Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Запишем кинетическую энергию механической системы в виде:

.

Пусть точки механической системы переместились так, что их радиус-векторыв инерциальной системе отсчета получили приращение

. Найдем как при этом изменится кинетическая энергия механической системы, применяя к точкам системы вторую аксиому :

или

(14.12)

Формула (14.12) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

Дифференциал кинетической энергии механической системы равен элементарной работе всех сил системы.

В теореме учитываются как внутренние, так и внешние силы, так как при подсчете работы важны и перемещения точек, а они у двух взаимодействующих точек могут быть разными.

Теорема чаще применяется в интегральной форме. Рассмотрим перемещение механической системы за конечный промежуток времени

Из положения в момент времени , точки которого обозначим индексом (1) в положение в момент времени, точки которого обозначим индексом (2).

Проинтегрируем соотношение (14.12) на промежутке времени :

(14.13)

Обозначим -величину кинетической энергии механической системы в момент времени,. Тогда левая часть соотношения (14.13) будет иметь вид:

.

Преобразуем правую часть соотношения (25.13):

Обозначая последние суммы работ внутренних и внешних сил по траекториям исоответственно, получим окончательно:

(14.14)

Формула (14.14) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

Изменение кинетической энергии механической системы за конечный промежуток времени равно сумме работ внешних и внутренних сил системы при её перемещении из одного положения в другое за тот же промежуток времени.

Лекция 15 динамика твердого тела

Применим общие теоремы динамики к динамике твердого тела. Рассмотрим различные виды движения твердого тела.

Поступательное движение твердого тела

Допустим известно, что тело движется поступательно, например, когда наложенные связи допускают только такое движение. Тогда, так как при поступательном движении все точки движутся одинаково, дифференциальные уравнения движения тела задаются теоремой о движении центра масс:

. (15.1)

С помощью уравнений (15.1) решаются две основные задачи динамики. При решении первой, прямой задачи по известным уравнениям движения центра масс тела

вычислением проекций ускорения центра масс из уравнений (15.1) определяются проекции главного вектора внешних сил .

При решении второй, обратной задачи динамики по известным проекциям внешних сил интегрированием дифференциальных уравнений (15.1) при заданных начальных условиях определяется движение центра масс тела.

Определим условия, при которых возможно поступательное движение тела. Введем кенинговую систему координат Сх₂у₂z₂. Если тело движется поступательно, то относительно системы координат Сх₂у₂z₂ оно находится в покое и согласно теореме об изменении кинетического момента угловая скорость тела и главный момент внешних сил относительно центра масс равны нулю. Следовательно, для того чтобы тело двигалось поступательно необходимо, чтобы главный момент внешних сил относительно центра масс и начальная угловая скорость тела были равны нулю.