Рекомендуемая литература

[1] глава 13 пп 13.1 - 13.2.

[2] часть 2, глава IV § 1.

[3] глава 10 §§ 60 – 61.

[4] часть III занятие 17.

[5] глава 6 §§ 6.1-6.2.

[6] глава 15 § 1.

[7] глава XV §1.

Примеры решения типовых задач

1. По общему решению дифференциального уравнения определите порядок исходного уравнения и найти частное отвечающее условиям.

Решение. Так как в общем решении дифференциального уравнения две постоянных, то это решение дифференциального уравнения 2-го порядка. Продифференцируем заданное решение: .Подставляя начальные условия ,, в результате получаем систему для определения постоянных, входящих в общее решение:. Решая систему, находим,.

Таким образом, - искомое частное решение.

2. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Перепишем его в виде ,.Далее учитывая, что , получаем, или.Интегрируем последнее уравнение . Вычислим интеграл, стоящий в левой части уравнения:

При нахождении интеграла воспользовались разбиением подынтегральной дроби на элементарные дроби:

.

Тогда решение данного дифференциального уравнения принимает вид , или.

3. Найдите частное решение дифференциального уравнения отвечающее начальному условиюпри.

Решение. Разделяя переменные, интегрируем уравнение:

.

Воспользуемся начальными условиямидля нахождения константы:

, .

Тогда - частное решение данного уравнения.

4. Определите вид и найдите общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение является однородным, так как функции иявляются однородными функциями одного измерения 2. Действительно, и.

Для решения уравнения выполним подстановку , тогда. Следовательно, ,,. Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим. Далее,,,. Учитывая, что, получаем,,. Окончательно имеем- общее решение данного дифференциального уравнения.

5. Покажите, что уравнение можно свести к однородному дифференциальному уравнению первого порядка.

Решение. Так как определитель, то с помощью подстановки, гдерешение системы, уравнение можно свести к однородному. Решая систему, находим, тогда имеем подстановку, откуда. Переходя к новым переменным в уравнении, получим,. Переписав последнее уравнение в виде, несложно убедиться, что оно однородное. Сделав замену, можно привести это однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными (проделайте эту замену самостоятельно и дорешайте уравнение).

6. Решите уравнение .

Решение. Так как определитель , то выполним замену . Тогда , следовательно . Далее , , . Интегрируем последнее уравнениеи получаем. Учитывая, что, находим - общее решение данного уравнения.

Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями

1. Дайте определение дифференциального уравнения, его порядка. Запишите общий вид дифференциального уравнения первого и n-го порядков.

2. Введите понятия общего и частного решений дифференциального уравнения. Расскажите, как из общего решения получить частное решение уравнения. Как по общему виду общего решения дифференциального уравнения определить его порядок.

3. Расскажите о задачах, приводящих к понятию дифференциального уравнения.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися и разделенными переменными. Расскажите порядок решения уравнения с разделяющимися переменными.

5. Повторите таблицу основных интегралов и вспомните основные методы интегрирования, классы интегралов.

6. Введите определение однородной функции и дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Расскажите, как свести решение однородного дифференциального уравнения к решению уравнения с разделяющимися переменными.

7. Расскажите, какие дифференциальные уравнения и как сводятся к однородным дифференциальным уравнениям.