Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси

Рис.15.1

Внешними силами, действующими на тело являются активные силы и реакции связейи(рис.15.1) приложенные в закрепленных точках телаА и В. Применим теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения тела z:

. (15.2)

Пусть связи являются идеальными. Тогда реакции связей ив равенство (15.2) не войдут, так как их моменты относительно осиz равны нулю. (Если связи не идеальны, то необходимо учитывать моменты трения).

Учитывая, что для вращательного движения кинетический момент тела относительно оси z равен

,

получим дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

. (15.3)

Сравним уравнение (15.3) с дифференциальным уравнением поступательного прямолинейного движения твердого тела:

. (15.4)

Масса М в уравнении (15.4) характеризует инертность твердого тела:

.

Аналогично и момент инерции J_z в уравнении (15.3) характеризует инертные свойства вращающегося тела:

.

Таким образом, момент инерции тела J_z является характеристикой инертности тела при вращательном движении. Если вращение тела происходит в одном направлении, то это направление считают положительным направлением отсчета угла . В этом случае моменты движущихся сил в уравнении (15.3) считают положительными, а моменты сил сопротивления отрицательными величинами.

Если главный момент внешних сил , тои тело вращается ускоренно.

Если же , то. Тогда тело вращается замедленно.

Частные случаи

1. Если , то. Откуда. Следовательно, тело вращаетсяравномерно (по инерции).

2. Если , то. Откуда закон вращательного движения. Вращение в этом случае будетравнопеременным.

С помощью дифференциальных уравнений (15.3) можно решить три задачи:

1. По заданным уравнениям вращательного движения  =  (t) и моменту инерции тела относительно оси вращения определить главный момент внешних сил относительно оси вращения тела:

.

2. По заданным внешним силам, приложенным к твердому телу и моменту инерции тела J_z относительно оси вращения определить уравнение вращательно движения тела  =  (t).

В этом случае закон вращательного движения тела определяется из решения дифференциального уравнения (15.3) при заданных начальных условиях.

3. По заданным внешним силам и угловому ускорению тела определить момент инерции телаJ_z относительно оси вращения тела.

Рассмотрим пример решения третьей задачи, в котором для неоднородных тел или тел сложной конфигурации используются результаты экспериментов.

Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел

Существует несколько способов экспериментального определения моментов инерции неоднородных тел и тел сложной формы. Рассмотрим способ крутильных колебаний.

Рис.15.2

При этом способе испытуемое тело подвешивают на упругом стержне так, чтобы центр тяжести тела лежал на продолжении оси стержня (рис.15.2), момент инерции относительно которой необходимо определить. Тело, жестко скрепленное с упругим стержнем поворачивают на малый угол 0 и с помощью секундомера измеряют период возникших колебаний

системы Т₁. На тело со стороны закрученного упругого стержня действует момент упругих сил, который при малом угле пропорционален этому углу:

,

где c  коэффициент жесткости, характеризующий упругие свойства стержня.

Тогда дифференциальное уравнение (26.3) примет вид:

или . (15.5)

Уравнение (15.5) имеет тот же вид, что и уравнение гармонических колебаний математического маятника, круговая частота которых равна

,

а период колебаний равен

. (15.6)

Далее к тому же стержню прикрепляют эталон, момент инерции которого известен. Например, для однородного диска массой М и радиуса r момент инерции относительно оси (z) равен

.

Закрутив также стержень на малый угол, замеряют период возникших колебаний Т₂. С другой стороны, из уравнения гармонических колебаний диска

. (15.7)

Исключая из уравнения (15.6) и (15.7) коэффициент жесткости (c), получим

.