1.1. Формы модели задач линейного программирования

Построение математической модели изучаемого процесса включает в себя следующие этапы:

1) выбор переменных задачи;

2) составление системы ограничений;

3) выбор целевой функции.

Переменнымизадачи называют величины,,…,, которые полностью характеризуют изучаемый процесс. Их обычно записывают в виде вектора.

Система ограниченийвключает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий.

Целевой функциейназывают функцию переменных задачи, экстремум которой требуется найти.

В общем случае задача ЛП может быть записана в виде:

, (1.1)

(1.2)

,, (1.3)

т.е. требуется найти экстремум целевой функции (1.1) и соответствующие ему значения переменных при условии, что переменные удовлетворяют системе ограничений (1.2) и условию неотрицательности (1.3).

Приведем математическую модель задачи использования ресурсов.

Для изготовления нескольких видов продукции ,,…,используютвидов ресурсов,,…,(например, различные материалы, электроэнергию и т.д.). Объём каждого вида ресурсов ограничен и известен:. Известно такжеколичество каждого-го вида ресурса, расходуемого на производство единицы-го вида продукции. Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции. Условие задачи можно представить в виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вид ресурсов	Объём ресурсов
				. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .
Прибыль				. . .

Пусть количество каждого вида продукции, которое необходимо произвести. Для первого ресурса имеет место неравенство-ограничение

.

Аналогичные неравенства будут и для остальных видов ресурсов. Следует учитывать, что все значения ,.

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции может быть представлена как функция , для которой нужно найти максимальное значение. Таким образом, математическая модель задачи использования ресурсов запишется в виде:

,

(1.4)

,.

Пример 1.1.Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3досок, а для изделия модели В – 4. Фирма может получить от своих поставщиков до 1700досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. машинного времени, а для изделия модели В – 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В – 4 дол. прибыли?

Составим математическую модель. Пусть количество выпущенных за неделю полок модели А, аколичество выпущенных за неделю полок модели В. Еженедельная прибыль выражается целевой функцией. Ограничение, наложенное на объём используемого сырья, выражается неравенством, а на количество машинного времени –. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значенияи. Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедельную прибыль.

Итак, нужно максимизировать функцию при следующей системе ограничений: