mishev / Копия В.В. Лидовский - Теория Информации

I uPRAVNENIE 38

wY^ISLITX MINIMALXNU@ OCENKU PO pLOTKINU KOLI^ESTWA DOPOLNITELXNYH RAZRQDOW r DLQ KODOWYH SLOW MATRI^NOGO KODA, ESLI TREBUETSQ, ^TOBY MINIMALXNOE RASSTOQNIE MEVDU NIMI BYLO d. rASSMOTRETX SLU- ^AI IZ PREDYDU]EGO UPRAVNENIQ.

23. gRUPPOWYE KODY

mNOVESTWO WSEH DWOI^NYH SLOW a = a1 : : : am DLINY m OBRAZUET ABELEWU (KOMMUTATIWNU@) GRUPPU OTNOSITELXNO PORAZRQDNOGO SLOVENIQ.

pUSTX E | KODIRU@]AQ m n-MATRICA, U KOTOROJ ESTX m m- PODMATRICA S OTLI^NYM OT NULQ OPREDELITELEM, NAPRIMER, EDINI^NAQ. tOGDA OTOBRAVENIE a ! aE PEREWODIT GRUPPU WSEH DWOI^NYH SLOW DLINY m W GRUPPU KODOWYH SLOW DLINY n.

pREDPOLOVIM, ^TO a = a1 : : : am = a0 +a00. tOGDA DLQ b = b1 bn = aE, b0 = a0E, b00 = a00E, POLU^AEM

bj = a1e1j + a2e2j + + amemj =

= (a01 + a02)e1j + (a02 + a002 )e2j + + (a0m + a00m)emj = b0j + b00j ;

T. E. b = b0 + b00. sLEDOWATELXNO, WZAIMNO-ODNOZNA^NOE OTOBRAVENIE GRUPPY DWOI^NYH SLOW DLINY m PRI POMO]I ZADANNOJ MATRICY E SOHRANQET SWOJSTWA GRUPPOWOJ OPERACII, ^TO OZNA^AET, ^TO KODOWYE SLOWA OBRAZU@T GRUPPU.

bLO^NYJ KOD NAZYWAETSQ GRUPPOWYM, ESLI EGO KODOWYE SLOWA OBRAZU@T GRUPPU.

eSLI KOD QWLQETSQ GRUPPOWYM, TO NAIMENX[EE RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ KODOWYMI SLOWAMI RAWNO NAIMENX[EMU WESU NENULEWOGO SLOWA.

|TO SLEDUET IZ SOOTNO[ENIQ d(bi; bj) = w(bi + bj).

w PREDYDU]EM PRIMERE NAIMENX[IJ WES NENULEWOGO SLOWA RAWEN 3. sLEDOWATELXNO, \TOT KOD SPOSOBEN ISPRAWLQTX ODNOKRATNU@ O[IBKU ILI OBNARUVIWATX ODNOKRATNU@ I DWOJNU@.

pRI ISPOLXZOWANII GRUPPOWOGO KODA NEZAME^ENNYMI OSTA@TSQ TE I TOLXKO TE O[IBKI, KOTORYE OTWE^A@T STROKAM O[IBOK, W TO^NOSTI RAWNYM KODOWYM SLOWAM.

tAKIE STROKI O[IBOK PEREWODQT ODNO KODOWOE SLOWO W DRUGOE. sLEDOWATELXNO, WEROQTNOSTX TOGO, ^TO O[IBKA OSTANETSQ NEOBNARU-

VENNOJ, RAWNA SUMME WEROQTNOSTEJ WSEH STROK O[IBOK, RAWNYH KODOWYM SLOWAM.

w RASSMOTRENNOM PRIMERE WEROQTNOSTX O[IBKI RAWNA 4p3q3 +3p2q4. rASSMOTRIM ZADA^U OPTIMIZACII DEKODIROWANIQ GRUPPOWOGO KODA S DWOI^NOJ MATRICEJ KODIROWANIQ E. tREBUETSQ MINIMIZIROWATX WERO-

QTNOSTX TOGO, ^TO D(T (aE)) 6= a.

58

sHEMA DEKODIROWANIQ SOSTOIT IZ GRUPPY G WSEH SLOW, KOTORYE MOGUT BYTX PRINQTY (#G = 2n). tAK KAK KODOWYE SLOWA B OBRAZU@T NORMALXNU@ (NORMALXNOSTX SLEDUET IZ KOMMUTATIWNOSTI G) PODGRUPPU G, TO MNOVESTWU G MOVNO PRIDATX STRUKTURU TABLICY: BUDEM ZAPISYWATX W ODNU STROKU TE \LEMENTY G, KOTORYE QWLQ@TSQ ^LENAMI ODNOGO SMEVNOGO KLASSA G PO B. pERWAQ STROKA, SOOTWETSTWU@]AQ NULEWOMU SLOWU IZ G, BUDET TOGDA WSEMI KODOWYMI SLOWAMI IZ B, T.E. b0; b1; : : : ; b2m 1. w OB]EM SLU^AE, ESLI gi 2 G, TO STROKA, SODERVA]AQ gi (SMEVNYJ KLASS giB) IMEET WID b0 + gi; b1 + gi; : : : ; b2m 1 + gi.

lIDEROM KAVDOGO IZ TAKIH POSTROENNYH SMEVNYH KLASSOW NAZYWAETSQ SLOWO MINIMALXNOGO WESA.

kAVDYJ \LEMENT g IZ G ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W WIDE SUMMY gi +bj, GDE gi 2 G | LIDER SOOTWETSTWU@]EGO SMEVNOGO KLASSA I bj 2 B. mNOVESTWO KLASSOW SMEVNOSTI GRUPPY OBRAZU@T FAKTOR-GRUPPU, KOTORAQ ESTX FAKTOR-MNOVESTWO MNOVESTWA G PO OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI-

PRINADLEVNOSTI K ODNOMU SMEVNOMU KLASSU, A \TO OZNA^AET, ^TO MNOVESTWA, SOSTAWLQ@]IE \TO FAKTOR-MNOVESTWO, OBRAZU@T RAZBIENIE G. oTS@DA SLEDUET, ^TO STROKI POSTROENNOJ TABLICY POPARNO LIBO NE PERESEKA@TSQ, LIBO SOWPADA- @T.

eSLI W RASSMATRIWAEMOJ TABLICE W PERWOM STOLBCE ZAPISATX LIDERY, TO POLU^ENNAQ TABLICA NAZYWAETSQ TABLICEJ DEKODIROWANIQ. oNA IMEET WID:

g2n m 1 g2n m 1 + b1 g2n m 1 + b2 + b2m 1:

tO, ^TO STROK BUDET 2n m SLEDUET IZ TEOREMY lAGRANVA [1], T.K. 2n m | \TO PORQDOK FAKTOR-GRUPPY G=B (#(G=B) = #(G)=#(B), #B = 2m). dEKODIROWANIE SLOWA g = bj + gi SOSTOIT W WYBORE KODOWOGO SLOWA bj W KA^ESTWE PEREDANNOGO I POSLEDU@]EM PRIMENENII OPERACII, OBRAT-

NOJ UMNOVENI@ NA E. tAKAQ SHEMA DEKODIROWANIQ SMOVET ISPRAWLQTX O[IBKI.

dLQ (3; 6)-KODA IZ RASSMATRIWAEMOGO PRIMERA TABLICA DEKODIROWA-

59

pERWAQ STROKA W NEJ | \TO STROKA KODOWYH SLOW, A PERWYJ STOLBEC | \TO LIDERY.

~TOBY DEKODIROWATX SLOWO bj + e, SLEDUET OTYSKATX EGO W TABLICE I WYBRATX W KA^ESTWE PEREDANNOGO SLOWO W TOM VE STOLBCE I W PERWOJ STROKE.

nAPRIMER, ESLI PRINQTO SLOWO 110011 (2-Q STROKA, 3-J STOLBEC TABLICY), TO S^ITAETSQ, ^TO BYLO PEREDANO SLOWO 010011; ANALOGI^NO, ESLI PRINQTO SLOWO 100101 (3-Q STROKA, 4-J STOLBEC TABLICY), PEREDANNYM S^ITAETSQ SLOWO 110101, I T.D.

gRUPPOWOE KODIROWANIE SO SHEMOJ DEKODIROWANIQ POSREDSTWOM LIDEROW ISPRAWLQET WSE O[IBKI, STROKI KOTORYH SOWPADA@T S LIDERAMI. sLEDOWATELXNO, WEROQTNOSTX PRAWILXNOGO DEKODIROWANIQ PEREDANNOGO PO DWOI^NOMU SIMMETRI^NOMU KANALU KODA RAWNA SUMME WEROQTNOSTEJ WSEH LIDEROW, WKL@^AQ NULEWOJ.

w RASSMOTRENNOJ SHEME WEROQTNOSTX PRAWILXNOJ PEREDA^I SLOWA BU-

DET p6 + 6p5q + p4q2.

kODOWOE SLOWO L@BOGO STOLBCA TABLICY DEKODIROWANIQ QWLQETSQ BLIVAJ[IM KODOWYM SLOWOM KO WSEM PRO^IM SLOWAM DANNOGO STOLBCA. pUSTX PEREDANNOE SLOWO bi PRINQTO KAK bi + e, d(bi; bi + e) = w(e), T. E.

\TO RASSTOQNIE RAWNO WESU SOOTWETSTWU@]EGO LIDERA. rASSTOQNIE OT bi + e DO L@BOGO DRUGOGO KODOWOGO SLOWA bj RAWNO WESU IH PORAZRQDNOJ SUMMY, T.E.

d(bj; bi + e) = w(bj + bi + e) = d(bj + bi; e) = d(bk; e) = w(bk + e) > w(e);

T. K. e | LIDER SMEVNOGO KLASSA, K KOTOROMU PRINADLEVAT KAK bk + e, TAK I bi + e.

dOKAZANO, PRI SHEME DEKODIROWANIQ LIDERAMI PO POLU^ENNOMU SLO-

1.pOSTROITX SOOTWETSTWENNO (2; 5)-KOD I (3; 4)-KOD.

2.oPISATX OSNOWNYE HARAKTERISTIKI POLU^ENNYH KODOW: MINIMALXNOE RASSTOQNIE MEVDU SLOWAMI; WEROQTNOSTX NEOBNARUVENIQ O[IBKI; MAKSIMALXNU@ KRATNOSTX O[IBOK, DO KOTOROJ WKL@^ITELXNO ONI WSE ISPRAWLQ@TSQ ILI OBNARUVIWA@TSQ.

3.pOSTROITX TABLICY DEKODIROWANIQ.

4.uTO^NITX HARAKTERISTIKI POLU^ENNYH KODOW, PRI ISPOLXZOWANII IH DLQ ISPRAWLENIQ O[IBOK, T. E. NAJTI WEROQTNOSTX PRAWILXNOJ PEREDA^I I OPISATX O[IBKI, ISPRAWLQEMYE \TIMI KODAMI.

5.wO ^TO BUDUT DEKODIROWANY SLOWA: 10001, 01110, 10101, 1001, 0110, 1101?

60

24. sOWER[ENNYE I KWAZISOWER[ENNYE KODY

gRUPPOWOJ (m; n)-KOD, ISPRAWLQ@]IJ WSE O[IBKI WESA, NE BOLX[EGO k, I NIKAKIH DRUGIH, NAZYWAETSQ SOWER[ENNYM.

sWOJSTWA SOWER[ENNOGO KODA [1]:

1. dLQ SOWER[ENNOGO (m; n)-KODA, ISPRAWLQ@]EGO WSE O[IBKI WESA,

NE BOLX[EGO k, WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE Pk Ci = 2n m. wERNO I

i=0 n

OBRATNOE UTWERVDENIE;

2.sOWER[ENNYJ KOD, ISPRAWLQ@]IJ WSE O[IBKI WESA, NE BOLX[EGO k, W STOLBCAH TABLICY DEKODIROWANIQ SODERVIT WSE SLOWA, OTSTOQ]IE OT KODOWYH NA RASSTOQNII, NE BOLX[EM k. wERNO I OBRATNOE UTWERVDENIE;

3.tABLICA DEKODIROWANIQ SOWER[ENNOGO KODA, ISPRAWLQ@]EGO WSE O[IBKI W NE BOLEE ^EM k POZICIQH, IMEET W KA^ESTWE LIDEROW WSE STROKI, SODERVA]IE NE BOLEE k EDINIC. wERNO I OBRATNOE UTWERVDENIE.

sOWER[ENNYJ KOD | \TO LU^[IJ KOD, OBESPE^IWA@]IJ MAKSIMUM MINIMALXNOGO RASSTOQNIQ MEVDU KODOWYMI SLOWAMI PRI MINIMUME DLINY KODOWYH SLOW. sOWER[ENNYJ KOD LEGKO DEKODIROWATX: KAVDOMU POLU-

^ENNOMU SLOWU ODNOZNA^NO STAWITSQ W SOOTWETSTWIE BLIVAJ[EE KODOWOE.

~ISEL m, n I k (1 < k < n2 1 ), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ SOWER[ENNOSTI KODA O^ENX MALO. nO I PRI PODOBRANNYH m, n I k SOWER[ENNYJ KOD MOVNO POSTROITX TOLXKO W ISKL@^ITELXNYH SLU^AQH.

eSLI m, n I k NE UDOWLETWORQ@T USLOWI@ SOWER[ENNOSTI, TO LU^- [IJ GRUPPOWOJ KOD, KOTORYJ IM SOOTWETSTWUET NAZYWAETSQ KWAZISOWER- [ENNYM, ESLI ON ISPRAWLQET WSE O[IBKI KRATNOSTI, NE BOLX[EJ k, I NEKOTORYE O[IBKI KRATNOSTI k + 1. kWAZISOWER[ENNYH KODOW TAKVE O^ENX MALO.

dWOI^NYJ BLO^NYJ (m; n)-KOD NAZYWAETSQ OPTIMALXNYM, ESLI ON MINIMIZIRUET WEROQTNOSTX O[IBO^NOGO DEKODIROWANIQ. sOWER[ENNYJ ILI KWAZISOWER[ENNYJ KOD | OPTIMALEN. oB]IJ SPOSOB POSTROENIQ OPTIMALXNYH KODOW POKA NEIZWESTEN.

dLQ L@BOGO CELOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA r SU]ESTWUET SOWER[ENNYJ (m; n)-KOD, ISPRAWLQ@]IJ ODNU O[IBKU, NAZYWAEMYJ KODOM h\M-

MINGA (Hamming), W KOTOROM m = 2r r 1 I n = 2r 1.

pORQDOK POSTROENIQ KODA h\MMINGA SLEDU@]IJ:

1.wYBIRAEM CELOE POLOVITELXNOE ^ISLO r. sOOB]ENIQ BUDUT SLOWAMI DLINY m = 2r r 1, A KODOWYE SLOWA | DLINY n = 2r 1;

2.w KAVDOM KODOWOM SLOWE b = b1b2 : : : bn r BIT S INDEKSAMISTEPENQMI DWOJKI (20; 21; : : : ; 2r 1) | QWLQ@TSQ KONTROLXNYMI, OSTALXNYE | W ESTESTWENNOM PORQDKE | BITAMI SOOB]ENIQ. nAPRIMER, ESLI

r = 4, TO BITY b1; b2; b4; b8 | KONTROLXNYE, A b3; b5; b6; b7; b9; b10; b11; b12; b13; b14; b15 | IZ ISHODNOGO SOOB]ENIQ;

3. sTROITSQ MATRICA M IZ 2r 1 STROK I r STOLBCOW. w i-OJ STROKE

61

STOQT CIFRY DWOI^NOGO PREDSTAWLENIQ ^ISLA i. mATRICY DLQ r = 2, 3 I 4 TAKOWY:

4. zAPISYWAETSQ SISTEMA URAWNENIJ bM = 0, GDE M | MATRICA IZ PREDYDU]EGO PUNKTA. sISTEMA SOSTOIT IZ r URAWNENIJ. nAPRIMER, DLQ r = 3:

8

<b4 + b5 + b6 + b7 = 0 b2 + b3 + b6 + b7 = 0 ;

:b1 + b3 + b5 + b7 = 0

5.~TOBY ZAKODIROWATX SOOB]ENIE a, BERUTSQ W KA^ESTWE bj, j NE RAWNO STEPENI DWOJKI, SOOTWETSTWU@]IE BITY SOOB]ENIQ I OTYSKIWA-

@TSQ, ISPOLXZUQ POLU^ENNU@ SISTEMU URAWNENIJ, TE bj, DLQ KOTORYH j | STEPENX DWOJKI. w KAVDOE URAWNENIE WHODIT TOLXKO ODNO bj, j = 2i. w WYPISANNOJ SISTEME b4 WHODIT W 1-E URAWNENIE, b2 | WO WTOROE I b1 | W TRETXE. w RASSMOTRENNOM PRIMERE SOOB]ENIE a = 0111 BUDET ZAKODIROWANO KODOWYM SLOWOM b = 0001111.

dEKODIROWANIE KODA h\MMINGA PROHODIT PO SLEDU@]EJ SHEME. pUSTX PRINQTO SLOWO b + e, GDE b | PEREDANNOE KODOWOE SLOWO, A e | STROKA O[IBOK. tAK KAK bM = 0, TO (b + e)M = bM + eM = eM. eSLI REZULXTAT NULEWOJ, KAK PROISHODIT PRI PRAWILXNOJ PEREDA^E, S^ITAETSQ, ^TO O[IBOK NE BYLO. eSLI STROKA O[IBOK IMEET EDINICU W i-J POZICII, TO REZULXTATOM PROIZWEDENIQ eM BUDET i-Q STROKA MATRICY M ILI DWOI^NOE PREDSTAWLENIE ^ISLA i. w \TOM SLU^AE SLEDUET IZMENITX SIMWOL W i-J POZICII SLOWA b + e, S^ITAQ POZICII SLEWA, S EDINICY.

pRIMER. (4; 7)-KOD h\MMINGA IMEET W KA^ESTWE ODNOGO IZ KODOWYH SLOW b = 0001111. mATRICA M7 3 PRIWEDENA NA [AGE 3 HODA POSTROENIQ KODA h\MMINGA. qSNO, ^TO bM = 0. dOBAWIM K b STROKU O[IBOK e =

62

0010000. tOGDA b + e = 0011111 I (b + e)M = 011 = 310, T. E. O[IBKA NAHODITSQ W TRETXEJ POZICII. eSLI e = 0000001, TO b + e = 0001110 I POZICIQ O[IBKI | (b+e)M = 111 = 710 I T.P. eSLI O[IBKA DOPU]ENA W BOLEE ^EM W ODNOJ POZICII, TO DEKODIROWANIE DAST NEWERNYJ REZULXTAT.

kOD h\MMINGA | \TO GRUPPOWOJ KOD.

|TO SLEDUET IZ TOGO, ^TO (m; n)-KOD h\MMINGA MOVNO POLU^ITX MATRI^- NYM KODIROWANIEM, PRI POMO]I m n-MATRICY, W KOTOROJ STOLBCY S NOMERAMI NE STEPENQMI 2 OBRAZU@T EDINI^NU@ PODMATRICU. oSTALXNYE STOLBCY SOOTWETSTWU@T URAWNENIQM [AGA 4 POSTROENIQ KODA h\MMINGA, T. E. 1-MU STOLBCU SOOTWETSTWUET URAWNENIE DLQ WY^ISLENIQ 1-GO KONTROLXNOGO RAZRQDA, 2-MU | DLQ 2-GO, 4-MU | DLQ 4-GO I T.D. tAKAQ MATRICA BUDET PRI KODIROWANII KOPIROWATX BITY SOOB]ENIQ W POZICII NE STEPENI 2 KODA I ZAPOLNQTX DRUGIE POZICII KODA SOGLASNO SHEME KODIROWANIQ h\MMINGA.

pRIMER. kODIRU@]AQ MATRICA DLQ (4; 7)-KODA h\MMINGA |

21110000 3

E= 61001100 7: 40101010 5

1101001

eE STOLBCY S NOMERAMI 3, 5, 6 I 7 OBRAZU@T EDINI^NU@ PODMATRICU. sTOLBCY S NOMERAMI 1, 2 I 4 SOOTWETSTWU@T URAWNENIQM DLQ WY^ISLENIQ KONTROLXNYH BIT, NAPRIMER, URAWNENI@ b1 = b3 + b5 + b7 SOOTWETSTWUET STOLBEC 1101, T.E. DLQ WY^ISLENIQ PERWOGO KONTROLXNOGO RAZRQDA BERUTSQ 1, 2 I 4 BITY ISHODNOGO SOOB]ENIQ ILI BITY 3, 5 I 7 KODA.

k (m; n)-KODU h\MMINGA MOVNO DOBAWITX PROWERKU ^ETNOSTI. pOLU^ITSQ (m; n + 1)-KOD S NAIMENX[IM WESOM NENULEWOGO KODOWOGO SLOWA 4, SPOSOBNYJ ISPRAWLQTX ODNU I OBNARUVIWATX DWE O[IBKI.

kODY h\MMINGA NAKLADYWA@T OGRANI^ENIQ NA DLINU SLOW SOOB]E- NIQ: \TA DLINA MOVET BYTX TOLXKO ^ISLAMI WIDA 2r r 1: 1, 4, 11, 26, 57, : : : nO W REALXNYH SISTEMAH INFORMACIQ PEREDAETSQ BAJTAM ILI MA[INNYMI SLOWAMI, T.E. PORCIQMI PO 8, 16, 32 ILI 64 BITA, ^TO DELAET ISPOLXZOWANIE SOWER[ENNYH KODOW NE WSEGDA PODHODQ]IM. pO\TOMU W TAKIH SLU^AQH ^ASTO ISPOLXZU@TSQ KWAZISOWER[ENNYE (m; n)-KODY.

kWAZISOWER[ENNYE (m; n)-KODY, ISPRAWLQ@]IE ODNU O[IBKU, STROQTSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. wYBIRAETSQ MINIMALXNOE n TAK, ^TOBY

2n > 2m: n + 1

kAVDOE KODOWOE SLOWO TAKOGO KODA BUDET SODERVATX k = n m KONTROLXNYH RAZRQDOW. iZ PREDYDU]IH SOOTNO[ENIJ SLEDUET, ^TO

2k = 2n m > n + 1 = Cn1 + Cn0 = m + k + 1:

63

kAVDOMU IZ n RAZRQDOW PRISWAIWAETSQ SLEWA-NAPRAWO NOMER OT 1 DO n. dLQ ZADANNOGO SLOWA SOOB]ENIQ SOSTAWLQ@TSQ k KONTROLXNYH SUMM S1; : : : ; Sk PO MODUL@ 2 ZNA^ENIJ SPECIALXNO WYBRANNYH RAZRQDOW KODOWOGO SLOWA, KOTORYE POME]A@TSQ W POZICII-STEPENI 2 W NEM: DLQ Si (1 6 i 6 k) WYBIRA@TSQ RAZRQDY, SODERVA]IE BITY ISHODNOGO SOOB]E- NIQ, DWOI^NYE ^ISLA-NOMERA KOTORYH IME@T W i-M RAZRQDE EDINICU. dLQ SUMMY S1 \TO BUDUT, NAPRIMER, RAZRQDY 3, 5, 7 I T.D., DLQ SUMMY S2 | 3, 6, 7 I T.D. tAKIM OBRAZOM, DLQ SLOWA SOOB]ENIQ a = a1 : : : am BUDET

POSTROENO KODOWOE SLOWO b = S1S2a1S3a2a3a4S4a5 : : : am. oBOZNA^IM Si SUMMU PO MODUL@ 2 RAZRQDOW POLU^ENNOGO SLOWA, SOOTWETSTWU@]IH KON-

TROLXNOJ SUMME Si I SAMOJ \TOJ KONTROLXNOJ SUMMY. eSLI Sk : : : S1 = 0, TO S^ITAETSQ, ^TO PEREDA^A PRO[LA BEZ O[IBOK. w SLU^AE ODINARNOJ O[IBKI Sk : : : S1 BUDET RAWNO DWOI^NOMU ^ISLU-NOMERU SBOJNOGO BITA. w SLU^AE O[IBKI, KRATNOSTI BOLX[EJ 1, KOGDA Sk : : : S1 > n, EE MOVNO OBNARUVITX. pODOBNAQ SHEMA DEKODIROWANIQ NE POZWOLQET ISPRAWLQTX NEKOTORYE DWOJNYE O[IBKI, ^EGO MOVNO BYLO BY DOSTI^X, ISPOLXZUQ SHEMU DEKODIROWANIQ S LIDERAMI, NO POSLEDNQQ ZNA^ITELXNO SLOVNEE W REALIZACII I DAET NEZNA^ITELXNOE ULU^[ENIE KA^ESTWA KODA.

pRIMER POSTROENIQ KODOWOGO SLOWA KWAZISOWER[ENNOGO (9; n)-KODA, ISPRAWLQ@]EGO WSE ODNOKRATNYE O[IBKI, DLQ SOOB]ENIQ 100011010.

tAKIM OBRAZOM, ISKOMYJ KOD | 0011000111010. eSLI W PROCESSE PEREDA- ^I \TOGO KODA BUDET ISPOR^EN EGO PQTYJ BIT, TO PRIEMNIK POLU^IT KOD

64

0011100111010. dLQ EGO DEKODIROWANIQ OPQTX WY^ISLQ@TSQ KONTROLXNYE SUMMY:

S1 = b1 + b3 + b5 + b7 + b9 + b11 + b13 = 1

S2 = b2 + b3 + b6 + b7 + b10 + b11 = 0

S3 = b4 + b5 + b6 + b7 + b12 + b13 = 1

S4 = b8 + b9 + b10 + b11 + b12 + b13 = 0

S4 S3 S2 S1 = 01012 = 510:

pRIEMNIK PREOBRAZUET IZMENENIEM PQTOGO BITA POLU^ENNOE SOOB]ENIE W OTPRAWLENNOE PEREDAT^IKOM, IZ KOTOROGO ZATEM OTBRASYWANIEM KONTROLXNYH RAZRQDOW WOSSTANAWLIWAET ISHODNOE SOOB]ENIE.

sOWER[ENNYJ KOD h\MMINGA TAKVE MOVNO STROITX PO RASSMOTRENNOJ SHEME, T.K. DLQ NEGO 2n=(n + 1) = 2m.

dLQ ISPRAWLENIE ODINARNOJ O[IBKI K 8-RAZRQDNOMU KODU DOSTATO^NO PRIPISATX 4 RAZRQDA (212=13 > 28), K 16-RAZRQDNOMU | 5, K 32RAZRQDNOMU | 6, K 64-RAZRQDNOMU | 7.

I uPRAVNENIE 40

mOVET LI (6; 14)-KOD, MINIMALXNOE RASSTOQNIE MEVDU KODOWYMI SLOWAMI KOTOROGO 5, BYTX SOWER[ENNYM?

I uPRAVNENIE 41

pOSTROITX KODOWYE SLOWA KWAZISOWER[ENNOGO (9; n)-KODA, ISPRAWLQ@]E- GO ODNOKRATNYE O[IBKI, DLQ TEH SOOB]ENIJ, KOTORYE SOOTWETSTWU@T ^ISLAM 55, 200 I DEKODIROWATX SLOWA 1000001000001, 1100010111100, PO-

LU^ENNYE PO KANALU SWQZI, ISPOLXZU@]EMU \TOT KOD.

25. pOLINOMIALXNYE KODY

pRI POLINOMIALXNOM KODIROWANII KAVDOE SOOB]ENIE OTOVDESTWLQETSQ S MNOGO^LENOM, A SAMO KODIROWANIE SOSTOIT W UMNOVENII NA FIKSIROWANNYJ MNOGO^LEN. pOLINOMIALXNYE KODY | BLO^NYE I OTLI- ^A@TSQ OT RASSMOTRENNYH RANEE TOLXKO ALGORITMAMI KODIROWANIQ I DEKODIROWANIQ.

pUSTX a = a0 : : : am 1 | DWOI^NOE SOOB]ENIE. tOGDA SOPOSTAWIM EMU MNOGO^LEN a(x) = a0 + a1x + + am 1xm 1. wSE WY^ISLENIQ PRO-

ISHODQT W POLE KLASSOW WY^ETOW PO MODUL@ 2, T. E. OT REZULXTATA L@BOJ ARIFMETI^ESKOJ OPERACII BERETSQ OSTATOK OT EGO DELENIQ NA 2.

nAPRIMER, POSLEDOWATELXNOSTI 10011 PRI m = 5 SOOTWETSTWUET MNOGO^LEN 1 + x3 + x4.

zAFIKSIRUEM NEKOTORYJ MNOGO^LEN STEPENI k,

g(x) = g0 + g1x + + gkxk; g0 6= 0; gk 6= 0:

65

pOLINOMIALXNYJ KOD S KODIRU@]IM MNOGO^LENOM g(x) KODIRUET SLOWO SOOB]ENIQ a(x) MNOGO^LENOM b(x) = a(x)g(x) = b0 + b1x + + bn 1xn 1 ILI KODOWYM SLOWOM IZ KO\FFICIENTOW \TOGO MNOGO^LENA b = b0 : : : bn 1.

uSLOWIQ g0 6= 0 I gk 6= 0 NEOBHODIMY, POTOMU ^TO W PROTIWNOM SLU^AE b0 I bn 1 NE BUDUT NESTI NIKAKOJ INFORMACII, T. K. ONI WSEGDA BUDUT NULQMI.

pRIMER. rASSMOTRIM KODIRU@]IJ MNOGO^LEN g(x) = 1 + x2 + x3. sOOB]ENIE 01011, OTWE^A@]EE MNOGO^LENU a(x) = x + x3 + x4, BUDET ZAKODIROWANO KO\FFICIENTAMI MNOGO^LENA b(x) = g(x)a(x) = x+x5 +x7,

T.E. b = 01000101.

pOLINOMIALXNYJ KOD S KODIRU@]IM MNOGO^LENOM g(x) STEPENI k QWLQETSQ MATRI^NYM KODOM S KODIRU@]EJ MATRICEJ G RAZMERNOSTI m

(m + k):

t.E. NENULEWYE \LEMENTY W j-J STROKE | \TO POSLEDOWATELXNOSTX KO\F- FICIENTOW KODIRU@]EGO MNOGO^LENA, RASPOLOVENNYH S j-GO PO (j + k)-J STOLBCAH.

nAPRIMER, (3; 6)-KOD S KODIRU@]IM MNOGO^LENOM 1+x+x3 OTWE^AET MATRICE

ILI OTOBRAVENI@: 000 ! 000000; 001 ! 001101; 010 ! 011010; 011 ! 010111; 100 ! 110100; 101 ! 111001; 110 ! 101110; 111 ! 100011.

pOLINOMIALXNYE KODY QWLQ@TSQ GRUPPOWYMI.

|TO SLEDUET IZ TOGO, ^TO KODY, POLU^AEMYE MATRI^NYM KODIROWANIEM, | GRUPPOWYE.

rASSMOTRIM (m; n)-KOD S KODIRU@]IM MNOGO^LENOM g(x). sTROKA O[IBOK e = e0 : : : en 1 OSTANETSQ NEOBNARUVENNOJ W TOM I TOLXKO W TOM

SLU^AE, ESLI SOOTWETSTWU@]IJ EJ MNOGO^LEN e(x) = e0 + e1x + + en 1xn 1 DELITSQ NA g(x).

dEJSTWITELXNO, a(x)g(x) + e(x) DELITSQ NA g(x) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA e(x) DELITSQ NA g(x). pO\TOMU L@BAQ O[IBKA, MNOGO^LEN KOTOROJ NE DELITSQ NA g(x), BUDET OBNARUVENA I, SOOTWETSTWENNO, L@BAQ O[IBKA, MNOGO^LEN KOTOROJ DELITSQ NA g(x), NE MOVET BYTX OBNARUVENA.

66

tAKIM OBRAZOM, OBNARUVENIE O[IBKI PRI ISPOLXZOWANII POLINOMIALXNOGO KODA S KODIRU@]IM MNOGO^LENOM g(x) MOVET BYTX REALIZOWANO PRI POMO]I ALGORITMA DELENIQ MNOGO^LENOW S OSTATKOM: ESLI OSTATOK NENULEWOJ, TO PRI PEREDA^E PROIZO[LO ISKAVENIE DANNYH.

kODY h\MMINGA MOVNO STROITX KAK POLINOMIALXNYE, NAPRIMER, KODIRU@]IJ MNOGO^LEN x3 + x2 + 1 OPREDELQET SOWER[ENNYJ (4; 7)-KOD, OTLI^NYJ OT RASSMOTRENNOGO RANEE.

wOOB]E VE, ESLI KODIRU@]IJ MNOGO^LEN g(x), POROVDA@]IJ SOOTWETSTWU@]IJ (m; n)-KOD, NE QWLQETSQ DELITELEM NI ODNOGO IZ MNOGO^LENOW WIDA xj +1 PRI j < n, TO MINIMALXNOE RASSTOQNIE MEVDU KODOWYMI SLOWAMI POROVDENNOGO IM KODA NE MENX[E 3.

pUSTX d | MINIMALXNOE RASSTOQNIE MEVDU KODOWYMI SLOWAMI, ONO RAWNO MINIMUMU SREDI WESOW NENULEWYH KODOWYH SLOW. pREDPOLOVIM d = 2. tOGDA SU]ESTWUET a(x) TAKOJ, ^TO a(x)g(x) = b(x) I STEPENX b(x) NE BOLX[E n. wES b RAWEN 2, PO\TOMU b(x) = xm + xl I l < m < n. sLEDOWATELXNO, b(x) = xl(xm l + 1), ^TO OZNA^AET, ^TO xm l + 1 DOLVEN DELITXSQ NA g(x), A \TO NEWOZMOVNO PO USLOWI@. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO d = 1, TO \TO PRIWEDET K UTWERVDENI@ O TOM, ^TO xm DOLVEN DELITXSQ NA g(x), ^TO TOVE PROTIWORE^IT USLOWI@. iTAK, d > 3.

kODIRU@]IJ MNOGO^LEN x11 + x9 + x7 + x6 + x5 + x + 1 OPREDELQET SOWER[ENNYJ (12; 23)-KOD gOLEQ (Golay) S MINIMALXNYM RASSTOQNIEM MEVDU KODOWYMI SLOWAMI 7.

w 1971 GODU FINSKIMI I SOWETSKIMI MATEMATIKAMI BYLO DOKAZANO [20], ^TO KROME KODOW h\MMINGA I gOLEQ DRUGIH SOWER[ENNYH KODOW NET. nAIBOLEE INTERESNYMI SREDI POLINOMIALXNYH KODOW QWLQ@TSQ CIKLI^ESKIE KODY, W KOTORYH WMESTE S L@BYM KODOWYM SLOWOM WIDA

b0 : : : bn 2bn 1 ESTX KODOWOE SLOWO bn 1b0 : : : bn 2.

I uPRAVNENIE 42

pO KODIRU@]EMU MNOGO^LENU x7 +x5 +x+1 POSTROITX POLINOMIALXNYE KODY DLQ DWOI^NYH SOOB]ENIJ 0100, 10001101, 11110.

I uPRAVNENIE 43

pRINADLEVAT LI KODU gOLEQ KODOWYE SLOWA 10000101011111010011111 I

11000111011110010011111?

26. pONQTIE O KODAH bOUZA-~OUDHURI-hOKKENGEMA

oSTALSQ OTKRYTYM WOPROS O METODIKE POSTROENIQ KODOW, MINIMALXNOE RASSTOQNIE MEVDU KODOWYMI SLOWAMI KOTORYH RAWNO ZADANNOMU ^ISLU. w 1960 GODU NEZAWISIMO bOUZ (Bose), ~OUDHURI (Chaudhuri) I hOKKENGEM (Hocquengem) OTKRYLI SPOSOB POSTROENIQ POLINOMIALXNYH KODOW, UDOWLETWORQ@]IH TAKIM TREBOWANIQM. |TI KODY POLU^ILI NAZWANIQ KODOW bOUZA-~OUDHURI-hOKKENGEMA ILI b~h-KODOW (BCH codes).

67