Karmanov_Trojanov

Упражнения

1.Покажите, что химпотенциал невырожденного бозе-газа монотонно убывает с ростом температуры.

2.Покажите, что химпотенциал невырожденного бозе-газа в окрестности точки вырождения с ростом температуры изменяется по параболическому закону.

61

3. На основе вычислительного эксперимента проведите апостериорную оценку погрешности расчета значений химпотенциала, внутренней энергии и теплоемкости. Оцените влияние выбора начальных значений химпотенциала при решении уравнения, верхнего предела интегрирования в функции F52(α), величины шага при численном дифференцировании по температуре и параметра TOL на точность расчета. Насколько оптимальными являются выбранные значения?

4.Предполагая, что зависимость числа бозонов с нулевым спином

всостояниях с положительной энергией (ε >0 ) при температуре ниже точки конденсации определяется функцией распределения

рассчитайте зависимость от температуры числа частиц с нулевой энергией, составляющих бозе-конденсат. Постройте график зависимости доли таких частиц от температуры.

5.Покажите, что теплоемкость является непрерывной функцией температуры в окрестности точки конденсации.

6.Вычислите величину скачка производной теплоемкости по температуре в окрестности точки конденсации.

7.Рассчитайте зависимость от температуры химпотенциала, средней энергии и теплоемкости для двухмерного идеального бозе-газа. Указание. Уравнение для определения химпотенциала можно привести к виду (см. [16], с. 565)

Ваши результаты можно сравнить с точным решением для химпотенциала, где через To обозначена температура статистического вырождения. Напомним, что в двумерном бозе-газе нет конденсации.

62

Глава 7. Простейшая модель ковалентной связи

(решение нелинейных уравнений)

Типичный пример системы с ковалентной связью– ион молекулы водорода, в котором расстояние между ядрами примерно равно 1 A. Простейшей моделью такой системы можно считать систему из N =2 одинаковых прямоугольных потенциальных ям, разделенных барьером переменной ширины. Рассчитаем матричным методом уровни энергии связанных состояний.

Распределение потенциала

Пусть ширина каждой ямы a и разделяющего их барьера b, а также глубина ямы и высота барьера имеют следующие значения:

xT

Рис. 1. Распределение потенциала

Определение матриц

Пусть каждой из пяти областей постоянства потенциала соответствует свой вектор коэффициентов (Aj , Bj ) волновой функции. Действуя по схеме, приведенной в главе 1, формируем матрицы скачков потенциала и матрицы распространения и определяем матрицу перехода. Нам потребуется две матрицы скачка потенциала, по одной "вниз" и "вверх", и две матрицы распространения на расстояние a и b. Пусть

63

Изолированная потенциальная яма

Рассмотрим сначала одну изолированную потенциальную яму с равновысокими краями. Ее матрица переходабудет иметь вид

T1(e) := D21(e) P2(e,a) D12(e)

Волновая функция на больших расстояниях слева и справа от ямы должна стремиться к нолю. Кроме того, волновое число k1(e) становится чисто мнимым, а это означает, что коэффициенты волновой функции A0 и B2 должны обращаться в нуль. Тогда, полагая B0 = 1, систему уравнений для ненормированной волновой функции можно записать в форме

64

Подставляя явные выражения для элементов матрицы и вычисляя их произведение, получим (k1(e) = i χ(e))

Переходя к половинному аргументу в тригонометрических функциях, уравнение для определения корней можно привести к стандартному виду (см, [1,2,8,9]).

Преобразуя тригонометрические функции из каждого из этих соотношений и подставляя в выражение для A2 , находим постоянные для четного и нечетного решений:

Две потенциальные ямы

Рассмотрим две одинаковые близко расположенные потенциальные ямы. Матрицу перехода для такой системы можно представить в виде

T2(e,b) := T1(e) P1(e,b) T1(e)

Принимая во внимание найденные выше элементы матриц T1(e) и P1(e,b), можно выписать в явном виде уравнение для определения корней в системе из двух одинаковых ям. Как и в случае одной ямы, это уравнение соответствует условию

T2(e,b)1,1 = 0

65

Очевидно, (см. pис. 2), что при данных параметрах изолированной потенциальной ямы в ней реализуется только одно связанное состояние e1. В случае двух близко расположенных ям этот уровень расщепляется на два: e10 и e11. Их энергии равны

Проанализируем изменения в положении корней при увеличении ширины разделяющего ямы барьера. Для этого будем рассматри-

66

вать функцию f2(e,b) как функцию двух переменных и построим карту ее изолиний. Изолиния с нулевым значением функциибудет указывать на положение уровня. Видно, что с удалением ям друг от друга уровни энергии частицы в каждой яме стремятся к положению уровня в изолированной яме.

F := CreateMesh(f2,1.1 e10,0.9 e11,0.9 b,6 b,60,60)

F

Рис. 3. Динамика изменения положения уровней

Рассчитаем теперь волновую функцию системы, состоящей из двух ям. Как и в случае одной ямы, коэффициенты A0 и B4 , отвечающие волновой функции в областях слева и справа от системы, должны быть равны нулю, а коэффициенты A4 и B0 связаны соотношением

A4 = T20,1 B0 .

Для найденных значений энергии уровней матрица системы равна

67

Коэффициент A4 = ± 1, что указывает на различную четность вол-

новой функции этих состояний. Рассчитаем коэффициенты волновой функции для состояния с энергией e = e10 , используя взаимосвязи между ними, приведенные в главе 1:

A0 := 0 B0 := 1

Для вычисления волновой функции переопределяем характеристики потенциала и формируем подпрограмму. Отметим, что волновая функция ненормирована.

y ← Aj exp(i k(e, j) x) + Bj exp(−i k(e, j) x) y ← B0 exp(−i k1(e) x) if (x ≤ X0)

y ← A4 exp(i k1(e) x) if x ≥ X3 y ← 25 y

68

Как видно из pис. 4., при ширине барьера, сопоставимой с шириной ямы, уже нельзя говорить о полностью локализованных потенциальных ямах. В результате туннельного эффекта электрон может проникать из одной ямы в другую, поэтому он уже не принадлежит ка- кому-то одному атому и его энергия изменяется. Волновая функция основного состояния является симметричной относительно середины области задания потенциала, а волновая функция следующего состояния с более высокой энергией будет антисимметричной. Это заключение имеет общий характер, оно справедливо для потенциальных ям любой формы.

Упражнения

1. Для приведенных в данной задаче параметров потенциала (a и Uo) рассчитайте уровни энергии частицы с определенным значением четности волновой функции, решая уравнения

69