FTF 2 semestr.MAVRODI / 63
.pdf
Почленное дифференцирование функциональных рядов.
Теорема. Если ф-ции 
, 
имеют непрерывные производные на отрезке [a;b],
ряд |
(1) сх-ся равномерно на отрезке [a;b], а ряд |
|
(2) сх-ся хотя бы в |
|||
одной точке |
[a;b], т.е. сх-ся ряд |
, то ряд(2) сх-ся равномерно на отрезке |
||||
[a;b] и его можно почленно дифференцировать, то есть S'(x)= |
|
(3), где S(x)= |
||||
(4). |
|
|
|
|
|
|
Док-во: Обозначим (х)= |
(сумма ряда (1)). Этот ряд можно почленно |
|||||
интегрировать : |
= |
(5), где |
, х принадлежат отрезку [a;b], а ряд |
|||
(5) равномерно сх-ся на [a;b]. Так как |
= |
(x)- |
, то |
= |
||
(6), где
(x)=
(x)-
(7). Ряд(6) сх-ся равномерно, а ряд (2) сх-ся(а значит и равномерно сх-ся на [a;b]), поэтому ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b]. Из (6), (7) и (3)
следует: =S(x)-S(
) (8). Т.к. ф-ция 
(t) непрерывна на [a;b], то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть рав-ва (8) имеет производную,
равную 
(х). След-но, правая часть (8) — дифференцируемая ф-ция, а её производная
равна S'(x). Доказано, что (
х)=S'(x), то есть справедливо рав-во (3) для всех х из отрезка
[a;b].