Типовые задачи на экзамен зима 2013-2014МатАн

2. а)

Решить дифференциальное уравнение.

1. y = 1 + y2

Решение.

dy

= 1 + y2,

dy

= dx,

dy

dx , arctg y x C y tg x C .

dx

y2

1 y2

1

общий интеграл

общее решение

2. y = xy2

dy

= xy2,

dy

= xdx,

dy

xdx

1

x2

2

Решение.

,

y

С ,

y

dx

y2

y2

2

x2 C

общий интеграл

общее решение

3. xy2y = 3x2y + y3

Решение. Это однородное ДУ. Делим обе части уравнения на xy2 , получим: y = 3

x

y

.

y

x

y

y

ДУ y = g

решается заменой

= u или y = xu.

x

x

4. 2xyy = x2 + y2

Решение. Это однородное ДУ, (n + m = 2). Делим на xy , тогда 2y =

x

y

. Пусть

y

= u

x

y

x

или y = xu, тогда 2(u + xu ) = 1/u + u или u

1 u2 1

(разделяющиеся переменные),

2u

x

2u

dx

,

2u

du

dx

получаем

du

.

1 u2

x

1 u2

x

Общий интеграл: –ln(1 – u2) = lnx + lnC = lnCx или 1 – y2/x2 = C/x.

5. y – (3/x)y = x.

Решение. Это линейное ДУ. Пусть y = uv. ДУ распадается на два:

(I) v = (3/x)v (р.п.)

dv

3

dx

,

dv

3

dx

lnv = 3lnx = lnx3 v = x3,

v

x

v

x

(II) u v = x u x3

= x (р.п.) du =

dx

, du

dx

u = –1/x + C.

x2

x2

Ответ: y = uv = x3(C – 1/x).

6. y + y = ex.

Решение. Линейное ДУ. Пусть y = uv.

(I) v = –v (р.п.)

dv

dx ,

dv

dx

, lnv = –x, v = e–x,

v

v

(II) u v = ex u e–x = ex (р.п.) du = e2xdx, du e2 x dx , u = ½e2x + C.

Ответ: y = uv = e–x(½e2x + C).

7. y – 5y + 6y = 0.

Решение: k2 – 5k + 6 = 0 k1 = 2, k2 = 3, y0 = C1 e2 x

+ C1 e3x .

8. y + 2y + y = 0.

Решение: k2 + 2k + 1 = 0 k1 = k2

= –1, y0 = e x [C1 + C2x].

9. y – 4y + 5y = 0.

Решение: k2 – 4k + 5 = 0 k1, 2 = 2

i , y0 = e2 x [C1cosx + C2sinx].

2. б)

Исследовать ряды на сходимость.

1.

5n

n 1 (3n

1)!

Решение. Используем признак Даламбера: un

5n

; un 1

5n 1

при

n ,

(3n

1)!

(3(n 1) 1)!

lim

un 1

lim

5n 1

(3n 1)!

= lim5

5n (3n 1)!

=

5

= 0 т.к. 0 < 1

5n

u

n

n

(3n 4)!

n 5n (3n 1)!(3n 2)(3n 3)(3n

4)

ряд сходится.

2.

1

n 1

5 (3n 2)6

Решение. Используем признак сравнения. Исключим в un

число 2 и получим ряд для

сравнения vn =

1

. Это гармонический ряд с = 6/5 > 1

он сходится. Знаменатель

(3n)6 / 5

vn

меньше знаменателя un , поэтому un < vn. Но, если ряд с большими членами vn

сходится, то ряд с меньшими членами un тем более сходится.

2

n

1 n 1

n2

1

n

n 2

n 3

n

1

3.

,

,

ln

1

,

,

,

n(n

6

n

n

2

n 5

n 1

5)(n

4)

n 1 10

n 1

n

n 1

4

n

n 1

n

1 n 2n

1 n

,

.

n 1

n

n 1 2n 1

3

Разложить функцию в ряд по степеням x .

4.

y

sin 2x

,

y cos2

4x ,

y

4

,

y ln

1 3x 18x2

.

x

x2

4x 12

z

dz

z

dz

1. z = x3 + 4x2y – y3. Решение.

x

[

]y const = 3x2 + 8yx –

0,

y

[

]x const

= 0 + 4x2 - 3 y2.

dx

dy

2. z = ln (x2 + y2).

z

dz

2x 0

z

dz

0 2 y

Решение.

x [

]y const =

,

[

]x const =

dx

x2 y2

y

dy

x2 y2

3. z = ( x3 - 2y4)3 .

Решение. Общая формула ( un )` = nun -1 u`

z

dz

z

dz

x

[

]y const = 3( x3 - 2y4)2 (3x2 – 0) ,

y

[

]x const =3( x3 - 2y4)2 (0 – 8y3).

dx

dy

z

y

4.

1 4x2 10 y3 ; 5. z sin2 (8x 2y) ; 6.

z esin x tgy ; 7. z =

x

8.

z cos x2 4 y , y ln x , найти zx' , 9. z ln x2 4 y , x t4 , y t 1, найти zt' .

10. ez

cos x2 y xyz 0 , найти частные производные zx' , z'y .

2. г)

Вычислить двойной интеграл.

1.

x2 ydxdy , где

D : y = x2 + 1 , x = 1 , x = 0 , y = 0 .

D

(3x2 y2 4x3 y3 )dxdy , где D : y = x2 , y = -

2.

x , x = 1 .

D

3.

(x y2 )dxdy ,

где D : y = x3, y = 3, x = 0.

D

4.

2 ydxdy , где

D : y = x2 , y = 2 – x2 , x 0 .

D

, где D : x2 + y2 = 2x .

5.

x2 y 2 dxdy

D

6.

D

y

dxdy ,

где D : x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 9 .

x2

y2

Поменять порядок интегрирования.

7.

0 dx 2 x f (x, y)dy .

1

x

4

2 x

8.

0 dx x2 / 2

f (x, y)dy .

9.

0 dy 02

1

f (x, y)dx .

1

y

10. e dx 1

f (x, y)dy .

1

ln x