§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите

В потребительском кредите проценты, как правило, начис­ляются на всю сумму кредита и присоединяются к основ­ному долгу уже в момент открытия кредита (flat rate of interest, add-on interest). Условие, прямо скажем, весьма жесткое для должника.

Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Из сказанного следует, что наращенная сумма долга равна

5= Р(\ + ш), а величина разового погасительного платежа составит

/? = "£-, (2.10)

пт

где п — срок кредита в годах, т — число платежей в году.

В связи с тем что проценты здесь начисляются на первона­чальную сумму долга, а его фактическая величина систематиче­ски уменьшается во времени, действительная стоимость креди­та заметно превышает договорную процентную ставку. Подроб­нее об этом см. гл. 9, в которой, кроме того, обсуждается про­блема разбиения платежей на проценты и суммы погашения ос­новного долга. Необходимость в таком разбиении возникает при досрочном погашении задолженности.

ПРИМЕР 2.8. Кредит для покупки товара на сумму 1млн руб. от­крыт на три года, процентная ставка — 15% годовых, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами

S = 1(1 + 3 х 0,15) = 1,45 млн руб.

Ежемесячные платежи:

1450 Я = ₃'^₂ = 40,278 тыс. руб.

30

§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, об­ратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо опреде­лить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возник­нуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, напри­мер, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широ­ком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостно­го показателя к некоторому, обычно начальному, моменту вре­мени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, назы­вают современной стоимостью, или современной величиной (pre­sent value), будущего платежа S, а иногда — текущей, или капи­тализированной, стоимостью. Современная величина суммы де­нег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учиты­вать такой фактор, как время. Как будет показано далее, боль­шинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дискон­тирование представляет собой решение задачи, обратной нара­щению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае

31

формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при ус­ловии, что на долг начисляются проценты по ставке /? Решив (2.1) относительно Р, находим

'-ТТы- ⁽²">

Напомним, что п = t/K — срок ссуды в годах.

Установленная таким путем величина Р является современ­ной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю состав­ляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

ПРИМЕР 2.9. Через 180 дней после подписания договора долж­ник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно (2.11) находим

р ₌ 310000 ₌ 287328,59 руб.

Разность S — Р можно рассматривать не только как процен­ты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до на­ступления срока платежа (date of maturity) по векселю или ино­му платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. поку­пает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его уче­та имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объ­еме, однако ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерче­ский, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уп­лате в конце срока (maturity value). При этом применяется учет­ная ставка d.

32

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Snd; ес­ли d — годовая учетная ставка, то п измеряется в годах. Таким образом,

Р= S- Snd= S(l - nd), (2,12)

где п — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 — nd). Из формулы (2.12) вытекает, что при п > \/d величина дисконтного множи­теля и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что ли­шено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок до­статочен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляет­ся при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

ПРИМЕР 2.10. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сум­ма (без уплаты комиссионных) равна

Р = 1000000(1 - -^Цг 0,2) = 969444,4 руб.

Дисконт составит 30555,6 руб.

Дополним условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов / = 20,5% го­довых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: опре­делить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной фор­муле

Р" = Р(1 + л/)(1 -n'd),

где п — общий срок обязательства, п' — срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

Р" = 1 000 000(1 + -^=£- 0,205)(1 - -^г 0,2) = 1 035 690 руб. Зои Зои

33

Разумеется, дисконт, как скидка с конечной суммы долга, необязательно определяется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока. Однако, размер ставки неявно всегда имеется ввиду.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, кото­рую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма дол­га. Наращенная сумма в этом случае

Множитель наращения здесь равен 1/(1 — nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при п> \/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современ­ная величина платежа больше нуля.

ПРИМЕР 2.11. По данным примера 2.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учет­ной ставке d = 18%:

S = 1 000 000 — = 1148105,62 руб.

1 -Ц|0,18 360