Варіант 16

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC и удаленной от вершины прямого угла на см, восставлен перпендикуляр DK к плоскости треугольника. Перпендикуляры, проведенные из точки К на катеты треугольника ABC, наклонены к плоскости треугольника под углом 45°. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника ABC до точки К.

2. В параллелограмме ABCD диагональ АС равна см. Через вершину В проведена плоскость на расстоянии 5 см от диагонали АС. Проекции сторон ВС и АВ на эту плоскость равны соответственно 12 см и 9 см. Найдите длину диагонали BD.

3. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их в точках ,В₂, В₃, другая - в точках ,C₂,C. Известно, что В₁В₂=4 см, С₂С₃=16 см, В₂В₃=С₁С₂. Найдите длины отрезков В₁В₃ и C₁C₃.

4. В треугольнике MNK МК=34 см, MN=50 см, NK=52 см. Через вершину М к плоскости треугольника проведена наклонная, проекция которой пересекает KN в точке В. Наклонная образует со сторонами MN и МК равные углы. Найдите длину MB.

5. В равнобедренном треугольнике основание и высота, проведенная к основанию, соответственно равны 48 см и 32 см. Данная точка пространства лежит на расстоянии 60 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Вычислите это расстояние.

6. Отрезки двух прямых лежат между двумя параллельными плоскостями и соответственно равны 30 см и 26 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 9:5. Вычислите расстояние между этими плоскостями.

7. Постройте и определите вид сечения прямой четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точки CВи точку К, которая лежит на ребре DC.

8. Точка М (2; 6; 3) - середина отрезка, концы которого находятся на оси Ох и в плоскости уz. Найдите координаты концов и длину отрезка.

9. Вычислите площадь параллелограмма ABCD, если известны координаты трех его вершин: А (9; 0; 2), В (6; 0; - 2); С (0; 3; 0).

10. Дан треугольник ABC. Найдите: внешний угол при вершине А, если А (2; - 2; - 3), В (4; - 2; - 1) и С (2; 2; 1).

11. Пусть О - центр правильного шестиугольника ABCDEF. Доказать: ;

12. В основании прямой призмы прямоугольник. Диагональ призмы равна d и образует с плоскостью основания угол , а диагональ одной из боковых граней наклонена к плоскости основания под углом. Вычислите объем призмы.

13. Основанием призмы . служит правильный треугольник ABC. Вершина Aпроектируется в центр нижнего основания. Доказать, что боковое ребро ААсоставляет со сторонами основания АВ и АС равные углы.

14. Определить боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды ecли сторона основания равна а, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.

15. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Определите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равноl.

16. Площади оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды 72 cми 392 см; площадь наименьшего осевого сечения 60 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

17. Найдите полную поверхность правильной треугольной пирамиды по данному ее объему V и углу между боковой гранью и плоскостью основания.

18. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна 18 см. Найти площадь основания.

19. В усеченном конусе определите площадь осевого сечения, если площади оснований равны Q и q, а боковая поверхность S.

20. В основании прямой призмы лежит прямоугольник с углом между диагональю и большей стороной. Диагональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания угол. Площадь диагонального сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы.