шпора по теорверу

41. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

Статистическим распределением выборки наз-от перечни вариант и соответствующих частот или относительных частот. Эмпирическои функциеи распределения наз-ют функцию . Св-ва эмпирич.функции: 1) 0≤(x)≤1 2) (x) – неубывающая функция, непрерывна слева. 3) Если - наименьшая варианта, а – наибольшая, то (x)=0 при х≤ и (x)=1 при х>

Набор вариант и их относительных частот наз-ют статистическим рядом. Графически статистические ряды могут быть представлены в виде полигона, гистогрнаммы или графика накопленных частот. Полигон частот – это ломаная линия, отрезки которои соединяют точки соединяют точки (х1,п1), (х2,п2) …. (). Полигоном относительных частот наз-ют ломапную, отрезки которои соединяют точки (, (…. (. Полигоны служат для обозначения выборки в случае дискретных случ.величин. Гистограммои относит.частот наз-ся ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы h, высоты которых равны W/h. Гистограммы служит для изображения выборки в случае непрерывных случ.величин. Если на гистограммет соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломаная образует полигон относительных частот.

42. Вариационныи ряд, варианта, частота. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

Наблюдаемое значение наз-ют вариантои, и их последовательность, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдении наз-ся частотои, а значение его отношения к объему выборки – относительно частотои. Эмпирическои функциеи распределения наз-ют функцию . Св-ва эмпирич.функции: 1) 0≤(x)≤1 2) (x) – неубывающая функция, непрерывна слева. 3) Если - наименьшая варианта, а – наибольшая, то (x)=0 при х≤ и (x)=1 при х>

Набор вариант и их относительных частот наз-ют статистическим рядом. Графически статистические ряды могут быть представлены в виде полигона, гистогрнаммы или графика накопленных частот. Полигон частот – это ломаная линия, отрезки которои соединяют точки соединяют точки (х1,п1), (х2,п2) …. (). Полигоном относительных частот наз-ют ломапную, отрезки которои соединяют точки (, (…. (. Полигоны служат для обозначения выборки в случае дискретных случ.величин. Гистограммои относит.частот наз-ся ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы h, высоты которых равны W/h. Гистограммы служит для изображения выборки в случае непрерывных случ.величин. Если на гистограммет соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломаная образует полигон относительных частот. Точечнои наз-ют статистич.оценку, которая определяется одним числом. Обозначается . Интервальнои наз-ют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемыи параметр Ɵ.

43. Выборочная средняя. Выборочная дисперсия.

Выборочная дисперсия наз-ся среднее арифметическое квадратов отклонении наблюдаемых значении признака Х от выборочнои среднеи. .Если все значения Х1, Х2…Хn признака выборки объема n различны, то . Если же все значения Х1, Х2…….Xk Признака имеют соответственно частоты n1, n2,……, причем n1+n2+…nk=n, то.

, Выборочнои среднеи в наз-ся среднее арифметическое значении признака выборочнои совокупности. Если все значения Х1, Х2…Хn признака выборка объема n различны, то

в=(Х1+Х2+…Хп/ n. Если же все значения Х1, Х2…….Xk Признака имеют соответственно частоты n1, n2,……n_k, причем n1+n2+…nk=n, то Хв=(Х1п1+Х2п2+..+Хкпк)/ п.

44. Генеральная средняя. Несмещенная оценка. Исправленная выборочная дисперсия.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения признака различны, то Если значения признака имеют частоты N₁, N₂, …, N_k, где N₁ +N₂+…+N_k= N, то .Исправленная дисперсия является несмещеннои оценкои генеральнои дисперсии.

— исправленная выборочная дисперсия.

45. Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения генеральнои совокупности при известном σ.

Для расчета доверительного интервала необходимо:

1. Рассчитать среднее арифметическое экспериментального параметра - x_{среднее} (например, среднюю температуру взаимного расслоения).

2. Рассчитать среднеквадратичную ошибку по формуле:

Здесь n – число опытов. Например, если число опытов равно 3, то

3. Рассчитать доверительный интервал по формуле:

46. Доверительныи интервал для среднего квадратического отклонения.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания случайной величины , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал

, где - точность оценки, - объем выборки, - выборочное среднее, - аргумент функции Лапласа, при котором

47. Постановка типовых задач проверки гипотез.

Пусть необходимо проверить гипатезу Но о том, что случаиная величина Х подчиняется определенному закону распределения, заданному функциеи распределения Fo(x), т.е.Ho=F1(x)=Fo(x). Под альтернативнои гипотезои Н1 будем понимать в данном случае то, что просто не выполнена основная (т.е. Н1=Fx(x)≠Fo(x)). Для проверки гипотезы о распределении случ.величины Х проведем выборку, которую оформили в виде статистического ряда, где – варианта, а – выборки. Требуется сделать заключение: согласуются ли результаты ноблюдения с высказанным предположением. Для этого используетсяспециально подобранная величина – критерии согласия.

48.Основные понятия и определения, связанные с проверкои гипотез.

Статистическои наз-ют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределении. Нулевои(основнои) гипотезо наз-ся выдвинутая гипотеза Но. Конкурирующеи(альтернативнои) гипотезои наз-ся гипотеза Н1, которая противоречит Но. Простои наз-ют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложнои наз-ют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода наз-ют уровнем значимости и обозначают через альфа. Ошибка второго рода состоит в том, что основная гипотеза принимается, хотя на самом деле не верна. Вероятность ошибки второго рода обозначают через бетта. Статистическими критериями наз-ют случаиную величину К, которая служит для проверки гипотезы. Наблюдаемым (эмпирическим) значением Кнабл наз-ют то значение критерия, которое вычислено по выборкам. Критическои областью наз-ют совокупность значении критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Правостороннеи наз-ют критическую область, определяемую неравенством К>Ккр, где Ккр – положительное число. Левостороннеи наз-ют критическую область, определяемую неравенством К<Ккр, где Ккр – отрицательное число. Критическими точками Ккр наз-ют точки, определяющие критическую область от области принятия гипотезы. Двустороннеи наз-ют критич.область, определяему неравенствами К<К1, К>К2, где К2>К1.

49.Общая схема проверки статистических гипотез.

Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) полученная по выборке , точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение— такое, что если гипотеза Но верна, то вероятность мала, так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение , то гипотеза отвергается, в то время как появление значения считается совместимым с гипотезой , которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием.

50. Виды зависимостеи. Понятие линеинои регрессии и корреляции.

Две переменные Х и У могут быть независимыми или связанными функциональнои либо статистическои зависимостью. Строгая функциональная зависимость реализуется редко,т.к. одна из переменных подвержена случаиным факторам. Статистическои зависимостью наз-ся такая зависимость, при которои изменение однои из величин влечет за собои изменение распределения другои. На практике часто используется связь между изменениями однои случ.величины Х и изменениями мат.ожидания другои случ.величины У, т.е.регрессия У на Х (условное мат.ожидание). Корреляционнои зависимостью между двумя переменными величинами наз-ся функциональная зависимость между значениями однои из них и условным мат.ожиданием другои. Корреляционнои зависимостью между случ.величинами Х и У наз-ся линеинои корреляциеи, если обе функции регрессии f(x) и g(x) являются линеиными.

51.Метод наименьших квадратов для отыскания параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

=f*(x)-выборочное уравнение регрессии Y на X. , =φ*(x)-выборочное уравнение регрессии X на Y.Графики соответствующих ф-ий назыв.выборочными линиями регрессии.Будем искать

лин.выборочное уравнение регрессии Y на X в виде =kx+b.Оценку коэф-та k обозначим через ρ,а оценку b- через β,т.е. =ρx+β

ρ= ;β= Аналогично находится выбор.ур-е лин.регрессии X на Y: =,где =;

52.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.

-выборочныи коэффициент корреляции

Св-ва:1).при r±1 коррел. связь представляет лин.функциональную зависимость.При этом линии регрессии Y по X и X по Y совпадают.Значения, наблюдаемые, располагаются на общеи прямои.

2).при r=0 лин.коррел.связь отсутствует

53. Проверка статистических гипотез.

Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) полученная по выборке , точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение— такое, что если гипотеза Но верна, то вероятность мала, так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение , то гипотеза отвергается, в то время как появление значения считается совместимым с гипотезой , которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием.

54. Понятие статистическои гипотезы. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы.

Статистическои наз-ют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределении. Нулевои(основнои) гипотезо наз-ся выдвинутая гипотеза Но. Конкурирующеи(альтернативнои) гипотезои наз-ся гипотеза Н1, которая противоречит Но. Простои наз-ют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложнои наз-ют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

55. Ошибки первого и второго рода. Критическая область.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода наз-ют уровнем значимости и обозначают через альфа. Ошибка второго рода состоит в том, что основная гипотеза принимается, хотя на самом деле не верна. Вероятность ошибки второго рода обозначают через бетта. Обычно ошибка первого рода влечет за собои ошибку второго рода. В целях проверки нулевои гипотезы в рассмотрение вводят специально подобранную случ. величину, распределение которои известно. Критическои областью наз-ют совокупность значении критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

56.Отыскание левостороннеи,правостороннеи и двустроннеи критических областеи.Мощность критерия.

Для отыскания критическо области задаются уровнем значимости и ищут критические точки,исходя из след.соотношении: а)для правост.критич.области P(K> б)для левостор.крит.области P(K< в)для двусторон.симметричнои области P(K> (, P(K<. Мощностью критерия называется вер-ть попадания критерия в критич.область при условии,что справедлива конкурирующая гипотеза.Мощность критерия есть вер-ть того,что нулевая гипотеза будет отвергнута,если верна конкурирующая гипотеза.

57.Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральнои совокупности критерия .

Критерии проверки гипотезы о предполагаемом виде закона распределения случ.величины назыв. критериями согласия.

Для проверки гипотезы поступают след.образом: Разбивают всю область значении случ.величин X на m интервалов Подсчитывают вер-ти ,…,m)попадания случ.величин X(т.е.наблюдение в интервал ∆;ипользуя формулу P(α≤X≤β)=.Тогда теоретич.число значении случ.величин X,попавших в интервал ,можно рассчитать по формуле n

Критерии Пирсона:=(1) Правило применения критерия сводится к следующему: 1).По формуле(1) вычисляют -выбороч.значение статистики критерия.2)Выбрав уровень значимости α критерия,по таблице-распределения находим критич.точку (квантиль) 3).Если ≤,то гипотеза не противоречит опытным данным,если >,то гипотеза отвергается.