
kalashnikov_tom_1
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u®âà = ;A cos(!t ; kx): |
(22.51) |
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u(x t) = u¯ ¤ + u®âà = A[cos(!t + kx) ; cos(!t ; kx)]: |
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497 |
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(22.53) |
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ª®«¥¡«¥âáï á ç áâ®â®© ! ¨ ¬¯«¨â㤮© umax sin kx, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ â®çª¨ áâàãë ®¤®¢à¥¬¥® ¤®á⨣ îâ ᢮¨å ¬ ªá¨¬ «ìëå ®âª«®¥¨© (¨«¨
¯à®å®¤ïâ ¯®«®¦¥¨¥ à ¢®¢¥á¨ï), ¨ ¥á«¨ ¬ë 室¨¬áï, ¯à¨¬¥à, ¢ ã§«¥ áâàãë (â.¥. ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ ⮩ xn = n=k), â® ¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ íâ â®çª ®áâ ¥âáï ã§«®¬. 묨 á«®¢ ¬¨, §¤¥áì ¥â ¤¢¨¦¥¨ï ¢®«ë, â®çª¨ ã§«®¢ ¢®«ë (ã«¥¢ëå § 票© ᬥ饨ï) ¥¯®¤¢¨¦ë, à ¢® ª ª ¨ â®çª¨ ¥¥ ¬ ªá¨¬ã¬®¢. ª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¨ §ë¢ îâáï áâ®ï- 稬¨ ¢®« ¬¨.
áâ®ï祩 ¢®«¥ ¯«®â®áâì í¥à£¨¨ ¬¥ï¥âáï ®â â®çª¨ ª â®çª¥ ¨ § - ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨, ® §¤¥áì ¥â ¯¥à¥®á í¥à£¨¨. â® ®ç¥¢¨¤® å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, çâ® â®çª¨ ã§«®¢ ¢®«ë ¥¯®¤¢¨¦ë, ¨ ¯¥à¥®á í¥à£¨¨ ç¥- १ ¨å ¡ëâì ¥ ¬®¦¥â. ®¦® à áá㦤 âì ¨ ¨ ç¥: ¤¢¥ ¡¥£ã騥 ¢®«ë, ®¡à §®¢ ¢è¨¥ áâ®ïçãî, ¯¥à¥®áïâ âã ¦¥ í¥à£¨î, ® ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ëå ¯à ¢«¥¨ïå, в ª зв® ®¡ нв¨ ¯а®ж¥бб ¢§ ¨¬® ª®¬¯¥б¨аговбп. ®¤-
áâ ¢«ïï ©¤¥®¥ à¥è¥¨¥ (22.53) ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (22.39), ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï ¯«®â®á⨠í¥à£¨¨ áâ®ï祩 ¢®«ë:
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|
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2 |
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2 |
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¤ ç 22.65. «ï áâàãë, § ªà¥¯«¥®© ®¤®¬ ª®æ¥, ©â¨ â®çª¨, ¢ ª®â®àëå ¯«®â®áâì í¥à£¨¨ ª®«¥¡ ¨© ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥¨.

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|
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2 |
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kx ; cos kx) |
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2 |
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kx + cos |
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: |
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¥¯¥àì ïá®, çâ® § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥¨ ¥ ¡ã¤¥â, ¥á«¨ sin |
kx = cos kx, |
||||||||||
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n = 0 1 2 : : :. |
|
¤ ç 22.66. ©â¨ § ª® ¨§¬¥¥¨ï ¢® ¢à¥¬¥¨ ¯«®â®á⨠í¥à£¨¨ áâ®ï祩 ¢®«ë ¢ â®çª å, £¤¥ ᬥ饨¥ áâàãë ¤®á⨣ ¥â ᢮¨å ¬ ªá¨- ¬ «ìëå § 票©.
¥è¥¨¥. ª § ë¥ â®çª¨ ¨¬¥îâ ª®®à¤¨ âë xmax n = ( =2+ n)=k n =
0 1 2 : : :. íâ¨å â®çª å sin2 kxmax n = 1 cos2 kxmax n |
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(22.54) á«¥¤ã¥â: |
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w = |
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cos2 !t = 2hwi cos2 !t: |
(22.57) |
2 |
ମ¨ª¨
áâàã¥, § ªà¥¯«¥®© ®¤®¬ ª®æ¥, ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ª®«¥¡ ¨ï «î¡ëå ç áâ®â. ªà¥¯¨¬ ⥯¥àì ¢â®à®© ª®¥æ áâàãë ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨ - ⮩ x = l. ¬¥¥¬ â® ¦¥ à¥è¥¨¥ (22.53), ª®â®à®¥ ¤®«¦® 㤮¢«¥â¢®àïâì
¤®¯®«¨â¥«ì®¬ã £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î: u(l t) = |
0. â® ®§ ç ¥â, çâ® |
sin kl = 0. áâà㥠¤«¨®© l, § ªà¥¯«¥®© |
ª®æ å, ¬®£ãâ áãé¥- |
á⢮¢ âì ⮫쪮 áâ®ï稥 ¢®«ë á ¢®«®¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ k = kn = n=l.®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¤«¨ë ¢®« n = 2 =kn = 2l=n. 묨 á«®¢ ¬¨, ¤«¨¥ áâàãë ¤®«¦® 㪫 ¤ë¢ âìáï æ¥«®¥ ç¨á«® ¯®«ã¢®«. â «® ¡ëâì,
§ ªà¥¯«¥ ï á ®¡®¨å ª®æ®¢ áâàã |
¬®¦¥â ª®«¥¡ âìáï ⮫쪮 á ®¯à¥¤¥- |
|||||||
«¥ë¬¨ ç áâ®â ¬¨: |
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v |
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1 T |
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n = |
|
= n |
|
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s |
: |
(22.58) |
|
n |
2l |
ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ §¤¥áì ãà ¢¥¨¥ (22.2) ¤«ï ᪮à®á⨠¢®« âïã⮩ áâàã¥. ¨¤¨¬, çâ® ç áâ®â ª®«¥¡ ¨© ¯®¢ëè ¥âáï ¯à¨: 1) 㬥ìè¥-
¨¨ ¤«¨ë áâàãë, 2) 㬥ì襨¨ ¥¥ ⮫é¨ë («¨¥©®© ¯«®â®áâ¨) ¨ 3) 㢥«¨ç¥¨¨ â殮¨ï. ⨠§ ª®®¬¥à®á⨠¨§¢¥áâë ª ¦¤®¬ã, ªâ®

22.4. â®ï稥 ¢®«ë |
499 |
¤¥à¦ « ¢ à㪠å å®âï ¡ë £¨â àã. ®«¥¡ ¨ï á ¨§è¥© ç áâ®â®© (n = 1) §ë¢ îâáï ®á®¢®© (¯¥à¢®©) £ ମ¨ª®©, á ¯®á«¥¤ãî騬¨ ç áâ®â ¬¨
| ¢ëá訬¨ (¢â®à®©, âà¥â쥩 ¨ â.¯.) £ ମ¨ª ¬¨.
«®£¨çë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¤«ï ª®«¥¡ ¨© ¢®§- ¤ãå ¢ âàã¡ å ¤ã客ëå ¬ã§ëª «ìëå ¨áâà㬥⮢. ®®â¢¥âá⢥®, ¢ ¨е б¨£ « е в ª¦¥ ¯а¨бгвбв¢гов в®«мª® ¢¯®«¥ ®¯а¥¤¥«¥л¥ з бв®вл.áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, ®à£ ãî âàã¡ã ¤«¨®© l. ®« ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¥© â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á ãà ¢¥¨¥¬ ¢¨¤ (22.53):
p(x t) = pmax sin !t sin kx:
᫨ âàã¡ ®âªàëâ á ®¡¥¨å áâ®à®, â® ¤ ¢«¥¨¥ ª®æ å à ¢® áâ æ¨®- ஬ã ( ⬮áä¥à®¬ã) ¨ p = 0 ¢ â®çª å x = 0 l. âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ⥠¦¥ ãá«®¢¨ï: ¤«ï ¢®«®¢ëå ç¨á¥« k = kn = n =l, ¤«¨ ¢®« = n = 2l=n
¨ ç áâ®â = n = vn=(2l) (n = 0 1 2 : : :). ᫨ ¦¥ âàã¡ ®âªàëâ ¢ â®çª¥ x = 0 ¨ § ªàëâ ¤à㣮¬ ª®æ¥ (x = l), â® § ªàë⮬ ª®æ¥
ᬥ饨¥ ç áâ¨æ à ¢® ã«î, ¤ ¢«¥¨¥ ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¨«¨ ¬¨- ¨¬ã¬ : kl = =2 + n. âáî¤ á«¥¤ãî⠥᪮«ìª® ¨ë¥ á®®â®è¥¨ï:
k = kn = (2n + 1) =(2l), = n = 4l=(2n + 1) ¨ = n = v(2n + 1)=(4l)
(n = 0 1 2 : : :). ¥à¢ ï £ ମ¨ª |
¤«ï â ª®© âàã¡ë ¢®§¡ã¦¤ ¥âáï |
ç áâ®â¥ 1 = v=(4l), çâ® ¢ ¤¢ à § |
¬¥ìè¥ ç áâ®âë 1 = v=(2l) ¯¥à¢®© |
£ ମ¨ª¨ ¯®«®áâìî ®âªàë⮩ âàã¡ë. |
¤ ç 22.67. ¥©«®®¢ ï £¨â à ï áâàã ¨¬¥¥â «¨¥©ãî ¯«®â®áâì ¬ ááë = 7:2 £=¬ ¨ âïãâ á ᨫ®© T = 150 . «¨ áâàãë l = 90 á¬:
ª®¢ë ç¥âëॠ¨§è¨¥ ç áâ®âë, ¨§¢«¥ª ¥¬ë¥ |
â ª®© áâàã¥? |
|||||||
¥è¥¨¥. ª®à®áâì ¢®«ë |
áâàã¥ à ¢ |
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T |
150 |
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v = s = r |
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= 157:1 |
¬=á: |
||||
6:08 |
10;3 |
|||||||
¨¡®«ìè ï ¤«¨ áâ®ï祩 ¢®«ë à |
¢ = 2l = 1:8 ¬. âáî¤ å®¤¨¬ |
á ¬ãî ¨§ªãî ç áâ®âã: 1 = v= = 157:1=1:8 = 87:3 æ: ( â ç áâ®â á®- ®â¢¥âáâ¢ã¥â ®â¥ \ä " ¡®«ì让 ®ªâ ¢ë.) «¥¤гой¨¥ з бв®вл п¢«повбп
楫묨 ªà â묨 1: n = n 1. âáî¤ á«¥¤ã¥â: 2 = 2 87:3 = 174:6 æ |
||||||
(\ä " ¬ «®© ®ªâ ¢ë), 3 = 3 87:3 = 261:9 æ (\¤®" ¯¥à¢®© ®ªâ ¢ë) ¨ |
||||||
4 = 4 87:3 = 349:2 |
æ |
(\ |
ä |
" |
¯¥à¢®© ®ªâ ¢ë |
). |
|
|
|
||||
¤ ç 22.68. âàã |
§¢ãç¨â ®â¥ \¤®" ¯¥à¢®© ®ªâ ¢ë. ªá¨¬ «ì- |
®¥ ®âª«®¥¨¥ â®ç¥ª áâàãë ®â ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï à ¢® umax = 2 ¬¬. ©â¨ ¬ ªá¨¬ «ìãî ᪮à®áâì ¨ ã᪮२¥ â®ç¥ª áâàãë.

500 |
« ¢ 22. ®«®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë |
¥è¥¨¥. ª® ª®«¥¡ ¨ï áâàãë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [áà. (22.53)]:
|
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|
u(x t) = umax sin !t sin kx |
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(22.59) |
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®âªã¤ 室¨¬ ᪮à®áâì ¨ ã᪮२¥ â®ç¥ª áâàãë: |
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u(x t) |
= |
! umax cos !t sin kx |
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u(x t) |
= |
;!2 umax sin !t sin kx: |
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(22.60) |
|||||||
® ãá«®¢¨î ! = 2 3 |
= 1645:6 æ (á¬. § ¤ çã 22.67.). |
ªá¨¬ «ìë¥ |
|||||||||||||||||
§ 票ï ᪮à®á⨠¨ ã᪮२ï à ¢ë: |
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;3 |
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|
¬ |
|
á |
|
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|
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|
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umax |
= |
! umax = 1645:6 |
2 |
10 = 3:3 |
= |
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||||||||
|
|
¬ |
|
á2 |
|
|
|||||||||||||
umax |
= |
! |
2 |
umax |
= (1645:6) |
2 |
2 10 |
;3 |
= 5416 |
= |
: |
(22.61) |
|||||||
|
|
|
|
|
«®¦¥¨¥ £ ମ¨ª
ëè¥ ¬ë 㦥 § ¨¬ «¨áì á«®¦¥¨¥¬ ª®«¥¡ ¨©, ¨ ⥯¥àì ¬ ¯à¥¤á⮨⠯த¥« âì â® ¦¥ á ¬®¥, ® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ ª®«¥¡«î饩áï áâàãë.
¢¨¦¥¨¥ áâàãë ¯à¨ ¢®§¡ã¦¤¥¨¨ ®á®¢®© (¯¥à¢®©) £ ମ¨ª¨, ¯®-
ª § ® à¨á. 22.5,a). ç «ì®¬ ¯®«®¦¥¨¨ («¨¨ï ®â¬¥ç¥ ç¥à- 묨 âà¥ã£®«ì¨ª ¬¨) â®çª¨ áâàãë ¨¬¥îâ ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®âª«®¥¨¥
®â ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï. ®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë ã¯à㣮á⨠®¨ ç¨ îâ
¤¢¨£ âìáï ( à¨á㪥 | ¢¥à⨪ «ì® ¢¨§), ¨ ä®à¬ áâàãë ç¥à¥§ 1/8 ¯¥à¨®¤ ¯®ª § «¨¨¥© ᮠᢥâ«ë¬¨ âà¥ã£®«ì¨ª ¬¨. ¥à¥§ ç¥â¢¥àâì
¯¥à¨®¤ áâàã ¯à¨å®¤¨â ¢ ¯®«®¦¥¨¥ à ¢®¢¥á¨ï («¨¨ï á ªà㦪 ¬¨), ® ¥¥ í«¥¬¥âë ¨¬¥îâ ¥ª®â®àë¥ áª®à®áâ¨, ¨ ¯®â®¬ã ¢ ¯®«®¦¥¨¨ à ¢-
®¢¥á¨ï ¥ § ¤¥à¦¨¢ îâáï. é¥ ç¥à¥§ 1/16 ¯¥à¨®¤ ®¨ ®ª §ë¢ îâáï ¢ ¯®«®¦¥¨¨, ¯®ª § ®¬ «¨¨¥© ᮠᢥâ«ë¬¨ ª¢ ¤à ⨪ ¬¨, ç¥à¥§ ¯®«®-
¢¨ã ¯¥à¨®¤ áâàã ᮢ ¯à¨®¡à¥â ¥â ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ®âª«®¥¨¥ («¨¨ï
á ç¥à묨 ª¢ ¤à ⨪ ¬¨), ® ¢ ¤àã£ãî áâ®à®ã, ¯®á«¥ 祣® ¯à®æ¥áá ¯®- ¢â®àï¥âáï ¢ ®¡à ⮬ ¯à ¢«¥¨¨. ª ¯à®¨á室¨â ª®«¥¡ ¨¥ ¢ áâ®ï祩
¢®«¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯¥à¢®© £ ମ¨ª¥, ç áâ®âã ª®â®à®© ¬ë ®¡®§ -
ç ¥¬ 1.
® áâàã¥, ª ª ¬ë 㦥 § ¥¬, ¬®£ãâ ¢®§¨ª âì ª®«¥¡ ¨ï ¨ ¤à㣨å
£ ମ¨ª. â®à ï £ ମ¨ª ¯®ª § ⮬ ¦¥ à¨á. 22.5,b). ᯮ«ì- §®¢ ¨¥ â¥å ¦¥ ®¡®§ 票© ¯®§¢®«ï¥â ¥ ®¯¨áë¢ âì ¯à®æ¥áá ª®«¥¡ ¨©
áâ®«ì ¦¥ ¤¥â «ì®. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥âáï ®¤ ¥¯®¤¢¨¦- ï â®çª (¥¥ §ë¢ îâ \ã§«®¬") ¢ á¥à¥¤¨¥ áâàãë. ®áª®«ìªã ã§¥« ¢á¥