=T*Mh*Ghx аналогично:
y(t)=T*Cy=T*Mh*Ghy
z(t)=T*Cz=T*Mh*Ghz
В общем виде: P(t)=T*Mh*Gh – эрмитово представление трехмерной кубической кривой.
T*Mh=((2t3-3t2+1)(-2t2+3t2)(t3-2t2+1)(t3-t2))
X(t)= T*Mh*Ghx=P1x(2t3-3t2+1)+P2x(-2t2+3t2)+P3x(t3-2t2+1)+P4x(t3-t2)
Четыре функции переменной t в произведении T*Mh часто называют функциями сопряжения т.к. с помощью первых двух функций сопрягаются точки Р1 и Р4, а посредством других – векторы R1 и R4 в результате чего получается сглаженное объединение x(t)
36. Форма Безье. Форма В-сплайнов.
Координаты
векторов определяются через точки
R1 = 3(P2 - P1 ) = P’(0)
R4 = 3(P4 - P3 ) = P’(1)
Матрица связи форм Эрмита и Безье-
X(t)= T*Mh*Ghx = T*Mh* Mhb*Gbx = T*Mb*Gbx
Форма Безье используется в машинной графике чаще, чем Эрмитова форма – геометрические матрицы интуитивно привлекательней в интерактивном режиме т.к. перемещая точки можно привести кривую в любую желаемую кривую. Четыре управляющие точки определяют многоугольник – выпуклую оболочку, внутри которой находится кривая Безье.
Форма В-сплайнов.
Кривая, представленная в виде кубического в-сплайна в общем случае может проходить через любые управляющие точки. Она непрерывна, также непрерывны ее касательные векторы и кривизна. Можно утверждать что кривая в-сплайна более гладкая чем другие кривые.
X(t)=T*Ms*Gsx
Ms=(1/6)*
При аппроксимации управляющих точек Р1….Рn последовательностью в-сплайнов мы будем применять между каждой парой соседних точек геометрические матрицы.
2≤ i ≤n-2