Интенсивность отказов (ио)

Интенсивностью отказов называют условную плотность вероятности возникновения отказа изделия при условии, что к моменту t отказ не возник:

λ(t) = f(t)/p(t) = - 1/p(t)*dp(t)/dt

. (7)

Функции f(t) и l (t) измеряются в ч^-1.

Интегрируя (7) получим:

p(t) =exp[-∫λ(t)dt]

. (8)

Это выражение, называемое основным законом надежности, позволяет установить временное изменение вероятности безотказной работы при любом характере изменения интенсивности отказов во времени.

Статистическая оценка ИО определяется отношением числа объектов 

λ(t) = n(∆t)/N_cp∆t

n(t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению

среднего числа изделий, исправно работающих в данном интервале времени на длительность этого интервала наработки t, где N_ср (t) =( N_i+ N_i+1)/2 - среднее число изделий, исправно работающих в интервале ∆t ; N_ί ; N_{ί + 1} – соответственно число изделий, исправно работающих в начале и конце интервала ∆t, N_ί > N_{ί + 1}

Сравнивая (5) и (9) можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки Δ t, т. к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки Δt.

ВБР - P(t) и интенсивность отказов-  (t) связаны между собой выражением  

(10)

Из этой связи ясно видно, что по аналитически заданной функции  (t) легко определить P(t) и Т₁:

(11)

Возможные виды изменения ИО (t) приведены на рис. 3.

 

Рис. 3

λ(t) – можно определить также как отношение частоты отказов к ВБР

λ(t) = α(t) / Р(t) = - Р¹(t) ) / Р(t)

Средняя наработка до отказа

 

Рассмотренные выше функциональные показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) полностью описывают случайную величину наработки T = {t}. В то же время для решения ряда практических задач надежности бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа.

Статистическая оценка средней наработки до отказа

 

(12)

 

где t_i – наработка до отказа i-го объекта.

Для определения Т₀ необходимо знать время безотказной работы всех испытуемых изделий N. Иногда это не представляется возможным и поэтому пользоваться приведенной формулой не удобно. Имея данные о количестве вышедших из строя изделий n_ì в каждом i – м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа можно определить из выражения

Т₀ =(∑nt_cpi)/N₀

где m – количество интервалов длительностью ∆t. Значения t_СРi и m находятся следующим образом

t_СРi = (t _{ì –1} + t _ì ) / 2 m = t_К / ∆t

где t _{ì –1;} t _ì – время начала и конца ì – го интервала; t_К – время, в течение которого вышли из строя все изделия; ∆t = t _{ì –1} - t _ì - интервал времени.

Средняя наработка на отказ

Этот показатель относится к восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и продолжает работу до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений - поток восстановлений.

Средняя наработка на отказ объекта (наработка на отказ) определяется как отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов, происшедших за суммарную наработку:

t_СР =(∑t_i)/r (13)

где r – число отказов изделия за время t; t _ì – время исправной работы его между (i –1) – м и i – м отказами. При λ = const t_СР равна средней наработке до первого отказа Т_СР.

При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины T и определяется:

 

(13)

 

Используя выражение для плотности распределения отказов

 

 

и  интегрирование по частям, можно преобразовать (13) к виду

 

(14)

 

с учетом того, что P(0) = 1, P() = 0.