1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

S = 1 000 000(1 + -fif-0,18) = 1 127 233 руб. 365

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):

S = 1 000 000(1 + -||^-0.18) = 1 129 000 руб. ооО

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу­ ды (360/360):

25*5 S = 1 000 000(1 + —Ц-0,18) = 1 127 500 руб.

Если общий срок ссуды захватывает два смежных календар­ных года и есть необходимость в делении суммы процентов ме­жду ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:

/ = /j + /₂ = Pn_xi + Pn₂i,

здесь tij и п₂ — части срока ссуды, приходящиеся на каждый ка­лендарный год.

23

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда пред­усматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S = Р[\ + л,/, + л₂/₂+-.+*«'«) - W^{1 +} 2 "'Ч' <²-³>

где /, — ставка простых процентов в периоде /, n_t — продолжи­тельность периода с постоянной ставкой, п = Z /?,.

ПРИМЕР 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок на­числения процентов: первый год — 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

1 + 2п^ = 1 + 1 х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 +

+ 0,5 х0,19 = 1,43.

Начисление процентов при изменении сумм депозита во време­ни. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на кото­рую начисляются проценты, изменяет свою величину во време­ни (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае

/ = 2 Л/1/, (2.4)

где Rj — остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, /?. — срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следу­ющий способ, основанный на преобразовании (2.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины ос­татка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процен­тах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим

/- уяп.1ш2*&:*-. (2.5)

у ^{J J} loo i ^к '

24

Как и прежде К означает число дней в году, a tj — срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину ЛRjt_} /100 называют процентным числом (interest number), а делитель — процентным (или постоянным) делителем (interest divisor).

ПРИМЕР 2.4. Движение средств на счете характеризуется следую­щими данными: 05.02 поступило 12 млн руб., 10.07 снято 4 млн руб. и 20.10 поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.

Процентный делитель составит 365 : 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.

Дата	Движение средств	Остаток {Rj)	Срок Ц)	Процентное число
05.02	12	12	155	18,6
10.07	-4	8	102	8,16
20.10	8	16	72	11,52
31.12	—	16	—	—-
Итого				38,28

Сумма процентов за весь срок равна ₉Т77я ⁼¹*®®® ^{млн ру}^'

Реинвестирование по простым ставкам. В практике при инве­стировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибега­ют к неоднократному последовательному повторению нараще­ния по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или пере­менной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

5= (1 + Vi)0 + *₂У-0 + *А)-. <²-^б>

где i_t — размер ставок, по которым производится реинвестиро­вание.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменя­ются во времени, то вместо (2.6) имеем

5= F\\ + *,)«, где т — количество повторений реинвестирования.

(2.7)

25

ПРИМЕР 2.5. 100 млн руб. положены 1-го марта на месячный де­позит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если опера­ция повторяется 3 раза?

Если начислять точные проценты (365/365), то

q-i па о*

^{5 = 100(1+}Ж⁰'^{2И1 +} збГ⁰'²⁾⁽¹⁺^°'^{2) =}

= 105,013 млн руб.

Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинве-стированиии дает

30 S = 100(1 + -z~r0,2)³ = 105,084 млн руб.