Задания для самостоятельной работы дома

1. Разбейте предложенные ниже интегралы на классы

А) – интегралы, вычисляемые непосредственно;

Б) – интегралы, вычисляемые с помощью замены переменных;

В) – интегралы, берущиеся по частям.

; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.

2. В классе Б) укажите интегралы

а) вычисляемые с помощью подстановки ;

б) вычисляемые с помощью подстановки ;

в) вычисляемые с помощью подстановки .

3. В классе В) укажите интегралы

а) дважды берущиеся по частям;

б) трижды берущиеся по частям;

в) сводящиеся к линейному уравнению относительно искомого интеграла.

4. Вычислите по одному интегралу из каждого класса, выделенному в заданиях 1-3.

Практическое занятие № 28

Тема занятия «Интегрирование рациональных функций»

Цель занятия: изучение способов интегрирования рациональных функций и формирование навыков интегрирования.

Организационная форма занятия: компьютерный практикум.

Компетенции, формируемые на занятии:

способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

При формировании этой компетенции в результате изучения дисциплины «Математический анализ» специалист должен знать, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях; уметь интегрировать рациональные функции.

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Интегрирование рациональных функций, содержащих квадратный трехчлен.

2. Интегрирование простейших (элементарных) рациональных дробей.

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие рациональные дроби.

4. Интегрирование неправильных рациональных дробей.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Повторите таблицу основных интегралов и методы интегрирования.

2. Найдите ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

3. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. По указанию преподавателя пройдите тестирование по теме занятия. Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

Рекомендуемая литература

[1] глава 9 п. 9.3.

[2] глава IX § 2.

[3] глава 8 § 40.

[4] часть III занятия 5 - 7.

[5] глава 4 § 4.2.

[6] глава 7 § 5.

[7] глава VII § 5.

[8] глава 6 § 5.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Вычислите предложенные интегралы:

1.

Решение. Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная. Разделив числитель на знаменатель, получим:

.

2.

Решение. Выделяя в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, имеем:

3.

Решение. Преобразуем числитель подынтегральной функции, разобьем интеграл на два интеграла:

4.

Решение. Вначале в подынтегральной функции выделим целую часть:

Для вычисления второго интеграла разложим подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей, пользуясь методом неопределенных коэффициентов:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему: .

Решая систему, найдем что

Тогда,

Окончательно получаем:

Теоретические задания

для развития и контроля владения компетенциями

1. Расскажите о нахождении интегралов вида ;.

2. Как находится интеграл от целой рациональной функции?

3. Какая рациональная дробь называется правильной?

4. Рациональные дроби, какого вида называются элементарными?

5. Как связана правильная рациональная дробь с элементарными дробями? Расскажите, как составляется схема разложения правильной дроби на основные элементарные дроби.

6. Какой способ применяется для разложения правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей?

7. Как интегрируются правильные рациональные дроби? Расскажите порядок нахождения интеграла от правильной рациональной дроби.

8. Как интегрируются неправильные рациональные дроби? Расскажите порядок нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби.

9. Всегда ли можно найти интеграл от рациональной функции?