Конспект

41

ведения измеряемой величины в процессе измерений, по условиям выполнения измерений.

По форме количественного выражения погрешности делят на абсо-

лютные, относительные и приведенные.

Абсолютная погрешность определяется формулой (2.1) и выражается в единицах измеряемой величины. Она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. К абсолютной погрешности относится предельная погрешность.

Одна и та же абсолютная погрешность (например, х = 1 мм) в одних случаях соответствует высокой точности (например, при х = 100 мм), а в других – низкой (например, при х = 1 мм). Поэтому для более объективной характеристики точности используют понятие относительной погрешности.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

При x const значение x уменьшается с ростом xи .

Мерой точности служит показатель точности, обратный модулю относительной погрешности: Kx 1 x .

Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешностиx к некоторому нормирующему значению xN , за которое часто принимают

конечное значение шкалы прибора, или разность между верхним и нижним пределами шкалы прибора:

Приведенная погрешность используется для характеристики СИ.

По характеру проявления погрешности делят на случайные, систематические, прогрессирующие (дрейфовые) и грубые (промахи).

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ в одних и тех же условиях. Их отличительный признак – они могут быть предсказаны, обнаружены и устранены путем введения соответствующей поправки. Основной способ уменьшения систематической погрешности – применение более точных средств измерений.

Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом по значению и знаку при повторных изме-

42

рениях одного и того же размера ФВ, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях.

О причинах возникновения случайных погрешностей см. п. 1.4. Дополнительным способом уменьшения случайной погрешности является увеличение количества многократных измерений.

Описание и оценку случайных погрешностей производят с помощью теории случайных процессов и математической статистики.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Прогрессирующие погрешности могут быть скорректированы поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются. Их изменение во времени представляет собой нестационарный случайный процесс, поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с известными оговорками. Прогрессирующая погрешность – это понятие, специфичное для нестационарного случайного процесса изменения погрешности во времени, оно не может быть сведено к понятиям случайной и систематической погрешностей. Последние характерны лишь для стационарных случайных процессов.

Грубая погрешность (промах) 2 – это случайная погрешность результата отдельного наблюдения многократных измерений, которая в данных условиях резко отличается от остальных результатов. Причинами промахов могут быть: субъективные и объективные обстоятельства. Субъективные причины – это психофизиологическое состояние и уровень ответственности субъекта измерений. К объективным причинам относятся кратковременные изменения условий измерений (скачки напряжения и частоты электрической сети, вибрация и т.п.).

Промахи можно обнаружить только при многократных измерениях.

Обнаруженный промах должен быть исключен из серии многократных наблюдений!

Таким образом, абсолютная погрешность измерения складывается из систематической и случайной погрешностей. Поэтому абсолютная погрешность, как и результат измерения, является случайной величиной.

По причинам возникновения погрешности делят на методические, инструментальные, внешние и субъективные.

Методические погрешности возникают из-за несовершенства метода измерений, некорректности алгоритмов или формул, по которым произво-

2 О методах обнаружения промахов см. п. 2.7.

43

дятся вычисления результатов измерений, из-за влияния выбранного средства измерения на измеряемые параметры сигналов и т.д.

Методическая погрешность не указывается в документации на СИ, поскольку от него не зависит. Субъект должен всегда помнить, что он измеряет не истинное значение параметра, а то, что регистрирует датчик!

Инструментальные (аппаратурные) погрешности – погрешности применяемых СИ. Уменьшить инструментальную погрешность можно только путем замены СИ на более точный прибор!

Внешние погрешности связаны с отклонениями одной или нескольких влияющих величин от нормальных значений или выходом их за пределы нормальной области.

Субъективная (личная) погрешность измерения – погрешность от-

счета показаний по шкале СИ, диаграмме регистрирующих приборов. Погрешность обусловлена несовершенством органов чувств человека, неправильной организацией работы и рабочего места, неуравновешенной психикой оператора и др. Для снижения вероятности появления этой погрешности необходимо аналоговые СИ заменять цифровыми, а разработку СИ производить с учетом требований эргономики 3.

По характеру поведения измеряемой величины погрешности СИ де-

лят на статические и динамические.

Статические погрешности возникают при измерении установившегося во времени значения измеряемой величины.

Динамические погрешности возникают при изменениях во времени измеряемых величин (динамических измерениях). Причиной возникновения этих погрешностей является несоответствие реакции прибора на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

По условиям выполнения измерений погрешности делят на основ-

ные и дополнительные.

Основная погрешность СИ – это погрешность СИ при нормальных условиях его применения. Эту погрешность прибор имеет всегда, и потому основная погрешность – минимум, который может иметь значение погрешности прибора.

Дополнительная погрешность СИ возникает из-за отклонения от нормальных условий какой-либо из влияющих величин. Из названия следует, что дополнительная погрешность добавляется к основной погрешности СИ.

3 Эргономика (от греч. ergon – работа и nomos – закон) – наука о функциональных возможностях человека в трудовых процессах. Выявляет возможности и закономерности создания оптимальных условий для высокопроизводительного труда и обеспечения необходимых удобств, содействующих развитию способностей работника.

44

2.2. Систематические погрешности

Систематическая погрешность представляет собой разность между показанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой величины

Из формулы (2.4) следует, что если известно показание прибора xСИ и систематическая погрешность xсист , то истинное значение измеряемой ве-

личины определится так:

Пример: Термометр показывает температуру +320 оС. Систематическая погрешность этого термометра равна -5 оС (К). Каково истинное значение измеряемой температуры?

Ответ:

tи t tСИ tсист 320 ( 5) 325 oC.

В основу классификации систематических погрешностей положена за-

кономерность их поведения во времени. По этому признаку систематиче-

ские погрешности разделяют на постоянные и переменные.

Постоянными называют систематические погрешности измерения, которые остаются неизменными (сохраняют значение и знак) в течение всей серии измерений.

Переменными называют погрешности, изменяющиеся в процессе измерений.

Наличие систематической погрешности искажает результат измерений. Поэтому она должна выявляться и исключаться из результатов измерений. Результаты измерений, содержащие систематическую погрешность называют

неисправленными.

45

Лекция VII.

2.2.1.Методы обнаружения (исключения) систематических погрешностей

Постоянные систематические погрешности обнаруживают только путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с использованием более точных методов и средств измерения. В ряде случаев эти погрешности устраняют специальными методами измерений.

Метод замещения обеспечивает наиболее полную компенсацию постоянной систематической погрешности. Суть метода состоит в такой замене измеряемой величины x известной величиной А, получаемой с помощью регулируемой меры, чтобы показание измерительного прибора сохранилось неизменным. Значение измеряемой величины считывают по указателю меры.

Пример: Взвешивание на пружинных весах, у которых имеется постоянная систематическая погрешность (из-за смещения шкалы, например). Взвешивание производится в два приема. Вначале на чашу весов помещают взвешиваемое тело массой mx и отмечают положение указателя (на отметке N). Затем взвешиваемое тело замещают гирями такой массы m0, чтобы вновь добиться прежнего отклонения указателя N. Очевидно, что при одинаковых отклонениях указателя будет выполняться условие mx = m0 , и систематическая погрешность весов не скажется на результате взвешивания. Такой способ взвешивания с поочередным помещением измеряемой массы и гирь на одну и ту же чашку весов называется методом Борда.

При использовании метода погрешность неточного СИ устраняют, а погрешность измерения будет определяться только погрешностью самой меры и погрешностью отсчета измеряемой величины по указателю меры.

Метод компенсации погрешности по знаку используют для устране-

ния постоянной систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак.

При этом методе выполняют два измерения, результаты которых определяются как

46

Среднее значение этих двух измерений даст искомое значение измеряемой величины:

x1 x2 2 xи сист xи сист 2 xи.

Этот метод часто применяют при измерении экстремальных значений (максимума и нуля) неизвестной величины.

Пример: Метод компенсации погрешности, обусловленной магнитным полем Земли. Первое измерение проводят, когда средство измерения находится в любом положении. Перед проведением второго измерения СИ поворачивают в горизонтальной плоскости на 180°. Если в первом случае магнитное поле Земли, складываясь с полем СИ, вызывало положительную погрешность, то при повороте на 180° магнитное поле Земли будет оказывать противоположное действие и вызовет отрицательную погрешность по размеру, равную первой.

Разновидность этого метода: метод противопоставления – измерение производится дважды так, чтобы причина погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений.

Пример: Взвешивание на равноплечих весах. Условие равновесия весов выглядит следующим образом:

mxl1 m0l2,

где mx – масса взвешиваемого груза; m0 – масса уравновешивающих mx гирь; l1 и l2 - соответствующие плечи коромысла.

Следовательно

mx m0l2 l1 .

Если длины плеч l1 и l2 одинаковы, то mx =m0 .

Если же l1 l2 (например, из-за технологического разброса длин плеч при их изготовлении), то при взвешивании каждый раз возникает систематическая погрешность

m m0 l2 l1 1 .

47

Для исключения этой погрешности взвешивание производится в два этапа. Сначала взвешивают груз mx , уравновешивая весы гирями массой m01. При этом mxl1 m01l2 . Затем взвешиваемый груз перемещают на ту ча-

шу весов, где прежде были гири и вновь уравновешивают весы гирями массой m02 . Теперь получим m02l1 mxl2. Исключив из равенств отношение l2l1 , найдем

mx m01m02 .

Как видно из формулы, длины плеч не входят в окончательный результат взвешивания.

Метод введения поправок заключается в определении поправки С, одноименной с измеряемой величиной xи , которая вводится в результат изме-

рения

x xи сист С,

сцелью исключения (компенсации) систематической погрешности. В случае

Ссист систематическая погрешность полностью исключается из резуль-

тата измерения.

Поправки могут быть аддитивными (прибавляемыми) и мультипликативными (умножаемыми). Поправки определяются экспериментально или путем специальных теоретических исследований и задаются в виде формул, графиков или таблиц.

Метод симметричных наблюдений эффективен при выявлении и ис-

ключении систематической погрешности, являющейся линейной функцией соответствующего аргумента (амплитуды, напряжения, времени, температуры и т.д.). Заключается в проведении многократных наблюдений через равные промежутки времени и усреднении результатов наблюдений, симметрично расположенных относительно среднего наблюдения. Обычно этот метод применяется для исключения прогрессирующих погрешностей, изменяющихся по линейному закону.

Пример: устранение погрешности измерения напряжения с помощью потенциометра постоянного тока (рис. 2.1), возникающей при уменьшении напряжения источника питания Б, создающего рабочий ток.

48

Рис. 2.1. Схема потенциометра постоянно тока

Если рабочий ток потенциометра изменяется линейно во времени, то для устранения погрешности, вызванной этим изменением, достаточно выполнить три наблюдения, разделенных во времени. Сначала гальванометр Г включают в цепь нормального элемента E0 (переключатель в положении 1) и, регулируя рабочее сопротивление Rp , добиваются уравновешивания E0 с

падением напряжения на образцовом сопротивлении R0I . Так как ток I по-

степенно уменьшается, можно записать

E0 R0 I I1 .

Затем переключатель устанавливают в положение 2, регулировкой сопротивления Rx уравновешивают падение напряжения на нём:

Ex Rx I I2 .

Если переключатель вновь установить в положение 1 и попытаться уравновесить падение напряжение на образцовом сопротивлении R0 с напряжением E0 , то равновесие будет наблюдаться при других значениях ра-

бочего тока и сопротивления R0' :

49

E0 R0' I I3 .

Для линейной зависимости погрешности от времени, при снятии показаний через равные интервалы времени, справедливо соотношение

I2 I1 I3 2.

С учетом данного соотношения после соответствующих преобразований получим выражение для Ex без прогрессивной погрешности:

Ex E0Rx 1R0 1R0' .

Метод рандомизации – одна и та же величина измеряется разными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них являются случайными величинами, поэтому при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются. Это наиболее универсальный метод исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей.

2.2.2. Суммирование систематических погрешностей

Независимо от вида измерения (прямое, косвенное, совместное или совокупное) систематическая погрешность результата измерения оценивается по ее известным составляющим. Поскольку в конкретном случае каждая i-я составляющая имеет конкретное значение (она либо постоянна, либо известен закон ее изменения), то суммарная систематическая погрешность есть алгебраическая сумма всех n составляющих:

Внимание! Невыявленная систематическая составляющая погрешно-

сти опаснее случайной, т.к. если случайная составляющая вызывает разброс

50

результатов измерения, то систематическая – устойчиво их искажает (смещает) относительно истинного значения.

Результаты измерений с внесенными (устраненными) систематическими погрешностями называются исправленными.

Лекция VIII.

2.3. Случайные погрешности

При повторных (многократных) измерениях одной и той же физической величины, проводимых с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях получаемые результаты обычно отличаются друг от друга. Это свидетельствует о наличии в результатах измерений случайных погрешностей.

Чем объясняется возникновение случайных погрешностей? Причина их возникновения обусловлена тем, что оператор (субъект) рассматривает объект как модель. Модель, как указано в п. 1.4, – это некое подобие натурного объекта, отражающая только существенные признаки и свойства его. Несущественные для модели признаки и свойства объекта могут проявляться в процессе измерений тем или иным образом в виде случайных погрешностей.

Предсказать случайную погрешность (в рамках принятой модели объекта) и результат наблюдения, исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности ожидать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от xmin до xmax , где xmin , xmax – соответственно, нижняя и верхняя границы разброса (интервала варьирования). Чтобы предсказать вероятность появления того или иного значения случайной погрешности, значение наиболее вероятной погрешности и результата измерений, случайную погрешность рассматривают как случайную величину, закономерность появления которой устанавливается с помощи теории вероятности и математической статистики.

В теории вероятности универсальными характеристиками случайных величин являются функции (законы) распределения – дифференциальные и интегральные.

Для лучшего понимания смысла этих величин рассмотрим результаты многократных измерений (выборки) некоторой величины X в количестве (объемом) N . Предположим, что отдельные числовые значения xi этой величины оказались в интервале от xmin до xmax . Здесь 1 i N - номер отдельного измерения (элемента выборки).

Диапазон Rx xmax xmin называют размахом варьирования величины X . Разделив Rx на k интервалов (групп или классов) шириной b Rx k ,