Практическое занятие № 33

Тема занятия «Плоскость и прямая в пространстве»

Цель занятия: изучение способов задания плоскости и прямой в пространстве.

Организационная форма занятия: практикум с применением интерактивной доски.

Компетенции, формируемые на занятии:

способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

Формирование на занятии у будущих специалистов этой компетенций предполагает знание ими основных понятий аналитической геометрии, определений и свойств геометрических объектов, их уравнений, формулировок утверждений, возможные сферы их приложений; умение составлять уравнения прямой и плоскости, определять взаимное расположение перечисленных геометрических объектов, применять решение этих задач при решении задач математического анализа и задач предметной области; владение математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов.

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Способы задания плоскости.

2. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.

3. Способы задания прямой в пространстве. Различные уравнения прямой.

4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.

5. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте материал лекции по теме занятия и найдите ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями. При необходимости воспользуйтесь рекомендуемой литературой.

2. Рассмотрите способы задания плоскости и прямой в пространстве, выведите различные уравнения плоскости и прямой.

3. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

Дома

1. Закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

2. Выполните ИДЗ № 8 по теме «Плоскость и прямая в пространстве» в соответствии с номером Вашего варианта и сдайте на проверку преподавателю.

3. Подготовьтесь к самостоятельной работе №11 по теме «Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка». Примерный вариант работы можете найти в программе дисциплины.

Рекомендуемая литература

[1] глава 4.

[2] глава III § 1.

[3] глава 2 § 7.

[4] часть I занятия 17- 19.

[6] глава 9 §§ 11 – 13.

[7] глава IX §§ 11 - 13.

Примеры решения типовых задач

1. Даны точки и. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору.

Решение. Воспользуемся уравнением , где- вектор нормали к плоскости,- точка, принадлежащая плоскости. Находим координаты вектора нормали к искомой плоскости: . Подставляем в записанное уравнение:

.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем общее уравнение плоскости:

.

2. Напишите уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точкии.

Решение. Так как плоскость параллельна оси , то общее уравнение плоскостипринимает вид.

Далее, плоскость проходит через точку , следовательно её координаты удовлетворяют искомому уравнению. Получаем уравнение

.

Аналогично, плоскость проходит через точку , следовательно

.

Решаем систему . Умножаем первое уравнение наи прибавляем ко второму, в результате система свелась к ступенчатому виду:.

Пусть , тогда,. Следовательно, получили искомое уравнение плоскости:

или .

3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки ии перпендикулярной плоскости.

Решение. Воспользуемся общим уравнением плоскости:

.

Так как плоскости иперпендикулярны, то перпендикулярны их векторы нормали, следовательно, скалярное произведение векторов нормали равно нулю:

.

Ещё два уравнения получаем, учитывая, что плоскость проходит через точки и:

,

.

Объединяем полученные уравнения в систему:

.

Придавая одной из переменных произвольное значение, например, пусть , находим остальные неизвестные(проверьте самостоятельно). Таким образом, получили уравнение искомой плоскости:

.

4. Приведите к каноническому виду уравнение следующей прямой

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид

,

где - точка на прямой,- направляющий вектор прямой. Данная плоскость задана как линия пересечения двух плоскостей, следовательно искомый вектордолжен быть перпендикулярен векторам нормали этих плоскостейи, следовательно в качествеможно взять векторное произведениеи. Таким образом,

.

Координаты точки , принадлежащей прямой, найдем как какое-нибудь частное решение системы линейных уравнений

Пусть , тогда,. Следовательно, - точка на данной прямой. Подставляем найденный вектори точкув канонические уравнения прямой, получаем искомые уравнения

.

5. Докажите перпендикулярность прямых и

Решение. Для доказательства перпендикулярности прямых достаточно доказать ортогональность их направляющих векторов. Первая прямая задана параметрическими уравнениями, её направляющий вектор . Направляющий вектор второй прямой, заданной как линии пересечения двух плоскостей, найдем как в предыдущей задаче:

.

Для доказательства перпендикулярности находим скалярное произведение векторов

.

Следовательно, заданные прямые перпендикулярны.