ИКТСС_2у_1 / Практика / Теория электрических цепей-Пр1-ИКТиСС-2у-1-Панин
.pdf
11
Задача № 4 |
|
|
|
Операторным методом определить переходный ток в индуктивности iL (t) . |
|||
|
|
|
K |
|
R |
|
R |
E |
J |
R |
L |
|
|
||
|
Рис. 13 Исходная схема до коммутации |
||
Решение
1. Определим ток в индуктивности iL (0 ) (см. пример № 3).
iL(0 ) iL(0) |
E |
|
J |
– независимое начальное условие. |
3R |
|
|||
|
3 |
|
||
2. Составим операторную схему замещения. При составлении операторной схемы замещения руководствуются следующими правилами:
схема отражает послекоммутационное состояние цепи (коммутирующие устройства не показываются);
индуктивность L заменяется последовательным соединением операторного сопротивления
pL и источника ЭДС с величиной равной LiL (0), где iL (0) – начальное значение тока в
индуктивности; направление источника ЭДС совпадает с направлением тока в индуктивности;
источники напряжения и тока заменяются их операторными изображениями.
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
I (p) |
|
|
J |
I |
2 |
(p) |
IL (p) |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
pL |
|
E |
|
J |
|
|
|
R |
|
|
|
p |
p |
|
|
LiL (0) |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 14 Операторная схема замещения
12
Очевидно, что метод узловых операторных напряжений наиболее удобный для расчета операторной схемы замещения. По рис. 14 определим количество уравнений Nмун , составляемых по методу узловых операторных напряжений: Nмун Nуз 1 2 1 1. За базисный принимаем узел 2, т.е. его операторное узловое напряжение U2(p) 0. Составим уравнение для определения операторного узлового напряжения U1(p) узла 1:
1 1 |
|
1 |
|
E 1 J |
|
1 |
|
|
2pL R |
1 E |
|
|||||||||||
U1(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LiL(0) |
|
, U1 |
(p) |
|
|
|
|
|
J iL(0) . |
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
p |
|
||||||||||||
R R |
|
pL |
|
p R p |
|
|
|
RpL |
R |
|
||||||||||||
Для удобства алгебраических преобразований введем обозначение: J0 E J iL(0) . Поскольку
R
iL(0) |
E |
|
J |
, то легко видеть J0 |
|
E |
J |
E |
|
J |
|
2 |
|
E |
|
2 |
J. |
|
|
|
|||
3R |
|
R |
3R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
С учетом этого можно записать: U1(p) |
2pL R |
|
J0 |
, откуда U1 |
(p) |
J0 RL |
. |
||||||||||||||||
|
RL |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pL R |
||||
Определим операторное изображение тока в индуктивности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J0 |
RL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U1(p) U2(p) LiL(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LiL(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
IL(p) |
|
|
2pL R |
|
|
|
|
R(J0 iL(0)) 2pLiL(0) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(2pL R) |
|||||||||||||||
|
2 E |
|
2 |
|
J , то IL(p) |
E JR 2pLiL(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Т.к. J0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 R |
3 |
|
|
|
|
p(2pL R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. Определим по операторному изображению тока в индуктивности |
IL (p) |
соответствующий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оригинал тока в индуктивности |
iL (t) , |
используя теорему разложения (Хевисайда). Для этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
представим IL (p) в виде дробно-рациональной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IL |
(p) |
E JR 2pLiL(0) |
|
F1(p) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(2pL R) |
|
|
|
F2(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где F1(p) E JR 2pLiL(0) , |
F2(p) p(2pL R). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Определим корни уравнения: |
F |
2 |
(p) p(2pL R) 0, откуда p 0, |
p |
2 |
|
R |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2L |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим производную функции F2(p): F2(p) |
dF2(p) |
4pL R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме разложения искомый оригинал iL (t) определяется выражением: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F1(p1) |
|
|
|
|
|
F1(p2) |
|
|
|
|
|
|
E JR |
|
E JR iL(0)R |
R |
t |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p t |
|
p |
|
t |
|
|
|
|
2L |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
iL(t) |
|
e 1 |
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F2(p1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2(p2) |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13
Поскольку iL(0) |
E |
|
J |
|
, преобразуем последнее соотношение к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
E JR |
|
|
|
|
2 E JR |
|
|
t |
E JR |
2 |
|
|
|
t |
|
|
E |
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2L |
2L |
|
|
2L |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
iL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
1 |
|
e |
|
|
|
|
. |
||||
|
R |
|
|
3 R |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: iL(t) |
|
|
J |
1 |
|
|
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
R |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частотный и временной метод анализа переходных процессов
Задача № 5 Определить операторный коэффициент передачи по напряжению, переходную и импульсную
характеристики последовательной RC-цепи. Найти отклик цепи на воздействие в виде прямоугольного импульса напряжения.
Решение: Составим операторную схему замещения исходной цепи.
R |
|
|
R |
u1(t) |
C |
u2(t) |
U1(p) |
1 |
U2 |
(p) |
|
pC |
|||
|
|
Ku |
p |
U2 p |
|
|
U1 p |
|
1 1 |
|
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
pC U |
p |
|
|||||||||||
|
|
U |
p |
|
|
1 |
|
|
1 pRC |
|||||||
|
1 |
|
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
pC
При подстановке p j , можно определить комплексную передаточную функцию H(j ), и как следствие АЧХ и ФЧХ цепи.
Ku p |
1 |
, осуществляя подстановку p j , получим: Hu (j ) |
1 |
. |
|
|
|||
|
1 pRC |
1 j RC |
||
1
Hu ( ) – АЧХ; u ( ) arctg RC – ФЧХ. 1 ( RC)2
Переходная характеристика h t – реакция линейной электрической цепи на входное воздействие в виде функции Хевисайда.
hu (t) KU(p) – переходная характеристика по напряжению. p
Импульсная характеристика g t – реакция линейной электрической цепи на входное воздействие в виде - функции Дирака.
14
g u(t) (t)hu (0) |
dhu (t) |
|
– импульсная характеристика по напряжению. |
||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку Ku p |
1 |
, то hu (t) |
Ku p |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 pRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p(1 pRC) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определим оригинал по теореме разложения: F(p) |
F1(p) |
|
|
|
|
1 |
|
|
– изображение. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
p(1 pRC) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Корни полинома знаменателя: p 0, p |
2 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определим производную: [F2(p)] 2pRC 1, причем [F2(p1)] 1, [F2(p2)] 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
||||
Переходная характеристика по напряжению: hu t |
1 |
|
|
|
1 |
|
e |
|
1 e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e |
0t |
|
|
RC |
C , где C RC. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dhu (t) |
1 |
|
|
t |
|
|||||||
Импульсная характеристика по напряжению: gu (t) hu (0) (t) |
|
|
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||
С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное внешнее воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-
непрерывной функцией, т.е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции в точках разрыва. Пусть к последовательной RC-цепи приложено напряжение в виде одиночного прямоугольного импульса.
u1(t)
E
0 |
tu |
t |
Входное воздействие в виде прямоугольного импульса
Здесь tu – длительность прямоугольного импульса.
Определим реакцию RC-цепи с помощью интеграла Дюамеля.
В интервале времени 0 t tu
t |
|
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
u2 t u1 0 hu t u1' hu t d Ehu t E 1 e |
|
C |
,B |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
В интервале времени t tu
tu t
u2 t u1 0 hu t u1' hu t d Ehu t tu u1' hu t d Ehu t Ehu t tu
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tu |
|
|
|
|
|
|
|
Проведем преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t tu |
|
|
t |
|
t |
|
tu |
|
tu |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u |
2 |
t E 1 e |
|
C |
|
E |
1 e |
|
C |
|
Ee C |
Ee C e |
C E e C |
1 e C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно ответ можно записать в следующем виде:
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
E |
1 e |
|
C |
,B |
при 0 t t |
u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u2 t |
|
tu |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E e C |
1 e |
C ,B при |
t t |
u |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||