1. Незатухающие гармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих (подобные упругим) сил, описываемых законом Гука:

,

где F – сила упругости;

х – смещение;

k – коэффициент упругости или жесткости.

Согласно ІІ закону Ньютона , где а – ускорение, а = .

1

Разделим уравнение (1) на массу m и введем обозначение , получим уравнение в виде:

2

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или .

Характеристики незатухающих гармонических колебаний:

х – смещение; А – амплитуда; Т – период; – частота;  – циклическая частота, – скорость; – ускорение, – фаза; ₀ – начальная фаза, Е – полная энергия.

Формулы:

–число колебаний, – время, за которое совершается N колебаний;

, ; или ;

или ;

–фаза незатухающих гармонических колебаний;

–полная энергия гармонических колебаний.

2. Затухающие гармонические колебания

В реальных системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы трения (сопротивления):

, – коэффициент сопротивления; – скорость.

.

Тогда ІІ закон Ньютона запишем:

(2)

Введем обозначения , , где – коэффициент затухания.

Уравнение (2) запишем в виде:

(3)

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Его решение , где

–амплитуда колебаний в начальный момент времени;

–циклическая частота затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону:

.

Рис. 11. График x=f(t)

Рис. 12. График At=f(t)

Характеристики:

1)  – период затухающих колебаний; 2)  – частота затухающих колебаний; – собственная частота колебательной системы;

3) логарифмический декремент затухания (характеризует скорость убывания амплитуды): .

3. Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивлений уменьшение энергии колеблющейся системы. Такие колебания называются вынужденными.

Закон изменения внешней силы: , где – амплитуда внешней силы.

ІІ закон Ньютона запишем в виде

Введем обозначения .

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

.

Решение этого уравнения в установившемся режиме:

,

где

(4)

–частота вынужденных колебаний.

Из формулы (4), когда , амплитуда достигает максимального значения.

Это явление называется резонансом.

5. Биофизика слуха. Звук. Ультразвук.

Волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: S = f (x ;t).

"0"

x

x

r

Рис. 13

Если S и X направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Уравнение в точке "0" имеет вид . Фронт волны дойдет до точки "х" с запаздыванием за время .

Уравнение волны имеет вид .

Характеристики волны:

S – смещение, А – амплитуда, – частота, Т – период, – циклическая частота, – скорость.

–фаза волны, – длина волны.

Длиной волны называется расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на .

Фронт волны – совокупность точек имеющих одновременно одинаковую фазу.

Поток энергии равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого эта энергия перенесена:

, .

Интенсивность: , – площадь, .

Вектор интенсивности, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называется вектором Умова.

–плотность вещества.