Практические задания

для развития и контроля владения компетенциями

Задания, решаемые в аудитории

Вычислите следующие интегралы:

а) б)в)г)

д) е); ж).

Задания для самостоятельной работы дома

Вычислите следующие интегралы:

а) б); в); г)

д) ; е)ж)з)

и) ; к)л)

Практическое занятие № 29

Тема занятия «Интегрирование иррациональных функций»

Цель занятия: формирование умений и навыков интегрирования иррациональных функций.

Организационная форма занятия: практикум с применением интерактивной доски.

Компетенции, формируемые на занятии:

способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

При формировании этой компетенции в результате изучения дисциплины «Математический анализ» специалист должен знать основные классы интегралов, содержащих иррациональные функции, интегрируемые в элементарных функциях; уметь их интегрировать.

Формирование у будущих специалистов этой компетенций на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать основные цели выполняемой работы;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- вести поиск альтернативных средств и способов решения;

- планировать самостоятельную работу;

- осуществлять самоконтроль за работой, объективно оценивать ее результат.

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Интегрирование иррациональных функций, содержащих квадратный трехчлен.

2. Вычисление интегралов вида ,, , где – рациональная функция,,,… - рациональные числа.

3. Вычисление интегралов , , ,.

4. Интегралы от дифференциального бинома , случаи интегрирования в элементарных функциях.

5. Применение подстановок Эйлера при вычислении интегралов .

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Выясните, в каких случаях интегралы от иррациональных функций интегрируются в элементарных функциях.

2. Составьте таблицу:

Тип интеграла, содержащего иррациональную функцию	Метод вычисления (указать подстановку и к какому типу интеграла сводится)

3. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

Рекомендуемая литература

[1] глава 9 п. 9.4.

[2] глава IX § 3.

[3] глава 8 § 41.

[4] часть III занятие 9.

[6] глава 7 § 6.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Найдите следующие интегралы:

1.

Решение. Этот интеграл содержит корень квадратный из квадратного трехчлена. Преобразуем квадратный трехчлен к виду:

.

Тогда

2.

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения и разобьем данный интеграл на два интеграла:

При вычислении полученных интегралов использовали преобразование дифференциала и прием по выделению полного квадрата, рассмотренный в предыдущем примере.

3.

Решение. Сделаем подстановку , тогдаВ результате получим:

4. .

Решение. Данный интеграл есть интеграл от дифференциального бинома , т.е.

, где . Тогда, так как

, то выполняем подстановку . Далее .

Следовательно,

.

5. .

Решение. Данный интеграл можно вычислить с помощью первой подстановки Эйлера:

.

Теоретические задания

для развития и контроля владения компетенциями

1. Перечислите, в каких случаях интегралы, содержащие элементарные функции интегрируются в элементарных функциях.

2. Расскажите о нахождении интегралов . Какие замены при их вычислении необходимо сделать и к каким табличным интегралам они сводятся?

3. Сформулируйте порядок отыскания интеграла от функции, содержащей квадратный корень из квадратного трехчлена в знаменателе дроби и постоянную величину в числителе.

4. Сформулируйте порядок отыскания интеграла от функции, содержащей квадратный корень из квадратного трехчлена в знаменателе дроби и линейную функцию в числителе.

5. Какие подстановки удобно применить для взятия следующих интегралов:

где - рациональная функция,- целые числа.

6. Расскажите, какие подстановки применяются при вычислении интегралов , , ? К каким табличным интегралам они сводятся?

7. Расскажите о вычислении интегралов от дифференциального бинома . Назовите случаи интегрирования дифференциального бинома в элементарных функциях.

8. Какие способы нахождения интеграла вида можете указать?

9. Расскажите о применении подстановок Эйлера при вычислении интегралов . Сколько существует подстановок Эйлера? В каком случае может применяться каждая из них? Без какой из подстановок можно было бы обойтись? Объясните почему?