FTF 1 semestr.MAVRODI / 81
.pdf
Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку(Для интегралов
1го рода). В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции f(x) к исследованию интеграла от положительной функции | f(x)|? Можно показать,
что если сходится интеграл |
, то обязательно сходится интеграл |
(идея |
доказательства: разобьем отрезок Xb = [a, b] на два |
|
|
множества, 
и 
, т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна.
Тогда , . В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b, ограниченные сверху, следовательно, имеющие
конечный предел при 
. Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма).
Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла |
интеграл |
может |
||
расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости. |
|
|
||
Опр. 12.1.4. Если сходится интеграл |
, то интеграл |
называется сходящимся |
||
абсолютно. Если сходится интеграл |
, а интеграл |
расходится, то |
|
|
интеграл |
называется сходящимся условно. |
|
|
|
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
15. |
. |
|
; |
интеграл от большей функции сходится, следовательно, |
сходится, следовательно, исходный |
||
интеграл сходится абсолютно. |
|
|
|
16. |
. |
|
, |
первый множитель, |
, стремится к нулю при |
, следовательно, |
|
ограничен: |
, интеграл от последней функции сходится, |
||
следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. |
|
|
|
Приведённые примеры показывают, что переход от |
к |
и применение к |
|
последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно
усложняется. |
|
Пример: исследовать на сходимость интеграл |
. |
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по |
|
частям: |
. |
Для последнего интеграла 
, т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.
2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е.
что |
расходится. Так как |
, |
|
то |
|
, для последнего интеграла, по доказанному выше, существует |
|
конечный предел при |
, для предыдущего - нет, следовательно, |
расходится. |
|
|
Вывод - исходный интеграл сходится условно. |
|
|
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций(для интегралов
2го рода) определяется:
несобственный интеграл от неограниченной функций |
называется абсолютно сходящимся, если |
сходится интеграл |
, и условно сходящимся, если интеграл |
сходится, а |
интеграл |
расходится (если сходится |
, то |
тоже обязательно сходится). |
Пример: Исследовать на сходимость интеграл: |
|
|
|
26. 
Так как 
, то исходный интеграл
сходится абсолютно.
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- несобственный интеграл, для к-рого интеграл от абсолютной величины подинтегральной функции сходится. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для определенности) несобственный интеграл вида:
где функция 
интегрируема по Риману (или по Лебегу) на любом отрезке 
Для абсолютной сходимости интеграла (*) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости несобственного интеграла), чтобы для любого 
существовало
такое 
что для всех 
выполнялось неравенство
Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он равен интегралу Лебега от рассматриваемой функции. Существуют несобственные интегралы, сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся, напр.
Чтобы определить сходится или нет заданный интеграл абсолютно, полезно использовать признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций; напр., с помощью сравнения признака устанавливается абсолютная сходимость интеграла
Для кратных несобственных интегралов (в большей части имеющихся определений) связь сходимости и абсолютной сходимости интегралов другая. Пусть на открытом множестве G n-
мерного евклидова пространства определена функция 
Если для любой последовательности кубируемых областей 
монотонно исчерпывающей
область |
и |
существует |
при 
предел интегралов Римана
и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности областей, то он обычно и наз. несобственным интегралом
Так определенный интеграл сходится тогда и только тогда, когда он абсолютно сходится. Существуют и другие определения несобственных кратных интегралов. Напр., для функции
f(х), определенной на всем пространстве 
и интегрируемой по Риману на любом n-мерном шаре 
радиуса 
можно определить несобственный интеграл по 
равенством
В этом случае из абсолютной сходимости интеграла снова следует просто сходимость, но обратное неверно.