При введенных обозначениях уравнение (1) можно записать

L_n[y]=f(x) (a<x<b) (1^/)

Если f(x)=0, то уравнение L_n[y]=0 (a<x<b) (3) – называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Если f(x)0, то уравнение L_n[y]=f(x) (a<x<b) – называется линейное неоднородное дифференциальное уравнением n-го порядка.

Теорема1. Если функции f(x), p₀(x),…p_n-1(x) непрерывны на интервале (a,b) , то дифференциальное уравнение (1) имеет единственное определенное на том же интервале (a,b) решение, удовлетворяющее начальным условиям

y(x₀)=y₀, y^/(x₀)=y^/₀,….,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1)

Теорема 2. Если у₁, …, у_m являются решениями однородного уравнения (3), то их линейная комбинация тоже является решением уравнения (3). (справедливость теории следует из равенства (2)).

Определение. Функции у₁(х), … у_m(х) называются линейно независимыми на (a,b), если знают числа ₁,…,_m, из которых хотя бы одно не равно нулю, что их линейная комбинация

(ахb) (4)

Если тождество (4) выписывается лишь в случае, когда все , то функциям у₁,….у_m называются линейно независимы на (a,b).

Определение. Система из n линейно независимых на (a,b) решений y₁(x),y₂(x),…..y_n(x) однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3) с непрерывным на (a,b) коэффициентами р_j(х) называется фундаментом системы решение (ФРС) этого уравнения.

Чтобы решить множество однородных дифференциальных уравнений n-го порядка (3) с непрерывными коэффициентами р_j(х), надо найти его ФРС, то есть общее решение уравнения (3) имеет вид

(5),

где С_к – произведение постоянных, у_к(х) – частное решение (3), образующее ФРС.

Отметим также, что общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения z(x) и общего решения однородного уравнения:

Решить вопрос о линейной зависимости найденных частных решений уравнения помогают следующие теоремы.

Теорема Если функции y₁(x),…..y_m(x) линейно независимы на (a,b) и имеют производные до (m-1)-го порядка, то определитель

(7)

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначает W(x)=W[y₁,…y_m].

Теорема. Для того чтобы решения y₁(x),…..y_n(x) линейно дифференциального однородного уравнения Ln[y]=0 с непрерывными коэффициентами были линейно независимы на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы вронскиан W[y₁,….,y_n]0 для всех x(a,b).

Пример. Показать, что функции илинейно независимы, тогда

Если в уравнении (3) p_n-1(x)…p₀(x) есть некоторые постоянные числа p_n-1,…..p₀ то уравнение (3) называется линейно однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Все результаты полученные для уравнений 2-го порядка можно обобщить.

Таким образом, для решения однородного уравнения n-го порядка составляем характеристическое уравнение.

(8) kⁿ+p_n-1^n-1+…+p₁k+p₀=0 и находим его корни.

1⁰. Если корни уравнения (8) k₁,….k_n различны, то n функций e^k1x, e^k2x,….,e^knx (9) является решениями уравнения (3) и притом линейно независимы на , то есть образует ФРС. Поэтому общее решение имеет вид:

(10),

где C_j – произведение постоянных.

2⁰. Если k₁ – корень кратности m, то в системе (9) возникает m равных функций e^k1x, e^k2x,….,e^kmx(k₁=…=k_m) и система (9) перестает бить линейно независимой. В этом случае функции e^k1x, e^k2x,….,х^m-1 e^k1x тоже будут решениями уравнения (3), образующими линейно независимыми на любом интервале (a,b) систему.

Замечание. Пункты 1⁰ и 2⁰ остаются верны и в случае если корней есть комплексные. Однако, на практике, в этом случае общему решению стараются придать более удобный вид, содержащий только функции действительные переменного.

3⁰. Если среди корней характерного уравнения k₁,….,k_n корень k_j – комплексный, то среди искомых корней должны быть сопряженный ему корень k_g=-i(gj).

Можно показать, что в этом случае функции e^xcosx и e^xsinx (11) тоже есть решение уравнения (3).

Часто в системе (9) функции e^(+i)x и e^(-)x заменяют на функции (11).

Можно доказать, что таким образом видоизмененная система (3) линейно независима на .

4⁰. Если k₁=+i – комплексный корень кратности m, который составляет решение e^k1x, e^k2x,….,х^m-1 e^k1x (12), то и - корень кратности m, которому соответствует решения (13).

Система решений (12) и (13) на практике чаще заменяют линейно независимыми функциями

Примеры.

При решении линейных неоднородных уравнений n-го порядка, как уже отмечалось, пользуемся теоремой о структуре общего решения. Согласно этой теореме остается отыскать какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Его можно искать с помощью метода неопределенных коэффициентов, пользуясь таблицей (см. таблицу).

№	Вид правой части уравнения.	Корни характерного уравнения.	Вид частного решения.
I	f (x)=Pn(x)	Число «0» не является корнем характерного уравнения. Число «0» - корень кратности k.	z=Qn(x) z=xkQn(x)
II	f(x)=Pn(x)eax	a - не является корнем a - корень кратности k.	z=Qn(x)eax 2. z=xkQn(x)eax
III	f(x)=Pn(x)cosbx+Pm(x)sinbx, n³m	±bi - не является корнем ±bi – корень кратности	1.z=Qn(x)cosbx+Rn(x)sinbx 2.z=xk(Qn(x)cosbx+Rn(x)sinbx)
IV	f(x)=eax(Pn(x)cosbx+Pm(x)sinbx), n³m	a±bi – не является корнем a±bi – корень кратности к	1.z=eax(Qn(x)cosbx+Rn(x)sinbx) 2.z=xkeax(Qn(x)cosbx+Rn(x)sinbx)

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать Теорему наложения решений. Частное решение уравнения L_n[y]=f₁(x)+f₂(x) равно сумме частных решений уравнений L_n[y]=f₁(x0) и L_n[y]=f₂(x), то есть z=z₁+z₂

Пример. y^//-2y^/+y=x²+e^x

Тогда z=x²+4x+6+x²e^x

y=(C₁+C₂x)e^x+x²+4x+6+x²e^x

Замечание. Метод неопределенных коэффициентов при определении частного решения линейно неоднородного уравнения применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет специальный вид. Более общим методом отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n- го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если уравнения являются метод вариации произвольных постоянных.

Отыскание частного решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Пусть дано неоднородное уравнение n- го порядка

Ln[y]=y⁽ⁿ⁾+P_n-1y^(n-1)+…+P₀y=f(x) (1)

Где P_i=P_i(x) и f(x) – заданные неопределенные функции на множестве (a,b).

И пусть известна ФРС y₁(x),…y_n(x) соответственного однородного уравнения Ln[y]=0 (2).

Решение неоднородного уравнения (1) можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение однородного уравнения (2).

По этому методу общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

y(x)=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂+…+C_n(x)y_n,

где функции C₁(x), …, C_n(x) определяются из системы

В частности, для уравнения второго порядка имеем систему

Пример.

y^//-3y^/+2y=e^3x

k²-3k+2=0

k₁=1, k₂=2

y^-=C₁e^x+C₂e^2x

C₁^/(x)=-e^2x



C₂^/(x)=e^x

Тогда z=-e^2xe^x+e^xe^2x=e^3x

Общее решение исходного уравнения: y= C₁e^x+C₂e^2x+e^3x