Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

kalashnikov_tom_1

.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
11.06.2015
Размер:
3.79 Mб
Скачать

22.2. ¥è¥­¨¥ ¢®«­®¢®£® ãà ¢­¥­¨ï

491

¢ãª ⮩ ¦¥ ç áâ®âë ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢ ¢®¤¥ ¨ ¢®§¤ãå¥ à §­ë¥ ¤«¨­ë ¢®«­.ª, ¤«ï = 20 ª æ ¯®«ãç ¥¬ ¤«¨­ã ¢®«­ë ¢ ¢®¤¥:

= v= = 1:46 103=20 103 = 22 á¬

çâ® ­ ¤® áà ¢­¨âì á = 17 ¬¬ ¢ ¢®§¤ãå¥.

¤ ç 22.62. «ï ¤¨ £­®á⨪¨ ®¯ã宫¥© ¢ ¬ï£ª¨å ⪠­ïå ¯à¨¬¥­ï¥âáï ã«ìâà §¢ãª á ç áâ®â®© = 2 æ. ¯à¥¤¥«¨âì ¤«¨­ã ã«ìâà §¢ãª®¢®©

¢®«­ë ¢ ¢®§¤ãå¥ ¨ ¢ ¬ï£ª¨å ⪠­ïå, £¤¥ ᪮à®áâì à á¯à®áâà ­¥­¨ï §¢ãª à ¢­ v = 1:5 ª¬=á.

¥è¥­¨¥. «¨­ ¢®«­ë = v= . ¢®§¤ãå¥ = 343=(2 106) = 1:7

10;4 ¬ = 0:17 ¬¬: ¬ï£ª¨å ⪠­ïå = 1:5 103=(2 106) = 7:5 10;4 ¬ = 0:75 ¬¬: ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, ¤«¨­ ¢®«­ë «î¡®£® ¨§«ã祭¨ï ­ ª« ¤ë¢ ¥â ¥áâ¥á⢥­­ë© ¯à¥¤¥« ­ à §¬¥àë ®¡ê¥ªâ®¢, ª®â®àë¥ ¬®¦­®

à §«¨ç¨âì á ¥£® ¯®¬®éìî. ­­ë© ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤¨ £­®á⨪ ®¯ã宫¥©, à §¬¥àë ª®â®àëå ¬¥­ìè¥ ¬¨««¨¬¥âà , á ¯®¬®éìî ã«ìâà §¢ãª § âà㤭¨â¥«ì­ .

¤ ç 22.63. ¥âãç ï ¬ëèì ¨á¯®«ì§ã¥â ¤«ï ®à¨¥­â¨à®¢ ­¨ï ã«ìâà §- ¢ãª á ç áâ®â®© = 100 ª æ. ¯à¥¤¥«¨âì à §¬¥àë ¯à¥¯ïâá⢨©, ª®â®àë¥ § ¢¥¤®¬® ­¥ ¡ã¤ãâ § ¬¥ç¥­ë «¥âã祩 ¬ëèìî. ⢥â¨âì ­ â®â ¦¥ ¢®¯à®á

¢ ®â­®è¥­¨¨ ¤¥«ì䨭®¢, ª®â®àë¥ â ª¦¥ ¨á¯®«ì§ãîâ í⨠ç áâ®âë.

¥è¥­¨¥. «¨­ ¢®«­ë, ¨á¯ã᪠¥¬®© «¥âã祩 ¬ëèìî, à ¢­ = v= = 343=105 = 3:4 10;3 ¬ = 3:4 ¬¬: ९ïâáâ¢¨ï ¬¥­ìè¨å à §¬¥à®¢ § ¢¥¤®¬® ­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì § ¬¥ç¥­ë ¬ëèìî á ¯®¬®éìî ¨á¯ã᪠¥¬®© ã«ìâà §¢ãª®¢®©

¢®«­ë.

«ï ¤¥«ì䨭®¢ ®â¢¥â ¨­®© ¨§-§

¤à㣮© ᪮à®á⨠à á¯à®áâà ­¥-

­¨ï §¢ãª ¢ ¢®¤¥: = 1:46 103=105 = 1:46

10;2 ¬ 1:5 á¬: ª¨¬ ®¡à §®¬,

«¥âãç ï ¬ëèì ¬®¦¥â ®¡­ à㦨âì ­ ᥪ®¬ëå, ¤¥«ì䨭 | ­¥¡®«ìè¨å

àë¡®ª.

 

 

¤ ç

22.64. «ì¯¨­¨áâ, á¯ã᪠î騩áï á ®â¢¥á­®© ᪠«ë, ¢¨á¨â ­

¢¥à¥¢ª¥ ¤«¨­®© l = 30 ¬. âà åãî騩 ¥£® ¯ àâ­¥à ¯®¤ ¥â ¥¬ã ᨣ­ «, ¤¥à£ ï ¢¥à¥¢ªã. ª ª®¥ ¢à¥¬ï t ᨣ­ « ¤®á⨣­¥â «ì¯¨­¨áâ ? áá «ì¯¨­¨áâ m = 80 ª£, ¬ áá ®¤­®£® ¬¥âà ¢¥à¥¢ª¨ à ¢­ 75 £.

¥è¥­¨¥. ª ª ª ­ ¬ ¤ ­ «¨­¥©­ ï ¯«®â­®áâì ¢¥à¥¢ª¨ = 7:5

10;2 ª£=¬ ¨ ᨫ ¥¥ ­ â殮­¨ï T = mg, ¯® ä®à¬ã«¥ (22.2) ­ 室¨¬ ᪮- à®áâì à á¯à®áâà ­¥­¨ï ª®«¥¡ ­¨©:

 

 

mg

 

80

 

9:8

 

¬ á

v =

 

 

=

 

 

= 102

= :

r

r7:5 10;2

 

 

 

 

492 « ¢ 22. ®«­®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë

âáî¤ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¢à¥¬ï ¯à®å®¦¤¥­¨ï ᨣ­ « : t = l=v = 30=102 = 0:3 c:

22.3­¥à£¨ï ¢®«­ë

áᬮâਬ ¤«ï ¯à¨¬¥à §¢ãª®¢ãî ¢®«­ã. «¥¬¥­â ®¡ê¥¬

­ à¨á. 22.2

¨¬¥¥â ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î:

 

 

 

 

mu2

 

u2

 

Wª¨­ =

2

= S x

2 :

(22.33)

ਠ¥£® ¤¥ä®à¬ 樨 ¢ ¤ ­­®¬ ®¡ê¥¬¥ £ § § ¯ á ¥âáï ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï

í­¥à£¨ï W¯®â. áᬠâਢ ï ª®«¥¡ ­¨ï ¯®àè­ï, ¬ë ¯®«ã稫¨ ¢ëà ¦¥- ­¨¥ (19.13) ¤«ï ᨫë ã¯à㣮á⨠¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ ¯®àè­ï ­ à ááâ®ï­¨¥

x:

F = ;

p0S2

x:

(22.34)

V0

â®â § ª®­ ­ «®£¨ç¥­ § ª®­ã ãª

¤«ï ᨫë ã¯à㣮á⨠¯à¨ ᦠ⨨ ¨«¨

à áâ殮­¨¨ ¯à㦨­ë. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï £ § à ¢­ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥

x

 

 

p0S2 x2

 

W¯®â = ; Z0

 

 

 

 

F dx =

V0 2 :

(22.35)

ந§¢¥¤¥­¨¥ Sx = V à ¢­® ¨§¬¥­¥­¨î ®¡ê¥¬ £ §

¯®¤ ¯®àè­¥¬. ®-

í⮬ã (22.35) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

W¯®â

=

p0

V 2

(22.36)

V0

2

:

 

 

 

 

ਬ¥­¨¬ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ª ®¡ê¥¬ã £ §

¢ §¢ãª®¢®© ¢®«­¥. ¢«¥­¨¥ ¢

áâ æ¨®­ à­®¬ á®áâ®ï­¨¨ ¬ë ®¡®§­ 稫¨ p, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ­ ¤® § ¬¥­¨âì

p0 ! p. ¡ê¥¬ ¢ áâ æ¨®­ à­®¬ á®áâ®ï­¨¨ à ¢¥­ V0 = S x. §¬¥­¥­¨¥ ®¡ê¥¬ ¯à¨ ª®«¥¡ ­¨ïå à ¢­®

V = S (u(x + x t) ; u(x t)) S x u0(x t):

 

®«ãç ¥¬ ⮣¤ ¤«ï ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¤ ­­®£® ®¡ê¥¬

£ § :

W¯®â =

p (S x u0)2

 

pu02

 

 

2

= S x

2 :

(22.37)

S x

22.3. ­¥à£¨ï ¢®«­ë

493

㬬 ª¨­¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ à ¢­ ¯®«­®© í­¥à£¨¨ ¤ ­- ­®£® ®¡ê¥¬ . «®â­®áâì í­¥à£¨¨ w ¢ ¢®«­¥ ¯®«ãç ¥¬, à §¤¥«¨¢ ¯®«­ãî í­¥à£¨î ­ ¢¥«¨ç¨­ã ®¡ê¥¬ :

w =

Wª¨­ + W¯®â =

u2

+

pu02

:

(22.38)

 

S x

2

 

2

 

 

ç¨âë¢ ï, çâ® ä §®¢ ï ᪮à®áâì ¢®«­ë à ¢­ v =

p

p=

, § ¯¨áë¢ ¥¬

(22.38) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

"

@u(x t)

 

2

 

@u(x t)

2

# :

 

 

w =

2

@t

+ v2

@x

 

(22.39)

®ç­® â ª®¥ ¦¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯®«ãç ¥âáï ¤«ï ¢®«­ë ¢ ⢥म¬ ⥫¥ (­¥- ¢ ¦­®, ¯à®¤®«ì­®© «¨, ¯®¯¥à¥ç­®© «¨) ¨ ¤«ï ¢®«­ë ¢¤®«ì áâàã­ë.

®¤áâ ¢«ïï áî¤ à¥è¥­¨¥ (22.22) u(x t) = A cos(!t ; kx + '0) ¤«ï

¬®­®å஬ â¨ç¥áª®© ¢®«­ë ¨ ãç¨âë¢ ï ᮮ⭮襭¨¥ v = !=k, ¯®«ãç ¥¬:

w = !2 A2 sin2(!t ; kx + '0):

(22.40)

«®â­®áâì í­¥à£¨¨ ¢®«­ë à §«¨ç­ ¢ à §­ëå â®çª å ¯à®áâà ­á⢠¨ ¢ à §­ë¥ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨. 䨪á¨à㥬 ª ªãî-â® â®çªã x ¨ ãá।­¨¬ ¯«®â­®áâì í­¥à£¨¨ ¢ ¤ ­­®© â®çª¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨. ।­¥¥ §­ 祭¨¥ ª¢ -

¤à â ᨭãá

à ¢­® 1/2. ®«ãç ¥¬ ⮣¤ , çâ® á।­¥¥ §­ 祭¨¥ ¯«®â­®-

áâ¨ í­¥à£¨¨ ¯®áâ®ï­­® ¤«ï ¢á¥å â®ç¥ª áà¥¤ë ¨ à ¢­®

 

 

 

1

 

 

 

hwi = 2 !2A2:

(22.41)

ª¨¬ ®¡à §®¬, á।

®¡« ¤ ¥â ¯®«­ë¬ § ¯ ᮬ í­¥à£¨¨, ¯«®â­®áâì ª®â®-

ன ¯à®¯®à樮­ «ì­

¯«®â­®á⨠á।ë, ª¢ ¤à âã æ¨ª«¨ç¥áª®© ç áâ®âë

¨ ª¢ ¤à âã

¬¯«¨âã¤ë. ( ¯®¬­¨¬, çâ® ¤«ï ª®«¥¡ ­¨ï á¨á⥬ë á ®¤-

­®© á⥯¥­ìî ᢮¡®¤ë í­¥à£¨ï ª®«¥¡ ­¨ï â ª¦¥ ¡ë« ¯à®¯®à樮­ «ì­

ª¢ ¤à âã ç áâ®âë ¨ ª¢ ¤à âã ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨ï.)

б«¨ ¢¥а­гвмбп ª ¢ла ¦¥­¨о (22.40) ¤«ï ¬£­®¢¥­­®£® §­ 祭¨ï ¯«®â- ­®áâ¨ í­¥à£¨¨, â® «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® «î¡®¥ ¢§ï⮥ §­ 祭¨¥ ¯«®â­®áâ¨

í­¥à£¨¨ (­ ¯à¨¬¥à, ¥¥ ¬ ªá¨¬ã¬ wmax = !2A2 = 2hwi) ¯¥à¥¬¥é ¥âáï

¢¤®«ì ®á¨ x ᮠ᪮à®áâìî v. ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢®«­

¯¥à¥­®á¨â í­¥à£¨î.

â í­¥à£¨ï ¤®áâ ¢«ï¥âáï, ¥áâ¥á⢥­­®, ®â ¨áâ®ç­¨ª

ª®«¥¡ ­¨©. ®¦­®

¢¢¥á⨠⠪¦¥ ¯«®â­®áâì ¯®â®ª í­¥à£¨¨ j = wv, ª®â®à ï à ¢­ í­¥à£¨¨, ¯¥à¥­®á¨¬®© ¢ ¥¤¨­¨æã ¢à¥¬¥­¨ ç¥à¥§ ¥¤¨­¨ç­ãî ¯«®é ¤ªã, ®à⮣®­ «ì- ­ãî ­ ¯à ¢«¥­¨î à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢®«­ë.

494

« ¢ 22. ®«­®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë

ਬ¥­¥­¨ï ª §¢ãª®¢®© ¢®«­¥

¬¥é¥­¨¥ ç áâ¨æ £ § ®¯¨áë¢ ¥âáï áâ ­¤ àâ­ë¬ à¥è¥­¨¥¬:

u(x t) = A cos(!t ; kx + '0)

£¤¥ ä §®¢ ï ᪮à®áâì v = ¯«®â­®áâì ­¥¢®§¬ã饭­®£® ­¨î ¨§¡ëâ®ç­®£® ¤ ¢«¥­¨ï

p p= . ®¤ p ¨ ¯®­¨¬ îâáï ¤ ¢«¥­¨¥ ¨ £ § . ¬¥é¥­¨¥ ç áâ¨æ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®ï¢«¥-

p = p~ ; p:

p =

; p

@u(x t)

= ; pk A sin(!t ; kx + '0) =

 

@x

=

;

p!

A sin(!t ; kx + '0):

v

¤¥áì ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ᮮ⭮襭¨¥ (22.4). ç¨âë¢ ï, çâ® (22.42) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

(22.42)

p = v2,

p = ; !v A sin(!t ; kx + '0):

(22.43)

¬¥â¨¬, çâ® ª®«¥¡ ­¨ï ¤ ¢«¥­¨ï ᤢ¨­ãâë ­ =2 ¯® ®â­®è¥­¨î ª ª®«¥- ¡ ­¨ï¬ ᬥ饭¨ï ç áâ¨æ £ § . ਠ¬ ªá¨¬ «ì­®¬ ᬥ饭¨¨ u(x t)max =

A ¤ ¢«¥­¨¥ à ¢­® áâ æ¨®­ à­®¬ã §­ 祭¨î: p = 0. ®¡®à®â,

¬¯«¨-

âã¤

¤ ¢«¥­¨ï ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬

¯à¨ ­ã«¥¢®¬ ᬥ饭¨¨ ç áâ¨æ £ § .

­â¥­á¨¢­®áâìî I ¢®«­ë ­ §ë¢ ¥âáï á।­¥¥ §­ 祭¨¥ ¯«®â­®á⨠¯®-

⮪

í­¥à£¨¨ ¢ ­¥©:

 

 

 

I = hwiv =

1

 

 

2 !2vA2:

(22.44)

¢ãª®¢ë¥ ¢®«­ë ¯à¨­ïâ® å à ªâ¥à¨§®¢ âì ã஢­¥¬ £à®¬ª®á⨠L, ¨§¬¥- àï¥¬ë¬ ¢ ¤¥æ¨¡¥«« å (¤ ). ¢ï§ì ã஢­ï £à®¬ª®áâ¨ á ¨­â¥­á¨¢­®áâìî §¢ãª®¢®© ¢®«­ë ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©:

L = 10 lg

I

I0 = 10

;12

â

=

¬2

:

 

(22.45)

 

 

I0

 

 

 

 

ë¡®à I0 á¢ï§ ­ á ¯®à®£®¬ á«ë訬®á⨠¢ ®¡« á⨠ç áâ®â 1000

4000 æ,

ª ª®â®àë¬ ­ ¨¡®«¥¥ ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢® ãå® ç¥«®¢¥ª .

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨

I = I0 ã஢¥­ì £à®¬ª®á⨠¯®« £ ¥âáï à ¢­ë¬ ­ã«î. ਠ¨­â¥­á¨¢­®áâïå

¢®«­ë ¯®à浪 1 10 â=¬2 ¢®«­

¯¥à¥á⠥⠢®á¯à¨­¨¬ âìáï ª ª §¢ãª,

¢ë§ë¢ ï ⮫쪮 ®éã饭¨¥ ¡®«¨.

⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ã஢¥­ì £à®¬ª®-

á⨠L = 120 130 ¤ :

 

22.3. ­¥à£¨ï ¢®«­ë

495

©¤¥¬ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¨­â¥­á¨¢­®áâìî §¢ãª®¢®© ¢®«­ë, ¨§¡ëâ®ç­ë¬ ¤ - ¢«¥­¨¥¬ p, á®§¤ ¢ ¥¬ë¬ ¥î, ¨ ᬥ饭¨ï¬¨ ç áâ¨æ £ § . ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ­¨© ¤ ¢«¥­¨ï ¢ ¢®«­¥ à ¢­ (á¬. (22.43)):

pmax = !vA

®âªã¤

A =

pmax :

(22.46)

 

!v

 

­â¥­á¨¢­®áâì ¢®«­ë ¢ëà ¦ ¥¬ â ª¦¥ ç¥à¥§

 

1

 

p2

 

 

 

2 2

max

 

I =

2 ! vA =

2 v

:

¬¯«¨âã¤ã ¤ ¢«¥­¨ï:

(22.47)

âáî¤ ­ 室¨¬ ¨§¡ëâ®ç­®¥ ¤ ¢«¥­¨¥ ¢ §¢ãª®¢®© ¢®«­¥:

pmax = p

2 vI:

 

(22.48)

ç¨âë¢ ï, çâ® ¯«®â­®áâì ¢®§¤ãå ¯à¨ ­®à¬ «ì­ëå ãá«®¢¨ïå à ¢­ =

1:2 ª£=¬3, ¯®«ãç ¥¬ ¬¯«¨âã¤ã ª®«¥¡ ­¨© ¤ ¢«¥­¨ï ­ ¡®«¥¢®¬ ¯®à®£¥

(L = 120 ¤ I = 1 â=¬2):

pmax = p2 1:2 343 1 29 :

¬¯«¨â㤠ᬥ饭¨ï ç áâ¨æ £ § § ¢¨á¨â ¯à¨ í⮬ ®â ç áâ®âë:

A = pmax

=

 

29

 

 

= 1:12

10;2 ¬:

 

343

 

 

!v

 

1:2

2

 

 

 

=1 æ

âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ £à®¬ª®á⨠L = 120 ¤ ¨ ç áâ®â¥ = 20 æ

ᬥ饭¨¥ á®áâ ¢«ï¥â A = 5:6

10;4 ¬ 0:56 ¬¬,

­

ç áâ®â¥ = 20 ª£

A = 5:6 10;7 ¬

0:56 ¬ª¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

©¤¥¬ ⥯¥àì

¬¯«¨âã¤ã ª®«¥¡ ­¨ï ᪮à®á⨠ç áâ¨æ £ § :

 

 

umax

= !A =

pmax :

 

 

 

(22.49)

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

­ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ç áâ®âë ¢®«­ë ¨ ¯à¨ £à®¬ª®á⨠L = 120 ¤ à ¢­ :

 

 

 

29

 

 

 

¬

á

 

 

ᬠá

 

 

1:2

343 = 0:070

 

 

umax =

=

 

= 7:0

 

= :

â ¡«¨æ¥ 22.1

¯à¥¤áâ ¢«¥­ë §­ 祭¨ï ã஢­ï £à®¬ª®á⨠¤«ï ­¥ª®-

â®àëå §¢ãª®¢, á ¯®¬®éìî ª®â®àëå ¬®¦­® ­ ©â¨ ¨§¡ëâ®ç­®¥ ¤ ¢«¥­¨¥, ᬥ饭¨ï ¨ ᪮à®á⨠ç áâ¨æ £ § ¢ ¨­ëå á«ãç ïå.

496

 

« ¢

22. ®«­®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë

¡«¨æ 22.1: ஢­¨ £à®¬ª®á⨠­¥ª®â®àëå §¢ãª®¢

 

 

 

 

 

 

 

¢ãª

 

L, ¤

 

 

¥«¥áâ «¨áâ쥢

 

10

 

 

¥¯®â, ⨪ ­ì¥ ç ᮢ

20

 

 

«¨ç­ë© è㬠(¡¥§

¢â®âà ­á¯®àâ )

30

 

 

®à¬ «ì­ë© à §£®¢®à

60

 

 

ਪ

 

80

 

 

®ª-£à㯯

 

110

 

 

®«¥¢®© ¯à¥¤¥«

 

120

 

 

¥ ªâ¨¢­ë© ¤¢¨£ â¥«ì ­ à ááâ®ï­¨¨ 50 ¬

130

 

 

в авгой п а ª¥в

­ à ááâ®ï­¨¨ 50 ¬

200

 

22.4â®ï稥 ¢®«­ë

®¬¨¬® ¡¥£ãé¨å ¢®«­ ¯à¥¤ë¤ã饣® à §¤¥« , ¢ ¯à¨à®¤¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¨ â.­. áâ®ï稥 ¢®«­ë, ®¡à §ãî騥áï ¢ १ã«ìâ ⥠á㯥௮§¨æ¨¨ ¡¥£ãé¨å.ë ¯®áâ®ï­­® ¢áâà¥ç ¥¬áï á ­¨¬¨ ¢ ᢮¥© ¯à ªâ¨ç¥áª®© ¦¨§­¨: ª®£¤ £®¢®à¨¬, ¯®¥¬, á«ãè ¥¬ ¬ã§ëªã. í⮬ à §¤¥«¥, ¯®á«¥ ®¡é¨å ¬ â¥- ¬ â¨ç¥áª¨å ä®à¬ã«, ¬ë ᮢᥬ ª®à®âª® ®¡á㦤 ¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ¬ã§ëª «ì­®© ªãá⨪¨ | ¢ ­ ¤¥¦¤¥, çâ® íâ ç áâì ­¥ ¯®ª ¦¥âáï ­ 訬 áâ㤥­â ¬ á ¬®© áªãç­®©.

âàã­ , § ªà¥¯«¥­­ ï ­ ®¤­®¬ ª®­æ¥

।¯®«®¦¨¬, çâ® áâàã­ § ªà¥¯«¥­ ­¥¯®¤¢¨¦­® ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨­ ⮩ x = 0 ¨ âï­¥âáï ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ®á¨ x. ãáâì ¯® áâàã­¥

á¯à ¢ ­ «¥¢® (â.¥.

¢ ®âà¨æ ⥫쭮¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ®á¨ x) à á¯à®áâà ­ï-

¥âáï ¢®«­

 

 

 

 

u¯ ¤ = A cos(!t + kx):

(22.50)

®©¤ï ¤® â®çª¨ § ªà¥¯«¥­¨ï,

¢®«­ ®âà §¨âáï.

᫨ ¯à¥­¥¡à¥çì ¯®â¥-

àﬨ í­¥à£¨¨, â®

¬¯«¨âã¤

®âà ¦¥­­®© ¢®«­ë ᮢ¯ ¤¥â á ¬¯«¨â㤮©

¯ ¤ î饩 ¢®«­ë.

¤® ãç¥áâì â ª¦¥, çâ® ¯à¨ ®âà ¦¥­¨¨ ¯à®¨á室¨â

¨§¬¥­¥­¨¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï í«¥¬¥­â ­ ®¡à â­®¥ (ª ª ¢ ã¯à㣮¬ 㤠ॠè ਪ ® á⥭ªã):

u®âà = ;A cos(!t ; kx):

(22.51)

㯥௮§¨æ¨ï ¯ ¤ î饩 ¨ ®âà ¦¥­­®© ¢®«­ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 

u(x t) = u¯ ¤ + u®âà = A[cos(!t + kx) ; cos(!t ; kx)]:

(22.52)

22.4. â®ï稥 ¢®«­ë

497

ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ «î¡®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ u(0 t) 0 | íâ® ¨ ¥áâì ãá«®¢¨¥ § ªà¥¯«¥­¨ï áâàã­ë ¢ â®çª¥ x = 0. ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã« ¬¨ âà¨-

£®­®¬¥âਨ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï à §­®á⨠ª®á¨­ãᮢ, § ¯¨áë¢ ¥¬ (22.53) ¢ ¢¨¤¥:

u(x t) = ;2A sin !t sin kx = umax sin kx sin !t

(22.53)

£¤¥ umax | ­ ¨¡®«ì襥 ᬥ饭¨¥ ¢ áâ®ï祩 ¢®«­¥.

 

ë ­ 諨 ®á®¡ë© ⨯ ª®«¥¡ ­¨©: ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà ­áâ¢

áâàã­

ª®«¥¡«¥âáï á ç áâ®â®© ! ¨ ¬¯«¨â㤮© umax sin kx, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ â®çª¨ áâàã­ë ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¤®á⨣ îâ ᢮¨å ¬ ªá¨¬ «ì­ëå ®âª«®­¥­¨© (¨«¨

¯à®å®¤ïâ ¯®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï), ¨ ¥á«¨ ¬ë ­ 室¨¬áï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ ã§«¥ áâàã­ë (â.¥. ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨­ ⮩ xn = n=k), â® ¢ «î¡®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ íâ â®çª ®áâ ¥âáï ã§«®¬. ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, §¤¥áì ­¥â ¤¢¨¦¥­¨ï ¢®«­ë, â®çª¨ ã§«®¢ ¢®«­ë (­ã«¥¢ëå §­ 祭¨© ᬥ饭¨ï) ­¥¯®¤¢¨¦­ë, à ¢­® ª ª ¨ â®çª¨ ¥¥ ¬ ªá¨¬ã¬®¢. ª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¨ ­ §ë¢ îâáï áâ®ï- 稬¨ ¢®«­ ¬¨.

áâ®ï祩 ¢®«­¥ ¯«®â­®áâì í­¥à£¨¨ ¬¥­ï¥âáï ®â â®çª¨ ª â®çª¥ ¨ § - ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨, ­® §¤¥áì ­¥â ¯¥à¥­®á í­¥à£¨¨. â® ®ç¥¢¨¤­® å®âï ¡ë ¯®â®¬ã, çâ® â®çª¨ ã§«®¢ ¢®«­ë ­¥¯®¤¢¨¦­ë, ¨ ¯¥à¥­®á í­¥à£¨¨ ç¥- १ ­¨å ¡ëâì ­¥ ¬®¦¥â. ®¦­® à áá㦤 âì ¨ ¨­ ç¥: ¤¢¥ ¡¥£ã騥 ¢®«­ë, ®¡à §®¢ ¢è¨¥ áâ®ïçãî, ¯¥à¥­®áïâ âã ¦¥ í­¥à£¨î, ­® ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨ïå, в ª зв® ®¡ нв¨ ¯а®ж¥бб ¢§ ¨¬­® ª®¬¯¥­б¨аговбп. ®¤-

áâ ¢«ïï ­ ©¤¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ (22.53) ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ (22.39), ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï ¯«®â­®áâ¨ í­¥à£¨¨ áâ®ï祩 ¢®«­ë:

 

 

!2u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w =

max

cos2

!t sin2 kx + sin2 !t cos2 kx

 

:

 

(22.54)

2

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á।­ïï ¯® ¢à¥¬¥­¨,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­ 室¨¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!2u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!2u2

 

!2A2

 

 

 

 

max

 

;

 

 

2

 

2

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

hwi =

 

4

 

sin kx

+ cos

 

kx

=

4

= 2

 

 

2

:

(22.55)

ë ¯®«ã稫¨, çâ® á।­ïï ¯«®â­®áâì í­¥à£¨¨ áâ®ï祩 ¢®«­ë ­¥ § ¢¨á¨â ®â â®çª¨ ­ ¡«î¤¥­¨ï ¨ à ¢­ á㬬¥ á।­¨å ¯«®â­®á⥩ í­¥à£¨© ¤¢ãå ¡¥£ãé¨å ¢®«­, á㯥௮§¨æ¨¥© ª®â®àëå ®­ ï¥âáï,

¤ ç 22.65. «ï áâàã­ë, § ªà¥¯«¥­­®© ­ ®¤­®¬ ª®­æ¥, ­ ©â¨ â®çª¨, ¢ ª®â®àëå ¯«®â­®áâì í­¥à£¨¨ ª®«¥¡ ­¨© ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨.

498 « ¢ 22. ®«­®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë

¥è¥­¨¥. ᯮ«ì§ãï ᮮ⭮襭¨¥ sin2 !t

=

1 ; cos2 !t,

¯à¥¤áâ ¢¨¬

(22.54) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w =

!2umax2

 

 

2

2

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

kx ; cos kx)

 

2

2

 

cos

 

kx + cos

!t (sin

:

(22.56)

¥¯¥àì ïá­®, çâ® § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥­¨ ­¥ ¡ã¤¥â, ¥á«¨ sin

kx = cos kx,

¨«¨ tg kx = 1, â.¥. ¢ â®çª å x = ( =4 + n)=k

n = 0 1 2 : : :.

 

¤ ç 22.66. ©â¨ § ª®­ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¯«®â­®áâ¨ í­¥à£¨¨ áâ®ï祩 ¢®«­ë ¢ â®çª å, £¤¥ ᬥ饭¨¥ áâàã­ë ¤®á⨣ ¥â ᢮¨å ¬ ªá¨- ¬ «ì­ëå §­ 祭¨©.

¥è¥­¨¥. ª § ­­ë¥ â®çª¨ ¨¬¥îâ ª®®à¤¨­ âë xmax n = ( =2+ n)=k n =

0 1 2 : : :. íâ¨å â®çª å sin2 kxmax n = 1 cos2 kxmax n

= 0, â ª çâ® ¨§

(22.54) á«¥¤ã¥â:

 

 

 

 

!2u2

 

w =

max

cos2 !t = 2hwi cos2 !t:

(22.57)

2

ମ­¨ª¨

áâàã­¥, § ªà¥¯«¥­­®© ­ ®¤­®¬ ª®­æ¥, ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ª®«¥¡ ­¨ï «î¡ëå ç áâ®â. ªà¥¯¨¬ ⥯¥àì ¢â®à®© ª®­¥æ áâàã­ë ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨­ - ⮩ x = l. ¬¥¥¬ â® ¦¥ à¥è¥­¨¥ (22.53), ª®â®à®¥ ¤®«¦­® 㤮¢«¥â¢®àïâì

¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã £à ­¨ç­®¬ã ãá«®¢¨î: u(l t) =

0. â® ®§­ ç ¥â, çâ®

sin kl = 0. áâàã­¥ ¤«¨­®© l, § ªà¥¯«¥­­®© ­

ª®­æ å, ¬®£ãâ áãé¥-

á⢮¢ âì ⮫쪮 áâ®ï稥 ¢®«­ë á ¢®«­®¢ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ k = kn = n=l.®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¤«¨­ë ¢®«­ n = 2 =kn = 2l=n. ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ­ ¤«¨­¥ áâàã­ë ¤®«¦­® 㪫 ¤ë¢ âìáï æ¥«®¥ ç¨á«® ¯®«ã¢®«­. â «® ¡ëâì,

§ ªà¥¯«¥­­ ï á ®¡®¨å ª®­æ®¢ áâàã­

¬®¦¥â ª®«¥¡ âìáï ⮫쪮 á ®¯à¥¤¥-

«¥­­ë¬¨ ç áâ®â ¬¨:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

1 T

 

 

n =

 

= n

 

 

s

:

(22.58)

n

2l

ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ §¤¥áì ãà ¢­¥­¨¥ (22.2) ¤«ï ᪮à®á⨠¢®«­ ­ ­ âï­ã⮩ áâàã­¥. ¨¤¨¬, çâ® ç áâ®â ª®«¥¡ ­¨© ¯®¢ëè ¥âáï ¯à¨: 1) 㬥­ìè¥-

­¨¨ ¤«¨­ë áâàã­ë, 2) 㬥­ì襭¨¨ ¥¥ ⮫騭ë («¨­¥©­®© ¯«®â­®áâ¨) ¨ 3) 㢥«¨ç¥­¨¨ ­ â殮­¨ï. ⨠§ ª®­®¬¥à­®á⨠¨§¢¥áâ­ë ª ¦¤®¬ã, ªâ®

22.4. â®ï稥 ¢®«­ë

499

¤¥à¦ « ¢ à㪠å å®âï ¡ë £¨â àã. ®«¥¡ ­¨ï á ­¨§è¥© ç áâ®â®© (n = 1) ­ §ë¢ îâáï ®á­®¢­®© (¯¥à¢®©) £ ମ­¨ª®©, á ¯®á«¥¤ãî騬¨ ç áâ®â ¬¨

| ¢ëá訬¨ (¢â®à®©, âà¥â쥩 ¨ â.¯.) £ ମ­¨ª ¬¨.

­ «®£¨ç­ë¥ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¤«ï ª®«¥¡ ­¨© ¢®§- ¤ãå ¢ âàã¡ å ¤ã客ëå ¬ã§ëª «ì­ëå ¨­áâà㬥­â®¢. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ ¨е б¨£­ « е в ª¦¥ ¯а¨бгвбв¢гов в®«мª® ¢¯®«­¥ ®¯а¥¤¥«¥­­л¥ з бв®вл.áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, ®à£ ­­ãî âàã¡ã ¤«¨­®© l. ®«­ ¤ ¢«¥­¨ï ¢ ­¥© â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á ­ ãà ¢­¥­¨¥¬ ¢¨¤ (22.53):

p(x t) = pmax sin !t sin kx:

᫨ âàã¡ ®âªàëâ á ®¡¥¨å áâ®à®­, â® ¤ ¢«¥­¨¥ ­ ª®­æ å à ¢­® áâ æ¨®- ­ à­®¬ã ( ⬮áä¥à­®¬ã) ¨ p = 0 ¢ â®çª å x = 0 l. âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ⥠¦¥ ãá«®¢¨ï: ¤«ï ¢®«­®¢ëå ç¨á¥« k = kn = n =l, ¤«¨­ ¢®«­ = n = 2l=n

¨ ç áâ®â = n = vn=(2l) (n = 0 1 2 : : :). ᫨ ¦¥ âàã¡ ®âªàëâ ¢ â®çª¥ x = 0 ¨ § ªàëâ ­ ¤à㣮¬ ª®­æ¥ (x = l), â® ­ § ªàë⮬ ª®­æ¥

ᬥ饭¨¥ ç áâ¨æ à ¢­® ­ã«î, ¤ ¢«¥­¨¥ ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¨«¨ ¬¨- ­¨¬ã¬ : kl = =2 + n. âáî¤ á«¥¤ãîâ ­¥áª®«ìª® ¨­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï:

k = kn = (2n + 1) =(2l), = n = 4l=(2n + 1) ¨ = n = v(2n + 1)=(4l)

(n = 0 1 2 : : :). ¥à¢ ï £ ମ­¨ª

¤«ï â ª®© âàã¡ë ¢®§¡ã¦¤ ¥âáï ­

ç áâ®â¥ 1 = v=(4l), çâ® ¢ ¤¢ à §

¬¥­ìè¥ ç áâ®âë 1 = v=(2l) ¯¥à¢®©

£ ମ­¨ª¨ ¯®«­®áâìî ®âªàë⮩ âàã¡ë.

¤ ç 22.67. ¥©«®­®¢ ï £¨â à­ ï áâàã­ ¨¬¥¥â «¨­¥©­ãî ¯«®â­®áâì ¬ ááë = 7:2 £=¬ ¨ ­ âï­ãâ á ᨫ®© T = 150 . «¨­ áâàã­ë l = 90 á¬:

ª®¢ë ç¥âëॠ­¨§è¨¥ ç áâ®âë, ¨§¢«¥ª ¥¬ë¥ ­

â ª®© áâàã­¥?

¥è¥­¨¥. ª®à®áâì ¢®«­ë ­

áâàã­¥ à ¢­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

150

 

 

 

v = s = r

 

 

= 157:1

¬=á:

6:08

10;3

¨¡®«ìè ï ¤«¨­ áâ®ï祩 ¢®«­ë à

¢­ = 2l = 1:8 ¬. âáî¤ ­ 室¨¬

á ¬ãî ­¨§ªãî ç áâ®âã: 1 = v= = 157:1=1:8 = 87:3 æ: ( â ç áâ®â á®- ®â¢¥âáâ¢ã¥â ­®â¥ \ä " ¡®«ì让 ®ªâ ¢ë.) «¥¤гой¨¥ з бв®вл п¢«повбп

楫묨 ªà â­ë¬¨ 1: n = n 1. âáî¤ á«¥¤ã¥â: 2 = 2 87:3 = 174:6 æ

(\ä " ¬ «®© ®ªâ ¢ë), 3 = 3 87:3 = 261:9 æ (\¤®" ¯¥à¢®© ®ªâ ¢ë) ¨

4 = 4 87:3 = 349:2

æ

(\

ä

"

¯¥à¢®© ®ªâ ¢ë

).

 

 

 

¤ ç 22.68. âàã­

§¢ãç¨â ­ ­®â¥ \¤®" ¯¥à¢®© ®ªâ ¢ë. ªá¨¬ «ì-

­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ â®ç¥ª áâàã­ë ®â ¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï à ¢­® umax = 2 ¬¬. ©â¨ ¬ ªá¨¬ «ì­ãî ᪮à®áâì ¨ ã᪮७¨¥ â®ç¥ª áâàã­ë.

500

« ¢ 22. ®«­®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë

¥è¥­¨¥. ª®­ ª®«¥¡ ­¨ï áâàã­ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [áà. (22.53)]:

 

 

 

u(x t) = umax sin !t sin kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22.59)

®âªã¤ ­ 室¨¬ ᪮à®áâì ¨ ã᪮७¨¥ â®ç¥ª áâàã­ë:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x t)

=

! umax cos !t sin kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x t)

=

;!2 umax sin !t sin kx:

 

 

 

 

 

 

 

(22.60)

® ãá«®¢¨î ! = 2 3

= 1645:6 æ (á¬. § ¤ çã 22.67.).

ªá¨¬ «ì­ë¥

§­ 祭¨ï ᪮à®á⨠¨ ã᪮७¨ï à ¢­ë:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;3

 

 

¬

 

á

 

 

 

 

 

 

umax

=

! umax = 1645:6

2

10 = 3:3

=

 

 

 

 

 

 

 

 

¬

 

á2

 

 

umax

=

!

2

umax

= (1645:6)

2

2 10

;3

= 5416

=

:

(22.61)

 

 

 

 

 

«®¦¥­¨¥ £ ମ­¨ª

ëè¥ ¬ë 㦥 § ­¨¬ «¨áì á«®¦¥­¨¥¬ ª®«¥¡ ­¨©, ¨ ⥯¥àì ­ ¬ ¯à¥¤á⮨⠯த¥« âì â® ¦¥ á ¬®¥, ­® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ ª®«¥¡«î饩áï áâàã­ë.

¢¨¦¥­¨¥ áâàã­ë ¯à¨ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¨ ®á­®¢­®© (¯¥à¢®©) £ ମ­¨ª¨, ¯®-

ª § ­® ­ à¨á. 22.5,a). ­ ç «ì­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨ («¨­¨ï ®â¬¥ç¥­ ç¥à- ­ë¬¨ âà¥ã£®«ì­¨ª ¬¨) â®çª¨ áâàã­ë ¨¬¥îâ ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®âª«®­¥­¨¥

®â ¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï. ®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë ã¯à㣮á⨠®­¨ ­ 稭 îâ

¤¢¨£ âìáï (­ à¨áã­ª¥ | ¢¥à⨪ «ì­® ¢­¨§), ¨ ä®à¬ áâàã­ë ç¥à¥§ 1/8 ¯¥à¨®¤ ¯®ª § ­ «¨­¨¥© ᮠᢥâ«ë¬¨ âà¥ã£®«ì­¨ª ¬¨. ¥à¥§ ç¥â¢¥àâì

¯¥à¨®¤ áâàã­ ¯à¨å®¤¨â ¢ ¯®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï («¨­¨ï á ªà㦪 ¬¨), ­® ¥¥ í«¥¬¥­âë ¨¬¥îâ ­¥ª®â®àë¥ áª®à®áâ¨, ¨ ¯®â®¬ã ¢ ¯®«®¦¥­¨¨ à ¢-

­®¢¥á¨ï ­¥ § ¤¥à¦¨¢ îâáï. é¥ ç¥à¥§ 1/16 ¯¥à¨®¤ ®­¨ ®ª §ë¢ îâáï ¢ ¯®«®¦¥­¨¨, ¯®ª § ­­®¬ «¨­¨¥© ᮠᢥâ«ë¬¨ ª¢ ¤à ⨪ ¬¨, ç¥à¥§ ¯®«®-

¢¨­ã ¯¥à¨®¤ áâàã­ á­®¢ ¯à¨®¡à¥â ¥â ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ («¨­¨ï

á ç¥à­ë¬¨ ª¢ ¤à ⨪ ¬¨), ­® ¢ ¤àã£ãî áâ®à®­ã, ¯®á«¥ 祣® ¯à®æ¥áá ¯®- ¢â®àï¥âáï ¢ ®¡à â­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨. ª ¯à®¨á室¨â ª®«¥¡ ­¨¥ ¢ áâ®ï祩

¢®«­¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯¥à¢®© £ ମ­¨ª¥, ç áâ®âã ª®â®à®© ¬ë ®¡®§­ -

ç ¥¬ 1.

® ­ áâàã­¥, ª ª ¬ë 㦥 §­ ¥¬, ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì ª®«¥¡ ­¨ï ¨ ¤à㣨å

£ ମ­¨ª. â®à ï £ ମ­¨ª ¯®ª § ­ ­ ⮬ ¦¥ à¨á. 22.5,b). ᯮ«ì- §®¢ ­¨¥ â¥å ¦¥ ®¡®§­ 祭¨© ¯®§¢®«ï¥â ­¥ ®¯¨áë¢ âì ¯à®æ¥áá ª®«¥¡ ­¨©

áâ®«ì ¦¥ ¤¥â «ì­®. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥âáï ®¤­ ­¥¯®¤¢¨¦- ­ ï â®çª (¥¥ ­ §ë¢ îâ \ã§«®¬") ¢ á¥à¥¤¨­¥ áâàã­ë. ®áª®«ìªã ã§¥« ¢á¥

Соседние файлы в предмете Математический анализ