Рекомендуемая литература

[1] глава 13 пп 13.1 - 13.2.

[2] часть 2, глава IV § 1.

[3] глава 10 §§ 60 – 61.

[4] часть III занятие 17.

[5] глава 6 §§ 6.1-6.2.

[6] глава 15 § 1.

[7] глава XV §1.

Примеры решения типовых задач

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Переписав уравнение в виде , замечаем, что оно линейное. Его общее решение будем искать в виде, где,,.

Тогда , или

. (*)

Будем искать функцию такую, чтобы. Получили уравнение с разделяющимися переменными, решая его, имеем . Проинтегрировав, получаем . Выберем любую из функций полученного класса решений, например, если, то. Подставляя найденноев уравнение (*), получаем ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем. Следовательно,. Наконец находим общее решение исходного уравнения, т.е..

2. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение Бернулли. Для его решения применим метод рассмотренный в предыдущей задаче. Пусть , где,,. Тогда,

, .

Решаем уравнение с разделяющимися переменными .

Отсюда , ,. Возьмем, тогда, , , . Интегрируя последнее уравнение, получаем ,,. Следовательно,- общее решение данного уравнения.

3. Решите дифференциальное уравнение .

Решение. Пусть , ,тогда , , то есть. Следовательно,левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции, то есть, . Проинтегрируемпо :

.

Найдем функцию , продифференцировав последнее выражение по:, тогда. Тогда, то есть. Таким образом,общее решение

,или.

4. Решите дифференциальное уравнение

.

Решение. Имеем , ,

, . Тогда , следовательно, данное уравнение им интегрирующий множитель, зависящий только от:.

Умножая данное уравнение на, получаем уравнение

.

Обозначим , ,

, , т.е. . Таким образом, мы свели данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах. Далее дорешайте уравнение самостоятельно, опираясь на предыдущий разобранный пример.

Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями

1. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка, запишите его общий вид.

2. Расскажите о решении линейного дифференциального уравнения первого порядка. Укажите, какая замена используется при его решении, к каким типам уравнений сводится решение линейного уравнения в результате сделанной замены.

3. Запишите дифференциальное уравнение линейное по переменной .

4. Дайте определение дифференциального уравнения Бернулли. Как свести уравнение Бернулли к линейному дифференциальному уравнению.

5. Расскажите о методе решения уравнения Бернулли.

6. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Почему это уравнение носит подобное название.

7. Расскажите, как найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

8. В каких случаях уравнение может быть сведено к уравнению в полных дифференциалах?

9. Составьте в рабочей тетради таблицу, отражающую типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения.

Название дифференциального уравнения	Общий вид дифференциального уравнения	Подстановка или алгоритм решения	К какому типу дифференциального уравнения сводится