ИКТСС_2у_1 / Практика / Теория электрических цепей-Пр1-ИКТиСС-2у-1-Панин
.pdfФедеральное агентство связи
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
Кафедра Теоретических основ радиотехники и связи
«УТВЕРЖДАЮ» Заведующий кафедрой ТОРС
___________ Горячкин О.В. «____» ________________ 2012 г.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ
ПРАКТИЧЕСКОГО (СЕМИНАРСКОГО) ЗАНЯТИЯ
по учебной дисциплине: Теория электрических цепей
Тема: Методы анализа электрических цепей в переходном режиме.
Обсуждено на заседании кафедры «____» ________________ 2012 г.
Протокол № _______
Самара 2012
2
|
Классический метод анализа переходных процессов |
|
Задача № 1 |
|
|
Классическим методом определить переходное напряжение на ёмкости uC(t) . |
||
|
R |
|
|
|
K |
E |
J |
C |
R |
||
|
Рис. 1 Исходная схема до коммутации |
|
Решение
1. Определим напряжение на ёмкости uC(0 ) по схеме замещения до коммутации в установившемся режиме постоянного тока (рис. 2). В этой схеме емкость мы должны заменить участком холостого хода, поскольку в режиме постоянного тока (частота равна нулю) емкостной элемент обладает бесконечно большим сопротивлением.
|
R |
|
|
|
E |
контур |
J |
UJ |
uC(0 ) |
Рис. 2 Схема замещения до коммутации в установившемся режиме |
||||
На основании закона Кирхгофа легко определяем:
E uC(0 ) J R , uC(0 ) E J R . Согласно II закону коммутации напряжение на ёмкости в момент коммутации:
uC(0) uC (0 ) E J R – независимое начальное условие.
2.Далее необходимо составить дифференциальное уравнение для независимой переменной uC(t).
Анализируем схему после коммутации, которая описывает мгновенные значения переходных
токов и напряжений (рис. 3).
3
i1(t) |
iC(t) |
i2 (t)
Рис. 3 Послекоммутационная схема для мгновенных значений токов и напряжений
Составим три уравнения на основании законов Кирхгофа. |
|
|
|
||||||||||
|
E i1(t) R i2(t) R , |
0 uC(t) i2(t) R , |
i1(t) J i2(t) iC(t). |
||||||||||
Из второго уравнения следует, что i2 |
(t) |
uC(t) |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||
Из первого уравнения следует, что i1(t) |
|
E |
i2(t) |
E uC(t) |
. |
|
|
||||||
|
R |
R |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя третье уравнение, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E uC(t) |
J |
uC(t) |
iC(t), |
R iC(t) 2 uC(t) E J R , т.к. iC(t) C |
duC(t) |
, то |
||||||
|
R |
|
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||
R C duC(t) 2 uC(t) E J R – неоднородное дифференциальное уравнение (НДУ). dt
Решение НДУ будем искать в виде двух составляющих (свободной и принуждённой): uC(t) uC св(t) uCпр(t).
Свободную составляющую переходной величины определяем по виду однородного дифференциального уравнения (ОДУ).
R C duCсв(t) 2 uCсв (t) 0 – однородное дифференциальное уравнение (ОДУ) dt
Составим характеристическое уравнение, осуществляя символическую замену p d dt
R C p 2 0 – характеристическое уравнение.
Определим корень характеристического уравнения: p 2 – вещественный и отрицательный. R C
Решение для свободной составляющей будем искать в виде:
uCсв (t) A ep t |
|
2 |
t |
|
R C |
||||
A e |
, где A const. |
|
|
|
|
4 |
3. Определим принуждённую составляющую переходной величины по схеме замещения |
||||
составленной после коммутации в установившемся режиме постоянного тока (рис. 4). |
||||
|
R |
|
1 |
1 |
|
|
|
||
E |
|
J |
R |
uC( ) |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
Рис. 4 Схема замещения после коммутации в установившемся режиме |
|||
Анализируем данную схему методом узловых напряжений (МУН). В качестве базисного выбираем узел 2, т.е. его узловое напряжение будет равным нулю. Таким образом, искомое напряжение на емкостном элементе после коммутации в установившемся режиме будет равно узловому напряжению узла 1, т.е. uC( ) U1. Составим по МУН уравнение для определения U1.
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
||
U1 |
|
|
|
|
|
|
E |
|
J, откуда U1 uCпр(t) |
|
(E J R). |
|
|
R |
2 |
||||||||
|
|
R |
R |
|
|
|
|||||
4. Таким образом, общий вид реакции (переходное напряжение на ёмкости) определяется в виде:
|
2 |
t |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
uC(t) A e |
R C |
|
|
(E J R). |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
В этом выражении остаётся неизвестная константа A, её определяем из независимого начального условия uC(0) E J R . Составим уравнение:
E J R A 1 (E J R), откуда A 1 (E J R). 2 2
Осуществим подстановку этой константы в общий вид реакции, и запишем окончательный ответ.
|
2 |
t |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|||
R C |
|
|
|
R C |
||||||||||
uC(t) A e |
|
|
(E J R) |
|
|
(E J R) e |
|
|||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E J R |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||
|
|
R C |
|
|
||||||||||
Ответ: uC(t) |
|
|
|
|
1 e |
|
|
,В. |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
||
|
R C |
. |
|||||||
|
|
(E J R) |
|
|
|||||
2 |
2 |
(E J R) 1 e |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Задача № 2 |
|
|
|
Классическим методом определить переходный ток в индуктивности iL (t) . |
|
||
|
|
K |
|
R |
|
R |
|
E |
J |
R |
L |
|
|
||
|
Рис. 7 Исходная схема до коммутации |
|
|
Решение
1. Определим ток в индуктивности iL (0 ) по схеме замещения до коммутации в установившемся режиме постоянного тока (рис. 8). В этой схеме индуктивность мы должны заменить участком короткого замыкания, поскольку в режиме постоянного тока (частота равна нулю) индуктивный элемент обладает бесконечно малым сопротивлением.
|
R |
R |
|
1 |
1 |
E |
R |
iL (0 ) |
J |
|
|
|
2 |
2 |
|
Рис. 8 Схема замещения до коммутации в установившемся режиме |
|
Для определения тока iL (0 ) выбираем один из методов анализа в установившемся режиме, пусть это будет метод узловых напряжений (МУН). Узел 2 принимаем за базисный, поэтому его узловое напряжение будет равным нулю (U2 0). Составим уравнение для определения узлового напряжения первого узла U1:
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
E |
|
1 |
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J, откуда U1 |
|
|
(E JR). |
|
|
|
R |
3 |
||||||||
R |
R |
R |
|
|
|
|||||||
По закону Ома определяем искомый ток iL(0 |
) |
U1 U2 |
|
E |
|
J |
. |
|
R |
3R |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Согласно I закону коммутации ток в индуктивности в момент коммутации:
6
iL(0) iL(0 ) |
E |
|
J |
– независимое начальное условие. |
3R |
|
|||
|
3 |
|
||
2. Далее необходимо составить дифференциальное уравнение для независимой переменной iL (t) .
Анализируем схему после коммутации, которая описывает мгновенные значения переходных токов и напряжений (рис. 9).
R |
1 |
1 |
|
iL (t) |
|
i1(t) |
J |
|
i2(t) |
|
|
|
|
|
|
||
E |
J |
R |
b |
L |
uL (t) |
a |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
Рис. 9 Послекоммутационная схема для мгновенных значений токов и напряжений |
|||||
По законам Кирхгофа необходимо составить три уравнения, т.к. Nмтв Nвет NJ 4 1 3.
|
E i1(t)R uL (t) (для контура a), 0 |
uL (t) i2(t)R (для контура b), i1(t) J i2(t) iL (t). |
||||||||||||||||||||
Из второго уравнения следует, что i2(t) |
uL(t) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
Из первого уравнения следует, что i1(t) |
E uL(t) |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
Используя третье уравнение, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
E uL (t) |
|
|
|
uL(t) |
|
|
uL |
(t) |
|
E |
J , т.к. uL(t) L |
diL(t) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
iL(t) , |
2 |
|
|
|
|
iL |
(t) |
|
|
, то |
|||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
dt |
|||||||
|
L |
|
diL(t) |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
iL(t) |
|
|
J |
– неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (НДУ). |
|||||||||||||
R |
|
|
|
|
R |
|||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение НДУ будем искать в виде двух составляющих (свободной и принуждённой): iL(t) iLсв (t) iLпр(t) .
Свободную составляющую переходной величины определяем по виду однородного дифференциального уравнения (ОДУ).
|
L |
|
diLсв |
(t) |
|
2 |
|
|
|
|
iLсв(t) 0 – однородное дифференциальное уравнение (ОДУ). |
R |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
||
Составим характеристическое уравнение, осуществляя символическую замену p d dt
7
2 L p 1 0 – характеристическое уравнение. R
Определим корень характеристического уравнения: p R – вещественный и отрицательный. 2L
Решение для свободной составляющей будем искать в виде:
|
|
R |
t |
iLсв(t) A ep t |
|
||
A e 2L |
, где A const. |
||
3. Определим принуждённую составляющую переходной величины по схеме замещения составленной после коммутации в установившемся режиме постоянного тока (рис. 10).
|
R |
|
E |
R |
iL ( ) |
J |
|
|
Рис. 10 Схема замещения после коммутации в установившемся режиме |
||
Анализируем данную схему одним из методов анализа цепей в установившемся режиме, пусть это будет метод суперпозиции. Согласно этому методу необходимо определить реакцию цепи (в
данном случае ток в индуктивности) от каждого воздействия в отдельности (в данном случае источник ЭДС и источник тока). Истинный ток в индуктивном элементе будет определятся суммой этих реакций. Итак, определим реакцию i1L ( ) от источника ЭДС, при этом исключив из схемы источник тока. Поскольку внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности,
мы обязаны на его месте изобразить холостой ход (рис. 11).
i1L ( )
Рис. 11 Схема по определению реакции от источника ЭДС
8
По схеме (рис. 11) видно, что реакция тока в индуктивности от источника ЭДС определяется
выражением вида: i1L( ) E . R
Далее определим реакцию i2L ( ) от источника тока, при этом исключаем из схемы источник ЭДС. Поскольку внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю, на его месте будет короткое замыкание (рис. 12).
i2L ( )
Рис. 12 Схема по определению реакции от источника тока
По схеме (рис. 12) видно, что реакция тока в индуктивности от источника тока определяется выражением вида: i2L ( ) J .
Истинный ток в индуктивности (принужденная составляющая) определяется как сумма реакций:
iLпр(t) iL( ) i1L ( ) i2L ( ) E J .
R
4. Переходный ток в индуктивности определяется в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
E |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iL(t) Ae |
|
|
|
J. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
В этом выражении остаётся неизвестная константа A, её определяем из независимого начального |
||||||||||||||||||
условия iL(0) iL(0 ) |
E |
|
J |
. Составим уравнение: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
E |
|
|
|
J |
|
E |
|
|
|
2 |
E |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
J, откуда |
A |
|
|
|
J . |
||||
|
|
3R |
|
3 |
R |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
R |
|
|||||||
Осуществим подстановку этой константы в общий вид реакции, и запишем окончательный ответ.
2 |
E |
|
|
|
R |
t |
|
E |
|
|
|
E |
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
iL(t) |
|
|
|
|
J e |
|
2L |
|
|
|
|
J |
|
|
J |
|
1 |
|
e |
|||||||
|
|
|
|
R |
|
3 |
||||||||||||||||||||
3 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
2 |
|
|
|
R |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: iL(t) |
|
|
J |
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R t 2L .
9
|
Операторный метод анализа переходных процессов |
|
Задача № 3 |
|
|
Операторным методом определить переходное напряжение на ёмкости uC(t) . |
||
|
R |
|
|
|
K |
E |
J |
C |
R |
||
|
Рис. 5 Исходная схема до коммутации |
|
Решение
1. Определим напряжение на ёмкости uC(0 ) (см. пример № 1).
uC(0) uC (0 ) E J R – независимое начальное условие.
2.Составим операторную схему замещения. При составлении операторной схемы замещения руководствуются следующими правилами:
схема отражает послекоммутационное состояние цепи (коммутирующие устройства не показываются);
емкость C заменяется последовательным соединением операторного сопротивления 1
pC и
источника ЭДС с величиной равной |
uC 0 |
p , где uC 0 |
– начальное значение напряжения на |
|
емкости, направление источника ЭДС противоположно направлению тока в емкости; |
||||
источники напряжения и тока заменяются их операторными изображениями. |
||||
R |
1 |
|
1 |
IC(p) |
I1(p) |
|
J(p) |
I2(p) |
1 |
|
pC |
|||
E |
J |
|
R |
UC(p) |
p |
p |
|
|
uC(0) |
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
2 |
|
Рис. 6 Операторная схема замещения |
|||
Для расчета операторной схемы замещения применимы все известные методы расчета разветвленных цепей: метод уравнений Кирхгофа (метод токов ветвей), метод контурных токов, метод узловых напряжений и т.д. Нужно в каждом случае выбрать такой расчетный метод, при
10
котором получается наименьшее число уравнений. Это зависит от конфигурации схемы замещения и от того, какая величина является искомой. Для нашего случая наиболее удобен метод узловых операторных напряжений. По рис. 6 определим количество уравнений Nмун ,
составляемых по методу узловых операторных напряжений: Nмун Nуз 1 2 1 1. За базисный принимаем узел 2, т.е. его операторное узловое напряжение U2(p) 0. Составим уравнение для определения операторного узлового напряжения U1(p) узла 1:
|
1 |
1 |
|
|
E 1 |
|
J |
uC(0) |
||||||
U1(p) |
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
pC, |
|
R |
p R |
|
|
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
p |
p |
|||||||
|
2 |
|
|
E 1 |
|
J |
uC(0) |
|||||
U1(p) |
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
pC. |
|
p R |
|
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
p |
p |
||||||
После несложных алгебраических преобразований получим: U1(p) E JR puC (0)RC . p(2 pRC)
По операторной схеме замещения (рис. 6) легко видеть, что искомое операторное изображение напряжения на ёмкости определяется выражением вида:
UC(p) U1(p) U2(p) E JR puC(0)RC .
p(2 pRC)
3. Определим по найденному операторному изображению UC(p) соответствующий оригинал
uC(t) согласно теореме разложения (Хевисайда). Для этого представим UC(p) в виде дробно-
рациональной функции: UC(p) |
E JR puC(0)RC |
|
F1 |
(p) |
, |
|
|
|
|
|
p(2 pRC) |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(p) |
|
|
|
|
|
|||
где F1(p) E JR puC(0)RC, F2(p) p(2 pRC). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим корни уравнения: F (p) p(2 pRC) 0, откуда p |
0, p |
2 |
|
2 |
. |
|||||
|
||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
RC |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим производную функции F2 |
(p): F2(p) |
dF2(p) |
2 2pRC. |
|
|||
|
|
dp |
|
Согласно теореме разложения искомый оригинал uC(t) определяется выражением:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
F (p |
|
) |
|
p t |
|
F (p |
|
) |
|
p |
|
t |
|
E JR |
E JR 2u |
|
(0) |
|
|
|
t |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
C |
|
RC |
|||||||||||||
uC(t) |
1 |
|
e |
1 |
|
1 |
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
. |
|||||
F2(p1) |
F2(p2) |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку uC(0) E J R , преобразуем последнее соотношение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
E JR |
|
E JR 2E 2JR |
e |
|
t |
|
E JR |
|
E JR |
e |
|
|
t |
|
E JR |
1 e |
|
|
t |
. |
||||||||
u |
C |
(t) |
|
RC |
RC |
|
RC |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
E JR |
1 e |
|
|
t |
,B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: u |
C |
(t) |
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||