FTF 1 semestr.MAVRODI / Вопросы к экзамену по математическому анализу для студентов ФТФ 1 курса

Вопросы к экзамену по математическому анализу

для студентов ФТФ 1 курса (1 семестр)

1. Множества и операции над множествами.

2. Отображения и функции.

3. Аксиоматика множества действительных чисел.

4. Грани числовых множеств. Принцип Архимеда.

5. Определение предела последовательности. Единственность предела.

6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

7. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

8. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

9. Предел монотонной последовательности.

10. Число «е».

11. Принцип вложенных отрезков.

12. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

13. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности.

14. Счётные множества.

15. Предел функции в точке. Определение по Коши и по Гейне.

16. Локальные свойства функций, имеющих предел в точке (ограниченность, определённость знака, свойства, связанные с неравенствами и операциями над функциями).

17. Предел монотонной функции.

18. Критерий Коши существования предела функции в точке.

19. Понятие непрерывности функции в точке. Точки разрыва.

20. Локальные свойства функций, непрерывных в точке.

21. Теоремы Вейерштрасса о функциях непрерывных на отрезке.

22. Теоремы Коши о функциях непрерывных на отрезке.

23. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

24. Неравенства для тригонометрических функций.

25. Непрерывность элементарных функций.

26. Первый замечательный предел и его следствия.

27. Второй замечательный предел. Следствия из второго замечательного предела.

28. Сравнение функций. О - символика.

29. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение, физический и геометрический смысл производной функции.

30. Односторонние и бесконечные производные.

31. Дифференциал функции. Определение, геометрический и физический смысл дифференциала.

32. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

33. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование обратной функции.

34. Таблица производных основных элементарных функций.

35. Дифференцирование функций заданных параметрически и неявно.

36. Производные и дифференциалы высших порядков.

37. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

38. Теорема Ролля о нулях производной.

39. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений) и её следствия.

40. Формула Тейлора (с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано).

41. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора (Маклорена).

42. Теоремы Лопиталя.

43. Исследование монотонности функции с помощью производной.

44. Исследование функций на экстремум с помощью производной.

45. Наибольшее и наименьшее значения функции.

46. Исследование выпуклости функции с помощью производной.

47. Точки перегиба.

48. Асимптоты.

49. Понятие вектор-функции. Предел вектор-функции. Непрерывность вектор-функции.

50. Производная и дифференциал вектор-функции. Теорема Лагранжа для вектор- функций.

51. Понятие простой кривой.

52. Касательная к кривой. Понятие гладкой кривой.

53. Длина дуги кривой.

54. Первообразная и её свойства.

55. Неопределённый интеграл и его основные свойства.

56. Таблица интегралов.

57. Замена переменных при вычислении неопределённого интеграла.

58. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

59. Разложение рациональной дроби на простые рациональные дроби.

60. Интегрирование простых рациональных дробей.

61. Интегрирование иррациональных функций (подстановки Эйлера, Чебышёва).

62. Интегрирование тригонометрических функций.

63. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

64. Понятие определенного интеграла. Необходимое условие существования.

65. Критерий существования определённого интеграла. Классы интегрируемых функций.

66. Свойства определённого интеграла.

67. Оценки определённого интеграла (теорема о среднем).

68. Свойства определённого интеграла как функции верхнего предела интегрирования.

69. Замена переменных при вычислении определённого интеграла.

70. Интегрирование по частям в определённом интеграле.

71. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

72. Вычисление объёмов пространственных тел с помощью определённого интеграла.

73. Вычисление длин кривых и площадей поверхностей вращения с помощью определённого интеграла.

74. Физические приложения определённого интеграла.

75. Несобственные интегралы. Определение и простейшие свойства.

76. Вычисление несобственных интегралов (замена переменных, интегрирование по частям).

77. Критерий сходимости несобственных интегралов.

78. Признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов.

79. Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов.

80. Признак Абеля сходимости несобственных интегралов.

81. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.