Однородные координаты. Задание геометрических преобразований в однородных координатах с помощью матриц

В предыдущей главе описывались геометрические преобразования на плоскости и в пространстве, а также было показано, как можно использовать аппарат матриц для таких задач. Для преобразований на плоскости применялись двумерные векторы и матрицы размерностью . В пространстве, соответственно, с этой же целью использовались трехмерные векторы и матрицы. Но такой подход не позволяет задавать с помощью матриц преобразования переноса и проекции. В связи с этим в проективной геометрии был разработан аппарат, позволяющий унифицировать все геометрические преобразования путем введения так называемыходнородных координат.

Для пояснения такого подхода сначала рассмотрим случай двумерного пространства. Каждая точка плоскости с координатами может одновременно рассматриваться как точка трехмерного пространства с координатами, т.е. как точка, лежащая на плоскости. С другой стороны, каждой точке трехмерного пространствапри условиисоответствует единственная точка этой же плоскости. При этом получается, что каждой точке плоскостисоответствует прямая, проходящая через начало координат, т. е. устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и множествами.

Если теперь рассматривать точку плоскости как принадлежащую трехмерному пространству, то ее двумерные преобразования можно будет описывать с помощью матриц , причем можно будет задавать таким способом не только повороты и масштабирование, но и сдвиги и проекции (как ортографические, так и центральные).

Поворот на угол относительно начала координат можно осуществить с помощью новой матрицы поворота:

Операция масштабирования может быть записана в виде

Перенос на вектор также можно задать с помощью матрицы:

Проекции точки на оси координат определяются с помощью матриц проекции:

Перейдем теперь к трехмерному пространству. Каждой точке будем ставить в соответствие точку четырехмерного пространства, а для выполнения основных преобразований будем использовать матрицы размерностью. Строятся они совершенно аналогично тому, как это делалось в двумерном случае. Матрица сдвига на векторимеет вид

матрица масштабирования тоже очевидным образом строится из трехмерной матрицы:

Проекции точек на координатные плоскости осуществляются с помощью матриц (более подробно проекции и их виды будут рассмотрены позднее):

Умножение этих матриц на вектор приводит к тому, что обнуляется одна из координат, и в результате получаем проекцию точки на соответствующую плоскость.

Матрица поворота относительно оси на уголвыглядит следующим образом:

Отсюда легко понять, как строятся матрицы поворота относительно других координатных осей, а также матрица поворота относительно произвольной оси. Просто берем матрицы, построенные в третьей главе, и расширяем их путем добавления уже известных единичных вектора-строки и вектора- столбца:

Путем объединения приведенных элементарных преобразований можно построить и более сложные. В третьей главе мы использовали произведение простых матриц вращения для построения матрицы поворота относительно произвольной оси. Приведем один пример.

Пусть в пространстве заданы два отрезка - и. Будем строить матрицу преобразования, переводящую первый отрезок во второй. Это преобразование разложим на следующие элементарные действия.

1. Сдвиг, перемещающий точку в точку.

2. Сдвиг начала координат в эту же точку.

3. Если отрезки неколлинеарны:

• строится вектор нормали к плоскости, в которой лежат отрезки (для этого можно использовать векторное произведение исходных векторов);

• поворот относительно вектора нормали, совмещающий два отрезка по направлению (угол поворота можно определить с помощью скалярного произведения исходных векторов).

4. Масштабирование с целью выравнивания длины отрезков.

5. Возвращение начала координат в исходную точку.

Каждое из этих преобразований реализуется с помощью матрицы, а полное преобразование можно выполнить, используя произведение матриц.

Использование матриц очень удобно для выполнения преобразований в пространстве, хотя в некоторых случаях это приводит к избыточному числу выполняемых операций. Например, поворот одной точки в пространстве относительно координатной оси с помощью матриц в однородных координатах требует 16 операций умножения и 12 операций сложения. В то же время он легко может быть выполнен с помощью формул преобразования

т.е. с помощью всего лишь четырех умножений и одного сложения и одного вычитания. Операции сдвига также гораздо более экономично выполнять без использования матриц. Но когда речь идет о суперпозиции многих преобразований (как, например, в случае поворота относительно произвольной оси), то целесообразно применять соответствующую матрицу поворота. Эффективность матричного подхода очень сильно возрастает, если матричные операции реализованы аппаратно. Вопрос о том, в каких случаях использовать матрицы, а в каких нет, во многом зависит от возможностей вычислительной техники, уровня сложности задачи и требований к временным характеристикам процесса визуализации.