16.5 Приложение рядов к приближенным вычислениям значений функций и интегралов.

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения функций, приближенно вычислять некоторые “неберущиеся” определенные интегралы. Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Вычислить с точностью до.

Имеем . Погрешность приближенияопределяется остатком

Имеем .

, т.е.

.

Пример 2: Вычислить с точностью до.

Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда.

Пример 3: с точностью до . Заменяя в разложении

на , получим.

Подставим этот ряд под знак данного интеграла и почленно интегрируем

Так как знаки чередуются, ряд, удовлетворят теореме Лейбница и .

Пример 4: Вычислить .

.

Эллиптический интеграл

Интегралы, стоящие справа вычисляются элементарно.

Степенные ряды также применяются к вычислению пределов, это часто помогает избавиться от неопределенности.

Пример1:

Пример 2:

Лекции 17. Ряды Фурье.

17.1. Тригонометрическая система функций, ее ортогональность.

17.2. Ряд Фурье. Формулы для вычисления его коэффициентов.

17.3. Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций.

17.4. Сходимость ряда Фурье.

17.5. Разложение функции, заданной на интервале, в косинус и синус ряд Фурье.

17.1.

Функции иназываются ортогональными на отрезке, если

. Система функций называется ортогональной на отрезке , если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом отрезке. Исторически первым и наиболее важным примером ортогональной системы функций, явилась система функций

(1)

на интервале

Легко убедиться в том, что она действительно ортогональная:

при . Аналогично, (при),

(при любых ).

Система (1) ортогональна также на интервале и вообще на любом интервале длины.

По свойству интеграла от нечетных функций

, т.е. система функций - (2)

ортогональна на интервале .

Аналогично проверяется, что система функций

- (3)

ортогональна на интервале .

Если “растянуть” вдоль оси каждую из функций системы (1) враз, мы получим систему функций

(4)

ортогональную на интервале . Подобным образом можно “растянуть” системы функций (2), (3) и, вообще, любую ортогональную систему функций. Применяется также сдвиг ортогональной системы функций вдоль оси абсцисс, отчего она не перестает быть ортогональной на сдвинутом интервале. В заключении отметим, что свойством ортогональности могут обладать не только тригонометрические функции.

17.2

Проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису.

Определение: Ряд вида , (1)

где постоянные числа называются тригонометрическим рядом, - коэффициентами ряда.

Пусть периодическая с периодом функциятакова, что она представляется тригонометрическим рядом (1) сходится к данной функции в интервале, т.е. является суммой этого ряда:

(2)

Проинтегрируем (2) в пределах от до:

Следовательно,

(3)

Можно показать, что Покажем при

при

Умножим (2) на :

и проинтегрируем от до:

или

, откуда

(4)

Умножая (2) наи интегрируя отдо, получаем:

, откуда

(5)

,

Коэффициенты, определенные по формулам (3),(4),(5) называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд такими коэффициентами называется рядом Фурье унции.

Пример: Разложить функцию в ряд Фурье.

17.3

Если функция - четная, то.

Если функция - нечетная, то

Поэтому

1) если в ряд Фурье разлагается нечетная функция , то-нечетная функция,- четная, следовательно

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы (см. пример для ).

2) Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение - нечетная функция, а- четная функция, следовательно

,

т.е. ряд Фурье четной функции содержит только косинусы.

Замечание: Если функция периодическая с периодом, отличным от, то коэффициенты ряда Фурье

а

17.4

Ранее предполагалось, что функция разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд. Если такого предположения не делать, а допустить только, что для функциисуществуют все интегралы,стоящие в правых частях формул для вычисления коэффициентов и составить тригонометрический ряд – ряд Фурье, то встает вопрос, сходится ли этот ряд и если сходится, то будет ли он сходиться к функции, с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Сформулируем достаточное условие представимости функции рядом Фурье.

Теорема Дирихле: Пусть функция на отрезкеудовлетворяет условиям:

1. - непрерывна или кусочно непрерывна (т.е. имеется конечное число точек разрыва первого рода);

2. - монотонна или кусочно-монотонна (т.е. отрезок можно разделить на конечное число отрезков, внутри каждого из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна,

тогда ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равнав точках непрерывности функции равнана концах отрезка.

17.5

Если на отрезке разлагается в ряд Фурье четная функция, то ряд содержит только косинусы, если нечетная функция, то ряд содержит только синусы. Часто возникает задача о разложении в ряд по косинусам или в ряд по синусам функции, заданной на отрезке.

Для разложения в ряд по косинусам дополним определение данной функциитак, чтобы прибыло. В результате получится четная функция (в этом случае говорят: функцияпродолжена с отрезкана отрезокчетным образом.

Тогда для “продолженной” четной функции справедливы все предыдущие рассуждения и, следовательно, коэффициенты Фурье могут быть вычислены по формулам .

В этих формулах фигурируют лишь заданные на значения. Следовательно, при практических вычислениях можно и не осуществлять указанное четное продолжение. Если мы хотим разложить функциюв ряд по синусам, то продолжаем ее с отрезкана отрезокнечетным образом, полагаемпри, тогда получим нечетную функцию, при этом по смыслу нечетности должны. Для продолженной нечетной функции для коэффициентов Фурье:,, так как здесь участвуют лишь значенияна, то фактически продолжение функцииснаможно и не осуществлять. Члены ряда Фурье – периодические функции с периодом. Поэтому если ряд Фурье сходится на отрезке, то он сходится и при всех вещественных значенияхи сумма ряда периодически повторяет с периодомте значения, которые она давала на отрезке. Таким образом, если мы пользуемся рядом Фурье вне отрезка, то мы должны считать, что функцияпродолжена вне этого отрезка периодически с периодом. С этой точки зрения его концыбудут для продолженной таким образом функции точками разрыва, если.

39