2. Прореживание и интерполяция сигнала.

Прореживание. Данная операция называется понижением частоты дискретизации, а выполняющий ее блок на структурных схемах обозначается символом, показанным на рисунке 1. Однако одного только блока понижения частоты дискретизации оказывается недостаточно – для предупреждения возможных побочных эффектов следует принять некоторые меры.

Рис. 1. Понижение частоты дискретизации.

Дело в том, что процесс прореживания по сути сводится к дискретизации искретного сигнала. При этом имеет место эффект появления ложных частот.

Таким образом, если в спектре исходного прореживаемого сигнала содержатся частоты, превышающие половину новой частоты входного дискретизации, это приведет к появлению в спектре выходного сигнала ложных частот.

Для устранения этого нежелательного эффекта следует, как и при дискретизации аналогового сигнала, предварительно пропустить сигнал через ФНЧ с частотой, равной новой частоте Найквеста.

Интерполяция. При интерполяции нам необходимо повысить частоту дискретизации в N раз, т.е. «растянуть» входной сигнал, а образовавшиеся промежутки между отсчетами чем-то заполнить.

Подобно тому, как прореживание сводится к дискретизации дискретного сигнала, процесс интерполяции оказывается подобным процессу восстановления непрерывного сигнала, только происходящему в дискретной области.

Исходный сигнал имеет периодический спектр, повторяющийся с частотой дискретизации Fд . Прежде всего мы «растягиваем» этот сигнал, добавляя между отсчетами N-1 нулей. Эта операция называется повышением частоты дискретизации. Блок, выполняющий ее показан на рисунке 2.

После вставки нулей, частота дискретизации сигнала станет равна NFд, но повторение спектра окажется прежним. Теперь необходимо пропустить полученный сигнал через ФНЧ с частотой среза равной Fд/2. В результате фильтрации получится интерполированный сигнал, частота дискретизации которого равна NFд, а спектр в полосе частот от нуля до Fд/2 остался прежним.

Рис. 2. Повышение частоты дискретизации в два раза.

Для сохранения фазовых соотношений во входном сигнале следует использовать нерекурсивный фильтр с линейной ФЧХ. Поскольку в линии задержки фильтра в каждый момент содержится большее количество нулевых отсчетов и положения этих отсчетов на каждом шаге заранее известны, при реализации алгоритма можно сэкономить время вычислений, игнорируя арифметические операции с этими отсчетами.

3. Фильтры интерполяции.

Задача выбора необходимого частотного образа решается при помощи цифрового фильтра. Такой фильтр называется интерполирующим. Именно этот фильтр вычисляет значения сигнала в точках между первоначальными отсчетами сигнала.

Рассмотрим пример первоначального представления сигнала во временной области. Пример временной реализации сигнала приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример временной реализации сигнала

На данном рисунке отсчеты сигнала обозначены кружочками, а для того чтобы легче было видеть форму сигнала, они соединены прямыми линиями. При интерполяции сигнала требуется увеличить количество его отсчетов в единицу времени. Новые отсчеты сигнала заполняются нулевыми значениями, как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Сигнал на входе интерполирующего фильтра

Спектр этого же сигнала приведен на рисунке 3. На графике четко виден повторяющийся характер спектра. Теперь для того, чтобы осуществить интерполяцию сигнала необходимо подавить нежелательные спектральные компоненты сигнала.

Рисунок 3. Спектр сигнала, приведенного на рисунке 2

Подавим все высокочастотные составляющие спектра сигнала при помощи цифрового фильтра. Для этого зададимся уровнем подавления этих составляющих спектра –75 дБ. Такие параметры можно реализовать цифровым фильтром со 128 отводами. Получившаяся амплитудно-частотная характеристика интерполирующего КИХ-фильтра, структурная схема которого рассматривалась нами ранее (рисунок 2), c шестнадцатиразрядными коэффициентами приведена на рисунке 4.

Рисунок 4. Амплитудно-частотная характеристика интерполирующего фильтра

В полосе пропускания такой фильтр обеспечивает неравномерность коэффициента передачи на уровне 0,001 дБ. Таким образом, учитывая, что фильтр с конечной импульсной характеристикой обладает линейной фазовой характеристикой, он практически не вносит искажений в исходный сигнал.

При прохождении через разработанный фильтр сигнал принимает вид, приведенный на рисунке 5. Сигнал на выходе фильтра будет задержан на групповое время задержки фильтра. Для КИХ-фильтра это время равно тактовой частоте умноженной на половину количества отводов фильтра.

На рисунке 5 приведено 128 временных отсчетов сигнала. Они практически сливаются друг с другом, поэтому отдельные отсчеты не выделяются кружочками, как это было сделано на рисунке 1. Как видно из приведенного на рисунке графика сигнал на выходе фильтра практически не отличается от исходного (существовавшего до дискретизации) сигнала.

Рисунок 5. Сигнал на выходе интерполирующего фильтра

Так как реальный фильтр всегда имеет конечную крутизну ската своей амплитудно-частотной характеристики, то полоса частот сигнала, подлежащего интерполяции всегда должна быть меньше половины частоты дискретизации. Только в этом случае интерполяция сигнала может быть выполнена без искажений.

Теперь рассмотрим, как будет выглядеть этот же сигнал, если выделить первый образ исходного сигнала. Получившийся сигнал приведен на рисунке 6. Так как в этом случае номера отсчетов сигнала не нормированы относительно начала координат, то на этом же рисунке приведен низкочастотный образ сигнала.

Рисунок 6. Сигнал на выходе интерполирующего фильтра

На рисунке отчетливо видно, что исходные значения сигнала совпадают как в низкочастотном, так и в первом образе сигнала. В момент пересечения нулевого значения фаза несущей частоты первого образа меняет свой знак. Точно так же вели бы себя и второй и третий образ сигнала. Отличие заключается только в значении несущей частоты.

Применение для формирования несущей частоты высокочастотных образов первоначального сигнала неудобно, так как в этом случае можно реализовать всего несколько фиксированных частот. Намного удобнее для переноса спектра исходного сигнала на несущую частоту использовать схему квадратурного модулятора, приведенную на рисунке 7. Эта схема позволяет переносить спектр исходного сигнала на любую частоту, не превышающую половину частоты дискретизации.

Интерполяция обычно производится в несколько этапов. Первые два этапа обычно обеспечивают увеличение скорости отсчетов сигнала в два раза каждый. Это связано с тем, что первоначально почти вся полоса частот от 0 до fд/2 занята полезным сигналом, т.е. полезный сигнал и его высокочастотные образы находятся близко друг от друга. В результате от интерполирующего фильтра требуется высокая крутизна ската амплитудно-частотной характеристики и для его реализации требуется большое количество отводов и коэффициентов.

После выполнения этих первых двух этапов интерполяции полезный сигнал занимает только 25% полосы частот. В результате требования к избирательности фильтра уменьшаются, а значит, последующий интерполирующий фильтр может обеспечить больший коэффициент интерполяции.

Вывод о проделанной работе: Интерполирующие фильтры по сути выполняют сглаживание входного сигнала, т. о. любой нерекурсивный фильтр может считаться в определенной степени интерполирующим.

Список литературы

1. Р.В. Хэмминг. Цифровые фильтры. Сов. Радио, 1980. – 224 с.

2. Р. Блейхут. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Москва, «Мир», 1989 -448 с.

14