Принцип ДаламбераЛагранжа (общее уравнение динамики)

Рассмотрим движение несвободной механической системы, состоящей из n>1 материальных точек (k = 1,2,…,n) и подчинённой идеальным, стационарным, голономным, удерживающим связям относительно инерциальной системы отсчёта Оху. Применим принцип освобождаемости от связей и заменим связи их реакциями. Пусть и равнодействующие всех активных сил и реакций связей, приложенных к материальным точкам. Тогда для каждой точки механической системы можно записать основное уравнение динамики

(16.19)

Если ввести даламберову силу инерции , то уравнение

(31.8) можно записать в виде

(16.20)

Уравнение (16.20) представляет принцип Даламбера для kой точки, рассмотренный ранее в динамике точки, который позволяет уравнение движения записать в форме уравнения статики. Если это же уравнение распространить на механическую систему (k=1,2,…,n), то уравнение (16.20) представляет принцип Даламбера для механической системы.

Мысленно зафиксируем время t системе виртуальное перемещение . Умножим каждое уравнение (16.20) наи сложим их:

.

Так как связи идеальны и, следовательно,

. (16.21)

Равенство (16.21) называется общим уравнением динамики, которое выражает принцип ДаламбераЛагранжа.

В каждый момент движения механической системы, подчинённой идеальным, стационарным, голономным, удерживающим связям, работа активных сил и даламберовых сил инерции на виртуальном перемещении точек механической системы равна нулю.

Пример.

Рис.16.10

Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы М1 и М2 массой m1 и m2 (рис.16.10). Пренебрегая массой нити и блока, а также трением, определить ускорение грузов.

Решение. Механическая система состоит из двух материальных точек М₁ и М₂, связанных гибкой нерастяжимой нитью, допускающей вертикальное перемещение точек. Связь является идеальной. Активными силами системы являются силы тяжести и. Пустьm₁ > m₂ и ускорение а точки М₁ направлено вниз, а ускорение точки М₂ вверх. Ускорения точек равны по величине, так как блок неподвижен. Приложим к точкам силы инерции . Система имеет одну степень свободы. Дадим точкеМ₁ виртуальное перемещение , направленное вниз. Тогда виртуальное перемещениеточкиМ₂ будет направлено вертикально вверх. Составим общее уравнение динамики

.

Раскроем скалярные произведения векторов

.

Далее, учитывая, что ,

получим

.

Приравнивая выражение в скобках нулю, найдём искомое ускорение

.

Лекция 17 уравнения движения и равновессия механической системы в обобщенных координатах Обобщенные координаты

Обобщенными координатами называются независимые параметры, заданием которых полностью определяется положение механической системы в некоторой области пространства.

Мы уже пользовались обобщенными координатами, которые в дальнейшем будем обозначать , не употребляя этого термина.

Например, для тела, имеющего ось вращения, за обобщенную координату принимается угол :

q = .

Для плоскопараллельного движения твердого тела за обобщенные координаты принимаются координаты полюса и угол поворота

.

В качестве обобщенных координат можно выбирать не только декартовы координаты ,но и углы, а также другие параметры, имеющие размерности, например, площади, объема. Поэтому эти координаты называются обобщенными.

Ранее давали определение числа степеней свободы, как числа независимых виртуальных перемещений.

Для голономных систем число степеней свободы равно числу обобщенных координат, определяющих ее положение.

Пусть на механическую систему состоящую из n > 1 материальных точек наложено m стационарных геометрических связей:

. (17.1)

Тогда число обобщенных координат системы и число ее степеней свободы равно

.

Следовательно, если принять за обобщенные координаты системы, то число обобщенных координатl = K.

Рис.17.1

Например, для эллиптического маятника, на который наложены голономные связи, (рис.17.1) обобщенными координатами явля- ются , и следова тельно число степеней К = 2.

Рис.17.2

Двойной плоский маятник (рис.17.2) имеет две степени свободы и за обобщенные координаты удобно принять углы . Проверяя, можно ли менять один угол, не меняя другого, устанавливается независимость принятых обобщенных координат.

Пусть положение механической системы определяется l обобщенными координатами . Положение каждой материальной точки системы определяется ее радиусомвектором . Тогда при стационарных связях

(17.2)

или

(17.3)

Радиусывекторы и декартовы координаты единственным образом выражаются через обобщенные координаты. Если подставить выражения (17.3) в уравнения связей (17.1), то они будут выполняться тождественно.

В примере с эллиптическим маятником (рис.17.1) за материальные точки механической системы примем ползун А и груз В. Связями для них являются гладкая поверхность и шарнирно закрепленный стержень АВ длиной l.

Уравнениями связей будут

(17.4)

Координаты точек выразятся через обобщенные координаты следующим образом

(17.5)

Подставим равенство (17.5) в уравнение связей (17.4). Получим тождество .