Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский государственный технический университет»

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика»

Часть 1 для студентов специальностей

200503 Стандартизация и 190601

сертификация (мясная, молочная и рыбная промышленность). 190701

260301 Технология мяса и мясных

продуктов. 190702

260303 Технология молока и молочных

продуктов. 190603

240902 Пищевая биотехнология. 240901 Биотехнология. 140205

260202 Технология хлеба, кондитерских и

макаронных изделий. 140211

260504 Технология консервов и 140200

пищеконцентратов. 140604

260501 Технология продуктов

общественного питания. 240801 Машины и аппараты химических 240301 производств.

260601 Машины и аппараты пищевых 240403 производств.

64665. Геофизические методы поисков и разведки месторождений 240306 полезных ископаемых.

64666. Геофизические методы

исследования скважин. 280201

130302 Поиски и разведка подземных вод и инженерно-геологические изыскания. 280202

130304 Геология нефти и газа.

64967. Разработка и эксплуатация 210104 нефтяных и газовых

130501 месторождений. 210106

Проектирование, сооружение и 210601 эксплуатация газонефтепроводов 210100

64967. и газонефтехранилищ. 210108 Бурение нефтяных и газовых 240100

151001 скважин.

Технология машиностроения.

Автомобили и автомобильное хозяйство.

Организация перевозок и управления на транспорте. Организация и безопасность движения.

Сервис транспортных и технологических машин и оборудования.

Электроэнергетические системы и сети.

Электроснабжение. Электроэнергетика Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов. Химическая технология неорганических веществ. Химическая технология природных энергоносителей и углеродных материалов. Химическая технология монокристаллов, материалов и изделий электронной техники. Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов. Инженерная защита окружающей среды (по отраслям). Микроэлектроника и твердотельная электроника. Промышленная электроника. Нанотехнология в электронике. Электроника и микроэлектроника. Микросистемная техника. Химическая технология и биотехнология.

Ставрополь 2007

Данные методические указания предназначены для оказания методической помощи в решении задач во время аудиторных занятий, по разделу «Начертательная геометрия» студентами машиностроительных и технологических специальностей университета. Они написаны в соответствии с ГОС ВПО и унифицированной рабочей программой дисциплины «Начертательная геометрия. Инженерная графика».

В каждой теме освещены основные теоретические положения; рассмотрены примеры решения задач; приведены образцы оформления листов графической части и контрольные вопросы для проверки усвоения материала

Составители:

И. В. Рындин, Л. С. Дрей, И. Л. Кравцова, Н. Н. Жигалов, Л. М. Присяжнюк, Л. Н. Махиня.

к.т.н., доцент ассистент ст. преподаватель к.т.н., доцент ассистент ассистент

доцент

Рецензент:

А. Н. Пенкин

кафедры ПМ и ОК

Перед каждым практическим занятием по начертательной геометрии необходимо освежить в памяти содержание соответствующей темы курса по конспекту лекций или по электронному курсу лекций, или по учебнику. Прочитать теоретическую часть в данном пособии и ответить на вопросы к данному занятию.

Прежде чем приступить к решению задачи на чертеже, надо понять ее условие, представить в пространстве заданные геометрические образы и пространственное расположение, и четко представить схему решения, т. е. установить последовательность выполнения операций.

При решении задач очень полезно прибегать к моделированию заданных геометрических форм и их сочетаний с помощью бумаги, пластилина, чертежных инструментов и любых подходящих подручных предметов и материалов.

Решение задач выполняется на листе чертежной бумаги формата А3 (297х420). Площадь, занятая построениями, должна составлять 75 %. Все построения проводятся с возможно большей точностью и аккуратностью в карандаше (марки ТМ и М). На эпюре должны быть сохранены вспомогательные линии построений, выполненные сплошными тонкими линиями. Все надписи должны выполняться стандартным шрифтом размером 3,5; 5 и 7 в соответствии с ГОСТ 2.304-81.

Студент выполняет все задания по своему варианту, определенному преподавателем.

Проекции точки

Теоретическая часть

Три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций делят пространство на 8 октантов (рисунок 1).

Х_А=ОА_х- абсцисса точки А, или ширина точки А, или расстояние точки А от плоскости П₃.

Ya=OA_y - ордината точки А, или глубина точки А, или расстояние точкиA от плоскости П₂.

Z_A=OA_z - аппликата точкиA, или высота точкиA, или расстояние точкиA от плоскости П₁.

Знаки координат точек, расположенных в различных октантах, приведены в таблице 1.

Таблица 1 — Знаки координат точек по октантам

Октанты	1	2	3	4	5	6	7	8
Координаты
X	+	+	+	+	—	—	—	—
y	+	—	—	+	+	—	—	+
Z	+	+	—	—	+	+	—	—

Рисунок 1 — Октанты пространства

Точки, расположенные в левых октантах - 1, 2, 3, 4 - имеют положительные абсциссы, в правых октантах - 5, 6, 7, 8 - отрицательные абсциссы, в передних октантах - 1, 5, 8, 4 - положительные ординаты, в задних октантах - 2, 6, 7, 3 - отрицательные ординаты, в верхних октантах - 1, 2, 6, 5 - положительные аппликаты, в нижних октантах - 4, 3, 7, 8 - отрицательные аппликаты.

Построим аксонометрическое изображение точки А в первом октанте по произвольным положительным координатам X_A, Y_A, Z_A. (рисунок 1).

П₉

Cначала строим оригинал точки А по этим координатам в системе

П1 •

Откладываем отрезок ОX_X=Х_Апо оси абсцисс, затем А_хА₂=Z_Aпараллельно осиZ. Из полученных точек А₁и А₂восстанавливаем перпендикуляры А₁А±П₁, А₂А±П₂, пересечение которых дает искомую точку А.

Спроецировать ортогонально точку А на профильную плоскость проекций П₃— это значит опустить перпендикуляр АА₃из точки А на плоскость П3.Тогда точка А3(основание этого перпендикуляра) и будет профильной проекцией точки А.

Рисунок 2 — Эпюр точки А с указанием координат

Построим комплексный чертеж (эпюр) точки А (рисунок 2). При совмещении плоскости проекций П₁с П₂линия связи А₁А₂будет перпендикулярна оси Х, т. е. фронтальная и горизонтальная проекции точки А расположатся на одной прямой, перпендикулярной к оси Х.

При совмещении плоскости проекций П3с П2линия связи А2А3будет перпендикулярной к осиZ, т. е. фронтальная и профильная проекции точки А расположатся на одной прямой, перпендикулярной к осиZ.

Оси абсцисс и аппликат на чертеже располагаются так же, как и на плоскости П2оригинала точки А, а ось ординат на комплексном чертеже указывается дважды (рисунок 2).

Построение проекций точки А на комплексном чертеже начинают с построения фронтальной проекции А2точки А, т. к. расположение фронтальной проекции точки А на плоскости П2на оригинале и чертеже будет всегда одинаковым.

Для этого откладываем абсциссу точки А — ОА_Х, затем проводим линию связи и на ней откладываем отрезки, равные высоте и глубине точки А. Если точка А находится над плоскостью П₁, высота точки А — положительна и А2— фронтальная проекция точки А будет располагаться над осью Х.

При отрицательной высоте точки А фронтальная проекция ее будет располагаться под осью Х. Если точка А находится перед плоскостью П2,то глубина точки А будет положительна и А1— горизонтальная проекция ее — будет располагаться под осью Х. При отрицательной глубине точки А горизонтальная проекция ее будет располагаться над осью Х.

Профильную проекцию А₃точки А строим по двум проекциям: фронтальной и горизонтальной. Помня, что фронтальная и профильная проекции точки А лежат на одной линии связи, перпендикулярной осиZ, откладываем от точки А₂отрезок, равный глубине точки А, учитывая знак ее ординаты (А₂А₃= А_ХА₁). Окончательный вид комплексного чертежа (эпюра) показан на рисунке 3.

Профильную проекцию можно также построить при помощи постоянной линии чертежа (постоянная Монжа), которая проводится под углом 45^ок оси Х₁₂через начало координат.

По двум любым проекциям точки всегда можно построить третью проекцию данной точки при соблюдении расположения линий связи между заданными проекциями точки A₂A₁ ± Х,A₂A₃ ±Z.

Рисунок 3 — Эпюр точки A в окончательном виде

Вопросы к занятию

1. Что называют постоянной Монжа на эпюре?

2. Что такое октант пространства?

3. Каким правилом следует руководствоваться при переносе точек с оси Y1 на осьY3?

4. Какие знаки имеют координаты точек, расположенных во 2 и 8 октантах?

5. Как восстановить положение пространственной точки по ее проекциям?

6. Сколько проекций точки определяют ее пространственное положение?

7. Что такое ширина, глубина и высота точки?

Пример 1

Дана точка A (—15;—24;—15). Построить эпюр точки В, симметричной точкеA, относительно горизонтальной плоскости проекций (рисунок 4).

Решение.Точка А находится справа от профильной плоскости проекций, за вертикальной плоскостью проекций и под горизонтальной плоскость проекций, т.е. в седьмом октанте. Строим её эпюр. Откладываем на отрицательной оси ОХ отрезок ОА_хдлиной 15 мм (х) и , проведя через точку А_хпрямую перпендикулярно оси ОХ, откладываем на ней отрезки вверх А_хА₁длиной 24 мм (у) и вниз А_хА₂длиной 15 мм(z). Затем проводим через точку А₂прямую перпендикулярно осиOZ и откладываем влево отрезок А^₃длиной 24 мм (у).

Аз

Точка В, симметричная данной точке относительно горизонтальной плоскости проекций, находится в шестом октанте, т.е. В (-15, -24, 15). Откладываем на общем перпендикуляре вверх отрезки А_хВ₁длиной 24 мм (у) и АхВ2длиной 15 мм(z) и находим профильную проекцию (В3)точки В.

Ai=Bi

х.

А_г

Задания

Задача 1.Построить три проекции и аксонометрическое (наглядное) изображение точек А и В по их координатам, представленным в таблице 2, и указать октанты расположения этих точек в пространстве.

Таблица 2 — Данные к задачам 1, 2,3 и 4

Вариант				1		2		3		4		5		6		7		8	9		10		11		12		13		14		15
		x	50		75		55		50		80		-68		85		78		55	40		48		65		-55		80		60
	A	y	-15		29		23		-40		45		9		25		44		20	5		-10		10		15		40		25
		z	30		-38		45		46		-20		28		35		-20		35	50		35		27		60		-30		20
3		x	10		20		-10		10		10		10		10		12		-15	5		5		10		10		-10		12
н <я s	B	y	-35		5		13		5		20		30		-25		6		38	30		-25		25		25		15		-40
S ч		z	40		6		5		-20		45		12		65		40		15	5		15		10		-10		5		40
а о		x	30		15		68		60		45		-63		90		40		55	60		-78		85		65		90		80
	C	y	60		70		-80		15		70		29		70		-70		80	30		50		35		-45		70		60
		z	10		72		15		28		65		72		15		10		80	10		25		15		15		15		70
	D	x	10		20		5		10		15		5		-20		5		15	15		5		25		30		20		-12
		y	60		30		15		10		5		15		-35		35		48	5		30		15		5		40		45
Вариант				16		17		18		19		20		21		22		23	24		25		26		27		28		29		30
		x	90		85		-55		40		54		85		-73		62		55	75		77		70		-58		74		54
	A	y	-25		40		18		20		15		35		19		50		- 9	35		-29		5		5		50		10
		z	30		5		50		45		-35		15		24		50		28	25		38		40		25		-10		30
3		x	15		35		12		40		-15		25		29		8		20	10		20		5		15		10		20
н <я s	B	y	25		-15		35		80		35		15		34		-10		34	20		5		35		45		-20		35
S ч		z	60		35		15		5		-15		30		-13		20		6	25		-6		5		45		40		5
а о		x	5		15		-65		62		84		70		-63		82		78	85		15		40		68		85		80
	C	y	-5		55		40		10		70		10		62		35		-40	10		70		70		-40		5		57
		z	10		10		20		-75		3		60		73		40		5	3		72		-70		70		30		5
	D	x	25		35		35		15		15		15		9		8		10	5		6		25		14		20		10
		y	40		15		15		30		40		22		17		25		32	20		35		0		50		35		30

Задача 2.Построить три проекции и наглядное изображение точки Д по заданным двум координатам и третьей координате, соответствующей условиюZ =Y-30. Данные для задачи взять в таблице 2.

Задача 3.По данным таблицы 2 определить: какая из трех точек (А,В или С) расположена левее всех, выше всех и ближе всех по отношению к наблюдателю, находящемуся в первом октанте.

Задача 4.Построить три проекции и наглядное изображение точки С (координаты взять из таблицы 2) и точки Е симметричной ей относительно указанного в таблице 3 элемента.

Таблица 3 — Данные к задаче 3

Вар.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Эле

пл.

пл.

Ось

пл.

пл.

пл.

Ось

пл.

пл.

Ось

пл.

пл.

пл.

Ось

пл.

мент

П1

П2

Х

Пз

П2

П1

Х

П1

П2

Х

Пз

П1

П2

Х

П1

Вар.

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Эле

пл.

пл.

пл.

Ось

пл.

пл.

Ось

пл.

пл.

пл.

Ось

пл.

пл.

пл.

пл.

мент

Пз

П1

П2

Х

П1

Пз

Х

П2

П1

Пз

Х

П1

П2

Пз

П1

Проекции прямой

Теоретическая часть

Классификация прямых

Прямая образуется при пересечении двух плоскостей. Прямая в пространстве бесконечна. Часть прямой, ограниченной двумя точками, называется отрезком прямой. Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения в пространстве.

Прямые общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни к одной из плоскостей проекций. Все проекции такой прямой наклонены к осям проекций (рисунок 5).

Рисунок 5 — Прямая общего положения

Прямые частного положения делятся на проецирующие и уровня.

Проецирующие прямые перпендикулярны к одной из плоскостей проекций (рисунок 6).

Рисунок 6 — Прямые частного положения

Прямые уровня параллельны одной из плоскостей проекций.

Прямая, параллельная плоскости П₁, называется горизонталь.Ее фронтальная проекция А₂В₂параллельна оси Х, а горизонтальная равна натуральной величине (НВ) отрезка А₁В₁=АВ (рисунок 7). Если же проекция А₂В₂совпадает с осью Х, то отрезок АВ расположен в плоскости П₁.

Прямая, параллельная плоскости П₂, называется фронталь.Ее горизонтальная проекция С₁Д₁параллельна оси Х, а фронтальная равна НВ отрезка С₂Д₂= СД (рисунок 8). Если же проекция С₁Д₁совпадает с осью Х, то отрезок СД расположен в плоскости П2.

Рисунок 7 — Горизонталь Рисунок 8 — Фронталь

Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут быть: параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны (рисунок 9).

Рисунок 9 — Эпюр параллельных прямых

Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются и проекции точки пересечения К располагаются на одной вертикальной линии связи (рисунок 10).

1

Рисунок 10 — Эпюр пересекающихся прямых

х

Если в пространстве прямые скрещиваются, то на эпюре точки кажущегося пересечения не лежат на одной вертикальной линии связи. Эти точки (1 и 2) называются конкурирующими и по ним определяется видимость объектов. На рисунке 11 точка 2 расположена выше точки 1.

Рисунок 11 — Эпюр скрещивающихся прямых

х

Натуральная величина отрезка общего положения (НВ)

Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет является одной из проекций , а другой равен разности координат другой проекции (рисунок 12).

в

с bZ

Рисунок 12 — Метод прямоугольного треугольника

А

Следы прямой

Следами прямойназываются точки пересечения прямой с плоскостями проекций. М-горизонтальный след,N-фронтальный след, Р-профильный след (рисунок 13). Следы всегда совпадают со своими одноименными проекциями, так как это точки, принадлежащие плоскостям проекций.

N„=N

Mj=M "1 Рисунок 13 — Нахождение следов прямойВопросы к занятию

X

1. Какие прямые называют линиями уровня?

2. Какие точки называют следами прямой?

3. Как изображаются на эпюре параллельные прямые, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые?

4. По каким точкам определяется видимость объектов?

5. Сформулируйте правило прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка.

6. Как определяется принадлежность точки заданной прямой?

7. Как построить изометрию отрезка прямой?

8. Как находятся следы прямой?

Пример 2

Рисунок 15

Даны прямая АВ и точка К. Провести через точку К прямую параллельную прямой АВ (рисунок 14).

Рисунок 14 — Параллельность двух прямых

Решение.Проекции искомой прямой должны проходить через одноименные проекции точки К. При этом одноименные проекции прямых, заданной и искомой, должны быть между собой параллельны. Отсюда - проводим проекции искомой прямой: горизонтальную К₁Н₁через точку К₁ параллельно проекции А₁В₁и вертикальную К₂Н₂через точку К₂ параллельно проекции А₂В₂.

Пример 3

Определить натуральную величину отрезка прямой АВ (рисунок 15).

— Определение натуральной величины отрезка АВ

Решение.Строим прямоугольный треугольник по двум катетам. За один катет принимаем горизонтальную проекцию отрезка А₁В₁, за другой катет-отрезок, длина которого равнаDz. Гипотенуза этого прямоугольного треугольника выражает натуральную величину отрезка (НВ_АВ). Тот же результат получится, если построить прямоугольный треугольник на фронтальной проекции А₂В₂.

Задания

Задача 5.Построить три проекции и наглядное изображение отрезка прямой АВ, заданного координатами точек (таблица 4).

Задача 6.Определить натуральную величину и углы наклона отрезка прямой СЭ к плоскостям проекций П₁, П₂(данные из таблицы 4).

Задача 7.Определить следы прямой ВС и через точку А провести прямую параллельную прямой ВС (данные из таблицы 4).

Задача 8.Определить проекции точкиF, принадлежащей прямой ВС и удаленной от точки С на расстояние 30 мм. (данные из таблицы 4).

Задача 9.Построить три проекции и наглядное изображение прямых АВ и СЭ. Выяснить их взаимное положение (данные из таблицы 4).

Задача 10.Через точку А провести прямую, параллельную прямой ВС (данные из таблицы 4).

Задача 11.Определить на прямой АВ (данные из таблицы 4) точку К,

АК

для которой соотношение КВуказанно в таблице 5.

Коор.	А				В				С				D
Вар.	x	У	z	x		У	z	x		У	z	x		У	z
1	37	28	-5	19		9	14	-6		10	8	-27		32	-32
2	40	16	8	-8		40	40	19		19	-22	-30		33	11
3	35	-34	9	12		34	32	-10		-28	-12	-24		20	18
4	9	36	38	35		-12	5	15		-13	-10	-10		29	23
5	9	12	34	-35		-36	10	26		-36	-11	-24		-9	28
6	42	-41	-5	15		13	32	6		-23	-23	-18		22	9
7	12	36	14	38		-10	38	18		26	20	-32		-23	40
8	37	11	16	13		-35	-30	6		33	-8	-20		-17	-26
9	42	6	30	13		32	-20	14		-26	9	-14		0	-40
10	34	35	10	-34		7	38	12		22	13	-12		-18	30
11	5	42	12	35		-12	-34	20		-24	-40	-10		30	6
12	38	40	8	8		-10	36	-9		22	12	-32		-14	32
13	11	32	36	33		-7	12	0		-12	18	-17		18	36
14	12	37	8	38		9	-39	-12		0	-26	-30		-18	-37
15	-8	40	16	40		-8	40	22		33	20	-27		0	30
16	11	16	32	37		34	18	22		14	30	10		30	12
17	34	-17	12	10		34	-36	-10		18	20	20		25	25
18	48	38	7	-10		-14	38	10		-20	12	26		40	26
19	5	42	12	35		-12	-34	20		-24	-40	-10		30	6
20	36	35	11	19		-15	-30	-8		15	20	-23		-26	-18
21	37	10	36	9		38	14	20		12	32	-10		42	9
22	-8	39	-22	31		17	16	20		10	40	-14		28	6
23	13	32	28	38		-10	4	20		11	14	-15		-25	-20
24	38	40	8	8		-10	36	-9		22	12	-32		-14	32
25	11	32	36	33		-7	12	0		-12	18	-17		18	36
26	12	37	8	38		9	-39	-12		0	-26	-30		-18	-37
27	42	7	-40	14		35	12	8		-28	-25	-19		0	25
28	-8	40	16	40		-8	40	22		33	20	-27		0	35
29	40	25	8	40		-16	-36	-15		-26	-18	-15		25	12
30	8	38	38	38		8	10	30		26	28	-26		11	5

Таблица 5—Данные к задаче 11

Вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
АК КВ	2:3	4:1	5:3	3:4	2:3	5:1	2:5	7:2	8:3	2:3	1:7	2:5	3:4	1:6	2:5
Вар	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
АК КВ	1:5	6:1	3:2	5:2	5:3	1:4	1:6	3:1	2:5	7:2	1:3	4:3	3:5	1:6	2:5

Задание плоскости на эпюре. Следы плоскости

Теоретическая часть

Плоскость может быть задана в пространстве следующими геометрическими элементами:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

3. двумя пересекающимися прямыми;

4. двумя параллельными прямыми;

5. следами.

В частном случае прямые, задающие плоскость, могут лежать в плоскостях проекций. Тогда эти прямые называют следами плоскости, потому что по этим прямым задаваемая ими плоскость пересекается с плоскостями проекций.

Линию пересечения заданной плоскости с горизонтальной плоскостью проекций П₁называют горизонтальным следом плоскости.

Линию пересечения заданной плоскости с фронтальной плоскостью проекций П₂называют фронтальными следом плоскости.

Линию пересечения заданной плоскости с профильной плоскостью проекций П₃называют профильныт следом плоскости.

Точки пересечения следов плоскости называют точками схода следов плоскости,они всегда принадлежат осям X,Y, Z.

Плоскость, произвольно наклоненную к плоскости проекции, называют плоскость общего положения.

Плоскость, перпендикулярную к горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтально-проецирующей плоскостью.

Плоскость, перпендикулярную к фронтальной плоскости проекций, называют фронтально-проецирующей плоскостью.

Плоскость, перпендикулярную к профильной плоскости проекций, называют профильно-проецирующей плоскостью.

Плоскость, проходящую через ось Х и расположенную под углом 45⁰к плоскостям проекций, называют биссекторной плоскостью.

Плоскость параллельную одной из плоскостей проекций, называют плоскостью уровня(горизонтальная, фронтальная, профильная).

Вопросы к занятию

1. Как задается плоскость на эпюре?

2. Что называется следом плоскости?

3. Что такое проецирующая плоскость?

4. Являются ли следы плоскости фронталью и горизонталью?

5. Почему углы между следами плоскости на эпюре и в пространстве не равны друг другу?

6. Что общего в различных способах задания плоскости ?

7. В чем состоит главная особенность проецирующих плоскостей?

Задания

Задача 12.Изобразить эпюры плоскостей заданных тремя точками, прямой и точкой, параллельными и пересекающимися прямыми (позиционно).

Задача 13.Построить следы плоскости, заданной треугольником АВС. Координаты вершин приведены в таблице 6.

Задача 14.Перейти от задания плоскости Р следами к заданию ее пересекающимися прямыми общего положения. Координаты взять из таблицы 6.

№ вар	А				В				С				К				D				Плоскость Р
	x	У	z	x		У	z	x		У	z	x		У	z	x		У	z	Рx		РУ	rz
1	117	90	9	52		25	70	0		83	48	68			85	135		19	36	120		90	80
2	120	90	10	50		25	80	0		85	50	70		-	85	135		20	35	130		95	10
3	115	90	10	52		25	80	0		80	45	65		-	80	130		18	35	120		90	80
4	120	92	10	50		20	75	0		80	46	70		-	85	135		20	32	120		80	80
5	117	9	90	52		79	25	0		48	83	68		-	110	135		36	19	120		80	90
6	115	7	85	50		80	25	0		50	85	70		-	110	135		40	20	120		90	80
7	120	10	90	48		82	20	0		52	82	65		-	110	136		38	20	130		90	10
8	116	8	88	50		78	25	0		46	80	70		-	108	135		36	20	120		95	70
9	115	10	92	50		80	20	0		50	85	70		-	110	135		35	20	120		100	80
10	18	10	90	83		79	25	135		48	83	67		-	110	0		36	19	140		100	15
11	20	12	92	85		80	25	135		50	85	70		-	110	0		35	20	140		100	15
12	15	10	85	80		80	20	130		50	80	70		-	108	0		35	20	140		90	80
13	16	12	85	85		80	25	130		50	80	72		-	110	0		30	15	140		95	15
14	18	12	85	85		80	24	135		50	80	70		-	110	0		35	20	140		85	10
15	18	90	10	83		25	79	135		83	48	67		-	85	0		19	36	140		100	10
16	18	40	75	82		117	6	135		47	38	67		-	0	0		111	48	140		90	10
17	18	79	40	83		6	107	135		38	47	67		-	20	0		48	11	140		100	90
18	117	75	40	52		6	107	0		38	47	135		-	20	68		48	111	120		100	90
19	117	40	75	52		107	6	47		38	135	20		-	0	68		111	48	120		90	85
20	120	38	75	50		108	5	0		54	40	135		-	0	70		110	50	130		85	90
21	122	40	45	50		110	8	0		50	40	140		-	0	70		110	50	135		85	90
22	20	40	10	85		110	80	135		48	48	70		-	85	0		110	35	140		90	10
23	20	10	40	85		80	110	135		48	48	70		-	20	0		35	110	140		95	15
24	117	40	9	52		111	79	0		47	48	68		-	85	135		111	34	125		90	10
25	117	9	40	52		79	111	0		48	47	65		-	20	135		36	111	125		80	65

Принадлежность прямой и точки заданной плоскости

Теоретическая часть

Прямаяпринадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью две общие точки или следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

Горизонтальюплоскости называют прямую, лежащую в этой плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций.

Фронтальюплоскости называют прямую, лежащую в этой плоскости и параллельную фронтальной плоскости проекций.

Линией наибольшего скатаплоскости называют прямую, лежащую в этой плоскости, которая перпендикулярна произвольной горизонтали плоскости или ее горизонтальному следу.

Эти прямые называют главными линиямиплоскости.

Горизонталь плоскости и горизонтальный след плоскости между собой параллельны; следовательно проекция горизонтали параллельна одноименной проекции горизонтального следа плоскости (горизонтальному следу).

Аналогичный вывод можно сделать в отношении фронтали и фронтального следа плоскости.

Линия наибольшего ската плоскости и горизонтальный след плоскости между собой перпендикулярны. Отсюда: горизонтальная проекция линии наибольшего ската плоскости перпендикулярна горизонтальному следу плоскости (точнее, горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости).

Точкапринадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей этой плоскости. Любая точка, лежащая на горизонтальном, фронтальном или профильном следе плоскости, принадлежит соответствующей плоскости проекций.

Вопросы к занятию

1. Как определить на эпюре, принадлежит ли прямая заданной плоскости?

2. Как построить на эпюре точку, принадлежащую данной плоскости?

3. Как располагаются на эпюре проекции главных линий плоскости общего положения?

4. Как определить угол наклона заданной плоскости к горизонтальной плоскости проекций П₁?

5. Как провести на эпюре через заданную прямую проецирующую плоскость?

Задания

Задача 15.По заданным в таблице 6 координатам, построить проекции треугольника АВС и точки К. Достроить недостающую проекцию точки К, принадлежащей плоскости треугольника.

Задача 16.В плоскости треугольника АВС построить горизонталь, проходящую через точку А, и фронталь, проходящую через точку В.

Задача 17.В плоскости треугольника АВС построить линию наибольшего ската и определить угол наклона заданной плоскости к плоскости проекций П₁.

Задача 18.Определить, принадлежит ли точкаD плоскости Р (данные из таблицы 6).

Пересечения: двух плоскостей; прямой и плоскости

Теоретическая часть Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямая линия в пространстве определена, если известны одна точка этой прямой и ее направление или же две точки этой прямой.

Отсюда следует, что найти прямую пересечения двух плоскостей означает найти две точки общие для пересекающихся плоскостей или же найти одну такую точку и направление прямой.

В частном случае точками искомой прямой могут служить следы этой прямой.

Следы прямой пересечения двух плоскостей находятся на пересечении одноименных следов этих плоскостей.

Если прямая пересечения имеет единственный горизонтальный след, то эта прямая параллельна фронтальной плоскости проекций (фронталь); в частном случае она может быть перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁.

Если прямая пересечения имеет единственный фронтальный след, то эта прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций (горизонталь); в частном случае она может быть перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2.

Если прямая пересечения имеет единственный профильный след, то эта прямая параллельна оси ОХ.

Если одноименные следы плоскостей в пределах чертежа не пересекаются, необходимо найти одну или две произвольныеточки, принадлежащие прямой пересечения заданных плоскостей.

Для определения произвольной точки, принадлежащей прямой пересечения двух плоскостей, удобно пользоваться вспомогательной плоскостью (чаще плоскостью уровня).Пересечение прямой с плоскостью

Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью следует выполнить следующие построения (рисунок 16).

Рисунок 16 — Пересечение прямой АВ с плоскостью Р

1. заданную прямую АВ заключают во вспомогательную плоскость частного положения Q (лучше в проецирующую);

2. находят прямую MN пересечения плоскостей - заданнойP и вспомогательнойQ;

3. определяют точку К пересечения заданной прямой АВ с полученной линией пересечения MN.

После нахождения точки пересечения прямой с плоскостью, методом конкурирующих точек определяют видимость прямой.

Вопросы к занятию

1. Как построить на эпюре проекции линии пересечения плоскостей ,

заданных следами?

2. Как построить на эпюре проекции линии пересечения плоскостей, следы которых в пределах поля чертежа не пересекаются?

3. Как построить проекции линии пересечения плоскостей, у которых два одноименных следа пересекаются, а два других параллельны?

4. Как построить проекции линии пересечения плоскостей, не заданных следами?

5. Как определяется видимость проекций пересекающихся плоскостей?

6. Какую вспомогательную плоскость необходимо использовать при определении точки пересечения прямой и плоскости?

Пример 4

На рисунке 17 показано построение точки пересечения прямой АВ с плоскостью общего положения Р.

Рисунок 17 — Построение точки пересечения

Решение.Через прямую АВ проводим вспомогательную плоскость частного положенияQ (фронтально-проецирующую). Строим линию пересечения плоскостейP иQ (линияMN). Находим точку К пересечения линииMN и прямой АВ. Это и будет искомая точка пересечения прямой АВ с плоскостью Р. По конкурирующим точкам 1,2 и3,N определяем видимость прямой.

Задания

Задача 19.По заданным в таблице 6 координатам найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью общего положения Р. Определить видимость прямой.

Задача 20.Построить линию пересечения треугольника АВС с плоскостью общего положения Р. Определить видимость плоскостей (данные из таблицы 6).

Параллельность и перпендикулярность объектов

Теоретическая часть

Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости можно провести прямую, параллельную заданной прямой (рисунок 18).

D

Рисунок 18 — Параллельность прямой и плоскости

Две плоскости, заданные следами, взаимно параллельны, если их одноименные следы между собой параллельны.

Обратная теорема не всегдасправедлива в системе плоскостей П₁и П₂. Например, две профильно-проецирующие плоскости взаимно параллельны только тогда, когда их профильные следы между собой параллельны.

Главные линии - горизонтали и фронтали - двух параллельных плоскостей между собой параллельны. Этой особенностью главных линий параллельных плоскостей удобно пользоваться для выяснения параллельности двух плоскостей, когда одна из плоскостей или обе плоскости заданы не следами (нахождение следов плоскости необязательно).

Параллельность плоскостей можно проверить и при помощи произвольных прямых.

Пример 5

Рисунок 20 — Перпендикуляр к плоскости

х

Построить горизонтальную проекцию прямой DK, которая параллельна плоскости треугольника АВС (рисунок 19).

Рисунок 19 — Построение параллельной прямой

Решение.Используя известное направление фронтальной проекции прямойDK, строят в плоскости треугольника прямую 1₂2₂, параллельную заданнойD₂K₂. По линиям связи достраивают горизонтальную проекцию 1₁2₁ и параллельно ей проводят искомую проекциюD1K1.

Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости (рисунок 20).

В качестве таких прямых всегда выбирают фронталь £_и горизонталь h плоскости или ее следыP₂ и Р₁. Если прямая перпендикулярна плоскости, заданной следами, то проекции этой прямой перпендикулярны соответствующим следам плоскости, вместе с тем горизонтальная проекция прямой перпендикулярна также горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. На рисунке 20 проекции перпендикуляра из точекD1 иD2 проведены под прямыми углами к следам плоскости Р.

Этой особенностью проекций главных линий плоскости, перпендикулярных к прямой, следует пользоваться в следующих случаях:

1. выяснение перпендикулярности прямой к плоскости, заданной не следами, без определенияследов плоскости;

2. построение перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость, заданную не следами.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Вопросы к занятию

1. Как проверить на эпюре, параллельны ли заданные плоскости?

2. Как проверить на эпюре, параллельны ли прямая и плоскость?

3. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?

4. Будут ли две плоскости взаимно перпендикулярны, если одноименные следы их перпендикулярны?

5. Как определить на эпюре перпендикулярность прямой и плоскости?

6. Какими пересекающимися прямыми задается плоскость, перпендикулярная к прямой общего положения?

30

Пример 6

Определить расстояние от точки D до плоскости общего положения Р (рисунок 21).

Рисунок 21 — Расстояние от точки до плоскости

Решение.Из точкиD на заданную плоскость Р опускают перпендикуляр. В этом случае горизонтальная проекция перпендикуляраD₁K₁ должна быть перпендикулярна горизонтальному следу плоскости Р₁или любой горизонтали, а фронтальная проекцияD₂K₂ перпендикулярна фронтальному следу Р₂или любой фронтали. Находят точку К пересечения построенного перпендикуляра с плоскостью Р (схема решения примера 4). Затем определяют натуральную величину полученного отрезкаDK методом прямоугольного треугольника (схема решения примера 3).

31

Задания

Задача 21.По заданным в таблице 6 координатам, построить горизонтальную проекцию прямойDK, параллельной плоскости треугольника АВС.

Задача 22.Даны прямые АВ и СD. Провести через прямую АВ плоскость, параллельную прямойCD (данные из таблицы 6).

Задача 23.Через точку А провести плоскостьR, параллельную плоскости треугольникаDBC, и задать ее следами (данные из таблицы 6).

Задача 24.Определить расстояние от точки А до плоскости общего положения Р, заданной следами.

Задача 25.Построить следы плоскости Т, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

Задача 26.Определить недостающую проекцию точки К, отстоящей от плоскости треугольника АВС на расстоянии 30 мм (данные из таблицы 6).

Задача 27.В плоскости Р построить прямую, равноудаленную от точек А и В (данные из таблицы 6).

Способ перемены плоскостей проекций

Теоретическая часть

Сущность этого способа преобразования эпюра состоит в следующем: 1) положение объекта в пространстве не меняется, а изменяется положение плоскостей проекций; 2) сохраняется взаимная перпендикулярность плоскостей проекций; 3) при замене фронтальной плоскости проекций П₂ сохраняются координатыZ объекта, а при замене горизонтальной плоскости П₁сохраняются координатыY. Новые плоскости проекций П₄, П₅и П₆,П₇ располагают таким образом, чтобы объект занял одно из двух частных положений: или параллельно, или перпендикулярно к этим плоскостям.

Необходимо помнить, что:

1. прямая общего положения первой заменой плоскости П4должна быть преобразована в прямую уровня, а второй заменой плоскости П5в проецирующую прямую;

2. плоскость общего положения сначала преобразуется в проецирующую, а затем в плоскость уровня.

Вопросы к занятию

1. Как изображается на эпюре положение новой плоскости проекций?

2. Как обозначается система плоскостей проекций при их замене?

3. Как располагаются линии связи в новых системах плоскостей ?

4. Сколько дополнительных плоскостей проекций надо ввести, чтобы определить натуральную величину фигуры общего положения?

5. Сколько дополнительных плоскостей проекций надо ввести, чтобы прямую общего положения преобразовать в линию уровня?

33

Пример 7

Прямую CD преобразовать в проецирующую (рисунок 22).

Рисунок 22 — Преобразования прямой

Решение.Для преобразования прямойCD во фронтально- проецирующую необходимо произвести две замены плоскостей. Сначала вводим дополнительную горизонтальную плоскость П4параллельно прямойCD, чтобы она стала горизонталью. Для этого проводим ось П4/П2(в любом месте) параллельно проекцииC2D2 и переносим постоянные координатыY (отрезки, отмеченные / и //) в новую систему плоскостей. Получим новую горизонтальную проекциюC4D4. Вторую дополнительную фронтальную плоскость П5вводим перпендикулярно горизонтали. Для этого проводим ось П5/П4 (в любом месте) перпендикулярно проекцииC4D4 и переносим постоянные координатыZ (отрезки, отмеченные 0) в новую систему плоскостей. А так как эти координаты у горизонтали равны, то проекцииC5 иD5 получаются в одной точке (совпадают), что и требовалось доказать. В нижней части рисунка 22 показано преобразование прямой в горизонтально- проецирующую.

34

Пример 8

Преобразовать плоскость общего положения, заданную А АВС, в проецирующую (рисунок 23).

Рисунок 23 — Преобразования плоскости

Решение.Плоскость становится проецирующей, если ее главная линия (фронталь или горизонталь) будет проецирующей. Поэтому, сначала проводим фронталь АЕ. Затем вводим дополнительную горизонтальную плоскость П₄перпендикулярно фронтали. Для этого проводим ось П₂/П₄ перпендикулярно фронтальной проекции фронтали А₂Е₂и по линиям связи переносим постоянные координатыY (отрезки, отмеченные о д) в новую систему плоскостей. Полученные точки А4,В4,С4обязательно будут лежать на прямой. То есть плоскость ДАВС стала горизонтально-проецирующей. В нижней части рисунка 23 показано преобразование плоскости треугольника во фронтально-проецирующую.

Задания

Задача 28.ПрямуюCD преобразовать в горизонтально - проецирующую. Координаты точекC иD взять из таблицы 7.

Задача 29.ПрямуюCD преобразовать во фронтально-проецирующую. Координаты точекC иD взять из таблицы 7.

Таблица 7 — Данные к задачам 28 и 29

^^Варианты			1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14		15
Точки^\		16		17		18		19		20		21		22		23		24		25		26		27		28		29		30
координат^\
	X	46		50		52		54		56		39		41		43		45		47		49		51		53		55		57
С	Y	8		10		12		14		16		1		3		5		7		9		11		13		15		17		19
	Z	7		9		11		13		15		17		2		4		6		8		10		12		14		16		18
	X	7		8		9		10		11		12		13		14		15		16		17		18		9		10		12
D	Y	16		18		20		22		24		13		15		17		19		21		23		25		27		11		9
	Z	14		16		18		20		22		24		26		28		30		32		34		31		21		19		40

Задача 30.Преобразовать плоскость А АВС в горизонтально - проецирующую. Построить третью проекцию ААВС. Координаты вершин ААВС взять из таблицы 8.

Задача 31.Преобразовать плоскость А АВС во фронтально- проецирующую. Построить третью проекцию ААВС. Координаты вершин ААВС взять из таблицы 8.

Задача 32.Определить натуральную величину треугольника АВС методом перемены плоскостей проекций. Координаты вершин ААВС взять из таблицы 8.

Таблица 8 — Данные к задачам 30,31 и 32

Варианты	Xa	Ya	Za	Xb	Yb	Zb	Xc	Yc	Zc
1, 16	71	59	9	30	18	81	0	26	56
2, 17	73	58	10	32	26	80	0	27	43
3, 18	70	57	10	31	31	70	0	28	50
4, 19	72	56	70	28	28	10	0	29	40
5, 20	74	12	75	27	42	20	0	64	35
6, 21	68	9	90	26	39	10	0	69	61
7, 22	67	13	65	25	29	20	0	54	44
8, 23	66	10	80	24	61	26	0	36	53
9,24	18	11	72	70	59	24	0	34	44
10, 25	20	11	70	68	56	20	75	36	45
11, 26	15	10	66	66	55	18	75	38	42
12, 27	16	12	71	72	54	21	74	40	46
13, 28	18	12	80	69	52	24	73	43	54
14, 29	17	70	34	73	29	63	71	61	52
15, 30	14	30	62	4	61	24	68	48	46

Задача 33.Преобразовать плоскость общего положения Р в горизонтально-проецирующую (следы Р₂и Р₅на рисунке 24). Углы наклона следов а и р плоскости Р взять из таблицы 9.

Задача 34.Преобразовать плоскость общего положения Р во фронтально-проецирующую (следы Р₁и Р₄на рисунке 24). Углы наклона следов а и р плоскости Р взять из таблицы 9.

Рисунок 24 — Способы преобразования Таблица 9 — Углы наклона следов Р₁ и Р₂ к оси Х (в градусах)

Углы	Ва]								рианты
наклона	1	2	3	4	5	6	7	8		9	10	11	12	13	14	15
	16	17	18	19	20	21	22	23		24	25	26	27	28	29	30
b для Р1	10	15	20	25	30	35	40	45		50	55	60	65	70	10	20
a для Р2	20	25	30	35	40	45	50	55		60	65	70	75	80	85	15

Способ плоскопараллельного перемещения (без указания осей вращения)

Теоретическая часть

Плоскопараллельным перемещением называется такое перемещение, при котором все точки объекта движутся в плоскостях, параллельных одной из плоскостей проекций П₁или П₂.

Сущность этого способа преобразования эпюра состоит в следующем: 1) система плоскостей проекций П₁и П₂остается неизменной, а изменяется положение самого объекта; 2) при всяком перемещении точки А в плоскости Р, параллельной плоскости проекций П₁, ее фронтальная проекция А₂ перемещается по фронтальному следу этой плоскости (Р₂); 3) при всяком перемещении объекта (прямой или треугольника), параллельно плоскости проекций П1,фронтальные проекции точек объекта (две или три) перемещаются по прямым параллельным оси Х (т. е. в горизонтальных плоскостях); 4) вследствие этого наклон объекта к плоскости П1не меняется и, поэтому, размер горизонтальной проекции остается неизменным, а размер фронтальной проекции непрерывно меняется; 5) неизменность проекции объекта на плоскости П1в сочетании с направлениями перемещения точек объекта на плоскости П2позволяет построить фронтальную проекцию объекта, переведенного из общего положения в частное. Для нахождения натуральной величины отрезка прямой необходимо одно перемещение, а для треугольника два.

Вопросы к занятию

1. Какая проекция объекта не изменяет своего размера, если все его точки перемещаются во фронтальных плоскостях?

2. Параллельно какой плоскости проекций надо выбрать плоскости перемещения точек, чтобы прямая общего положения стала горизонталью?

3. Какую прямую выбирают в плоскости общего положения при преобразовании ее в проецирующую?

4. Параллельно какой плоскости проекций надо выбрать плоскости перемещения точек, чтобы плоскость общего положения преобразовать во фронтально-проецирующую?

Пример 9

Отрезок АВ преобразовать в горизонтально-проецирующую прямую (рисунок 25).

Рисунок 25. — Перемещения прямой

Ai

Решение.Необходимо выполнить два перемещения.

1. На первом этапе отрезок АВ общего положения преобразуем во фронталь при помощи горизонтальных плоскостей перемещения. Для этого располагаем в любом месте эпюра горизонтальную проекцию А1В1 параллельно оси Х, не изменяя ее размера. А так как точки А и В расположены в горизонтальных плоскостях, то их фронтальные проекции А2 и В2 перемещаются параллельно оси Х. В пересечении горизонтальных и

вертикальных линий связи определяем новые фронтальные проекции А2 и

В2. Соединив их, получим натуральную величину фронтали (Н В).

2. На втором этапе преобразуем в прямую перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций П₁при помощи фронтальной плоскости

перемещения. Для этого располагаем в любом месте эпюра фронтальную

проекцию А2 в2 перпендикулярно оси Х, не изменяя ее размера. Находим

горизонтальную проекцию А? В? в виде точки.

Пример 10

Плоскость Р, заданную следами, преобразовать во фронтально- проецирующую (рисунок 26).

Рисунок 26 — Перемещение следов плоскости Решение.Необходимо выполнить одно перемещение. Проводим в плоскости Р произвольную горизонталь через точку 1 (1_ь1₂) и перемещаем ее в горизонтальной плоскости так, чтобы она стала фронтально-проецирующей. Для этого задаем на оси Х произвольную

точку 1? и проводим через нее проекцию h₁ перпендикулярно оси Х, а

фронтальная проекция горизонтали сливается в точку 1^?2(фронтальный след). При таком перемещении размерl не изменяется. Отложив это

расстояние, проводим горизонтальный след Р1^?параллельноh1, а затем проводим фронтальный след Р2через точки РХ и 12.

Пример 11

Плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, преобразовать в горизонтальную (рисунок 27).

Решение.Необходимо выполнить два перемещения.

1. На первом этапе треугольник АВС преобразуем во фронтально- проецирующий при помощи горизонтальных плоскостей перемещения. Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь С1 и строим в любом месте эпюра новую горизонтальную проекцию А₁В₁С_ьравную А₁В₁С₁, так, чтобы горизонтальная проекция горизонтали С₁1₁стала перпендикулярной плоскости П₂. Фронтальные проекции А₂, В₂, С₂вершин треугольника будут перемещаться по горизонтальным прямым, которые являются следами горизонтальных плоскостей, в которых движутся эти точки. Их новые положения А₂, В₂, С₂находим в пересечении горизонтальных прямых с вертикальными линиями связи. Новая фронтальная проекция треугольника получается в виде прямой линии.

2. На втором этапе перемещаем треугольник в положение, параллельное горизонтальной плоскости П₁, используя фронтальные плоскости перемещения. Для этого его фронтальную проекцию А₂В₂С₂ располагаем в любом месте горизонтально. Новые горизонтальные проекции

Рисунок 27. — Перемещения фигуры

Ai A₀

А_?, В_?,С_?вершин треугольника находим в пересечении горизонтальных прямых и вертикальных линий связи. Соединив их, получим натуральную величину треугольника.

41

Задания

Задача 35.Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона его к плоскостям проекций П₁и П₂(данные из таблицы 10).

Задача 36.Отрезок АВ переместить во фронтально-проецирующее положение (данные из таблицы 10).

Задача 37.Определить угол наклона плоскости Р, заданной следами, фронтальной плоскости проекций П₂(данные из таблицы 11).

Задача 38.Определить угол наклона плоскости Р, заданной следами, горизонтальной плоскости проекций П₁(данные из таблицы 11).

Таблица 10 — Данные к задачам 35 и 36

Варианты		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Коорди		16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
наты точек
А и В, мм \
А	Xa	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
	Ya	0	4	6	8	10	12	14	17	1	3	5	7	9	11	13
	Za	0	3	5	7	9	11	13	15	17	2	4	6	8	10	12
В	Xb	5	6	7	8	9	10	11	12	14	16	13	15	18	17	19
	Yb	10	12	14	16	18	20	22	24	11	13	15	17	19	21	23
	Zb	8	10	12	14	16	18	20	24	26	29	17	23	25	31	0

к

к

Углы	Ва								рианты
наклона	1	2	3	4	5	6	7	8		9	10	11	12	13	14	15
	16	17	18	19	20	21	22	23		24	25	26	27	28	29	30
b для Р1	80	75	70	65	60	55	50	45		40	35	30	25	20	15	10
a для Р2	50	45	40	35	70	65	60	30		70	65	45	40	80	75	55

Таблица 1

— Углы наклона следов Р₁и Р₂к оси Х (в градусах)

Задача 39.Плоскость треугольника АВС преобразовать в горизонтальную плоскость уровня и найти центр описанной окружности. Координаты вершин ААВС взять из таблицы 12.

Задача 40.Плоскость треугольника АВС преобразовать во фронтальную плоскость уровня и найти центр вписанной окружности. Координаты вершин ААВС взять из таблицы 12.

Вариант			XA		YA		ZA		XB		YB		ZB		XC		YC		Zc
1	16	117		90		9		52		25		79		0		83		48
2	17	120		90		10		50		25		80		0		85		50
3	18	115		90		10		52		25		80		0		80		45
4	19	120		92		10		50		20		75		0		80		46
5	20	117		9		90		52		79		25		0		48		83
6	21	115		7		85		50		80		25		0		50		85
7	22	120		10		90		48		82		20		0		52		82
8	23	116		8		88		50		78		25		0		46		80
9	24	115		10		92		50		80		25		0		50		85
10; 25			18		10		90		83		79		25		135		48		83
11; 26			20		12		92		85		80		25		135		50		85
12; 27			15		10		85		80		80		20		130		50		80
13; 28			16		12		88		85		80		25		130		50		80
14; 29			18		12		85		85		80		25		135		50		80
15; 30			18		90		10		83		25		79		135		83		48

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Теоретическая часть

Сущность этого способа заключается в том, что плоскости проекций остаются неподвижными, а объект вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, сохраняя неизменным угол наклона к этой оси. При этом надо помнить, что при вращении объекта каждая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

На рисунке 28 показано вращение точки А вокруг оси i ± П₁на угол у по часовой стрелке. Горизонтальная проекция А₁двигается по окружности с радиусом С₁А₁, как и сама точка А, а фронтальная проекция А₂перемещается по следу Г₂плоскости вращения Г (т. е. параллельно оси Х). Проведя вертикальную линию связи из точки А1до пересечения со следом Г2, найдем новое положение фронтальной проекции А₂. Если же ось вращения будет фронтально-проецирующей, то плоскость вращения точки будет параллельна фронтальной плоскости проекций.

Рисунок 28 — Вращение точки

44

Вопросы к занятию

1. Каково взаимное расположение оси вращения и плоскости вращения?

2. Как определить центр и радиус вращения точки?

3. Перпендикулярно какой плоскости проекций надо выбрать ось вращения, чтобы прямая общего положения стала фронталью?

4. Перпендикулярно какой плоскости проекций надо выбрать ось вращения, чтобы плоскость общего положения стала горизонтально- проецирующей?

5. Какая проекция объекта не изменяет своих размеров, если ось вращения i 1П₂?

Пример 12

Прямую L повернуть на угол у против часовой стрелки вокруг горизонтально-проецирующей оси i (рисунок 29).

Рисунок 29. — Вращение прямой Решение.Вращение прямойL вокруг проецирующей оси можно рассматривать как вращение двух точек этой прямой 1 2 на один и тот же угол. Горизонтальные проекции этих точек 1₁и 2₁повернуты на угол у вокруг центраi1, а фронтальные проекции 12и 22переместятся по горизонтальным линиям плоскостей вращения в новые положения 12и 22.

45

Пример 13

Построить эпюр плоскости (А АВС), повернутый вокруг фронтально- проецирующей оси I по часовой стрелке на угол ф (рисунок 30).

Рисунок 30. — Вращение плоскости Решение.При вращении треугольника вокруг заданной оси размер его фронтальной проекции не изменяется, т. е. А А₂В₂С₂= А А₂В₂С₂. Поэтому достаточно повернуть на угол ф две точки треугольника, а третью построить по трем сторонам. Горизонтальные проекции в новом положении А_ьСь В1 находятся в пересечении горизонтальных и вертикальных линий связи. Построения значительно упростятся, если ось вращения провести через одну из вершин А АВС. Этот вариант показан в следующем примере.

Пример 14

Преобразовать плоскость А АВС в горизонтальную плоскость уровня (рисунок 31).

Рисунок 31. — Вращение треугольника

Решение.Необходимо выполнить два вращения. Сначала плоскость А АВС привести в положение фронтально-проецирующей, а затем в плоскость уровня.

На первом этапе назначаем ось вращения ^ через вершину В

перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П₁. Проводим в плоскости А АВС горизонталь В1 (В₂1₂, В₁1₁). Вращаем горизонталь вокруг оси на угол ф до положения В₁1₁, перпендикулярного фронтальной плоскости проекций П₂. Строим новую горизонтальную проекцию треугольника из условия равенства: А А₁В₁С₁= А А₁В₁С₁. В пересечении горизонтальных и вертикальных линий связи (смотри стрелки) строим новую фронтальную проекцию треугольника, которая выразится прямой линией С₂В₂А₂. Плоскость треугольника АВС заняла положение фронтально- проецирующей.

На втором этапе назначаем ось вращения t (t₁, t₂) через вершину А перпендикулярно фронтальной плоскости проекций П₂. Вращаем фронтальную проекцию С₂В₂А₂, не изменяя ее размера, до положения А₂°В₂°С₂°, параллельного оси Х. В пересечении горизонтальных и вертикальных линий связи строим новую горизонтальную проекцию

л 0г> 0^ 0

треугольника А1В1С1, которая соответствует его натуральной величине (НВ). Плоскость треугольника АВС заняла положение горизонтальной.